7 класс. Решения

7 класс. Решения
1. Даны две обыкновенные несократимые дроби. У первой сумма числителя и знаменателя равна
1232, а у второй такая сумма равна 7987. Может ли сумма этих двух дробей равна
17
35
?
Решение: Пусть
a
b
,
c
d
данные дроби. Очевидно, что если a делится на 7 то и b делится на 7 так как
1232 делятся на 7. Аналогично для второй дроби. Следовательно a, b, c, d не делятся на 7. Но тогда
знаменатель суммы дробей не делится на 7, а, значит, не может равнятся 35.
2. Дан треугольник ABC, в котором BC = 2AB.Точка D− середина стороны BC, точка K− середина
отрезка BD. Докажите, что AC = 2AK.
Решение: Заметим, что BD =
BC
2
= AB, поэтому треугольник ABD − равнобедренный с AB = BD.
Пусть E − середина AB. Тогда BE =
AB
2
=
BD
2
= BK. Следовательно, △ABK = △DBE, и как
следствие, AK = DE. С другой стороны, DE является средней линией стороны AC в треугольник
ABC. Значит AC = 2DE = 2AK, что и требовалось доказать.
3. Известно, что a...a кратно b...b. Обязательно ли количество цифр первого числа делится на коли-
чество цифр второго?
Решение: Пусть n — количество цифр числа a . . . a, m — количество цифр числа b . . . b.
Обозначим 1
m
= 1 . . . 1
| {z }
m единиц
.
Заметим, что b . . . b
..
. 1 . . . 1
| {z }
m единиц
. Тогда a . . . a
| {z }
n единиц
делится на X = 1 . . . 1
| {z }
m единиц
. Очевидно, что n ≥ m. Можем
считать, что n > m (иначе обязательно следует, что n = m и задача решена). Отсюда A − X делится
на X ⇔
a . . . a
| {z }
n−m единиц
делится на X = 1 . . . 1
| {z }
m единиц
. Продолжая процесс, получим, что n = mk для некоторого
целого k, ч.т.д.
4. Дана клеточная таблица 5 × 5, в которой во всех клетках написано число 0. За одну операцию
разрешается увеличить на 1 все числа в клетках, которые образуют уголок. Докажите, что за несколь-
ко таких операций числа во всех клетках таблицы не смогут стать одинаковыми. Уголком считается
фигура, которая получается при удалении из квадрата 2 × 2 одной клетки.
Ответ: нет, таких чисел не существует.
Решение: Допустим мы смогли за несколько операций получить, что в каждой клетке написано число
k Раскрасим клетки доски следующим образом: в рядах с нечетным номером (нумерация снизу вверх)
12121, а в рядах с четным номером 34343. Тогда клеток 19 штук, 2 и 3 по 6 и клетки цвета 44 штуки.
Заметим, что уголок из 3 клеток покрывает либо 1, 2, 3 либо 1, 2, 4 либо 1, 3, 4 либо 2, 3, 4. Обозначим
a, b, c, d как количество уголков каждого вида уголка. Тогда можно понять, что
a + b + c = 9k
a + b + d = 6k
a + c + d = 6k
b + c + d = 4k
Сложив последние три равенства, получаем 16k = 2a + 2b + 2c + 3d ≥ 2(a + b + c) = 18k. Но k положи-
тельное, поэтому изначальное предположение неверно.
1

7 класс. Схема оценивания
Задача 1.
Пункт 1. Доказано, что a, b, c и d не кратны 7 - 5 баллов
Пункт 2. Показано, что знаменатель суммы дробей, равный 35, не делится на 7, тем самым приходя
к противоречию - 2 балла.
Задача 2.
Пункт 1. Корректно доказано, что ABK = DBE - 6 баллов.
Пункт 2. Завершение доказательства - 1 балл.
Пункт 3. Незначительная ошибка в решениях - (-1) балл.
Пункт 4. Полное решение - 7 баллов.
Задача 3.
Пункт 1. 1...1 кратно 1...1 -1 балл.
Пункт 2. Если использывано но не доказано, что a делится на b -(-1) балл.
Пункт 3. Использовано 1 . . . 1
| {z }
m
..
. 1 . . . 1
| {z }
n
⇐⇒ m
..
.n без доказательства -0 баллов.
Пункт 4. Правильное решение с полным доказательством - 7 баллов.
Задача 4.
Пункт 1. Раскраска таблицы в ≥ 3 цвета - 1 балл.
Пункт 2. Раскраска в четыре цвета как в официальном решении - 3 балла.
Пункт 3. Правильное решение с полным доказательством - 7 баллов.
Пункты не суммируются.
1