7. Лобачевскийдің геометриясы. Лобачевский жазықтығындағы үшбұрыштармен төртбұрыштардың қасиеттері
жүктеу/скачать 53,77 Kb.
|
|
7.Лобачевскийдің геометриясы. Лобачевский жазықтығындағы үшбұрыштармен төртбұрыштардың қасиеттері V*. Лобачевский аксиомасы. А-кез келген түзу болсын, ал А осы түзуде жатпайтын нүкте берілсін. Онда а түзуімен А нүктесі арқылы жазықтықта А нүктесінен өтетін, а түзуімен қиылыспайтын кем дегенде екі түзу бар болады. I-IV және V* топтарындағы аксиомалар бойынша құрылған геометрияны Лобачевскийдің геометриясы деп атаймыз. Абсолюттік геометриядағы барлық анықтамалар мен теоремалар Лобачевскийдің геометриясында да орындалады. Лобачевскийдің жазықтығында келесі теоремалардың орындалатынын дәлелдеуге болады: 1-Теорема. а-кез келген түзу, ал А онда жатпайтын нүкте берілсін. Онда А нүктесі және а түзуі бойынша анықталатын жазықтықта А нүктесінен өтетін, а түзуімен қиылыспайтын шексіз көп түзулер бар болады. Бағытталған түзулер дегенді ендірейік. Яғни түзуді екі әріппен белгілейміз. Мысалы UV түзуінің U нүктесі V нүктесінен алдын жататын нүкте дейміз. Анықтама: АВ түзуі СД түзуіне параллель деп айтамыз, егер олар бір жазықтықта жататын қиылыспайтын екі түзу болса және АВ түзуінде жататын кез келген Р нүктесі мен СД түзуінде жататын Q нүктелері үшін QPB бұрышының кез келген ішкі сәулесі QД сәулесімен қиылысатын болса, АВ||СД деп белгілейміз. (9-сурет). B P A Q М 9-сурет.
Екі түзудің параллельдік белгісі. Егер АВ және СД түзулері бір жазықтықта жататын қиылыспайтын түзулер болса және АВ түзуіне тиісті Р нүктесі бар болып, ал СД түзуіне тиісті Q нүктесі бар болып, олар үшін QPB бұрышының кез келген ішкі сәулесі QД сәулесін қиып өтсе, онда АВ түзуі СД түзуіне параллель болады.
10-сурет. Бұл жағдайда біз параллельдік бұрышы НМВ МН кесіндісіне сәйкес келеді деп айтамыз. МН кесіндісін х деп белгілейміз. МН=х, ал параллельдік бұрышын <НМВ=π(х) болсын, онда олар Лобачевский функциясы арқылы байланысқан болады: tg( )= . Мұндағы k-қандай да бір оң сан-Лобачевскийдің қисықтық саны деп аталады. Мысалы: АВ кесіндісі берілген. Осы АВ кесіндісіне сәйкес келетін параллельдік бұрышын салыңдар. Лобачевский жазықтығындағы үшбұрыштар мен дөңес төртбұрыштардың қасиеттері Кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 2d- дан кіші болады (мұндағы d-тік бұрыштың өлшемі). Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы тұрақты емес, яғни әр түрлі үшбұрыштардың бұрыштарының қосындысы әртүрлі болады. Дөңес төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы 4d-дан кіші болады. Үшбұрыштардың теңдігінің бесінші белгісі (Лобачевский жазықтығында): Егер үшбұрыштың үш бұрышы екінші бір үшбұрыштың сәйкесінше үш бұрышына конгруэнтті болса, онда ол үшбұрыштар конгруэнтті болады. АВСД-дөңес төртбұрышының бір қабырғасына АВ-ға тиісті бұрыштары тең болса, онда мұндай төртбұрышты екі тік бұрышты төртбұрыш деп атаймыз. АВ қабырғасы табаны, ал АД және ВС қабырғаларын бүйір қабырғалары деп атаймыз. Бүйір қабырғалары конгруэнтті болатын екі тік бұрышты төртбұрышты Саккери төртбұрышы деп атаймыз. Қасиеттері: Егер АВСД төртбұрышы Саккери төртбұрышы болса, онда АДС және ВСД сүйір бұрыштары конгруэнтті болады. Егер табаны АВ болатын екі тік бұрышты төртбұрышында АД˂ВС болса, онда <С=<Д. (11-сурет) С Д В А
Егер АВ табаны болатын екі тік бұрышты төртбұрыштың <С және <Д бұрыштары конгруэнтті болса, онда АД және ВС қабырғалары конгруэнтті болады. Жаттығулар: 42. Кез келген дөңес төртбұрыштың ең болмағанда бір бұрышы сүйір бұрыш болатынын дәлелдеңіз. 43. Үш бұрышы тік (доғал) болатын дөңес төртбұрыштың бар болатынын дәлелдеңіз. 44. Егер табаны АВ болатын екі тікбұрышты төртбұрыштың <Д > <С, онда АД<ВС болатынын дәлелдеңіз. 45. Егер табаны АВ болатын АВСД Саккери төртбұрышы үшін а түзуі СД қабырғасының орта перпендикуляры болса, онда а түзуі АВ қабырғасының да орта перпендикуляры болатынын дәлелдеңіз. 46. Екі тікбұрышты төртбұрыш сонда ғана Саккери төртбұрышы болады, егер олардың диагональдары тең болса ғана. 47. Саккери төртбұрышының диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінбейтінін дәлелдеңіз. 48. Саккери төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесі табандарының ортасын қосатын кесіндіде жататынын дәлелдеңіз. 49. Егер АВ табаны болатын екі тікбұрышты төртбұрыштың АД<ВС болса және СД қабырғасының ортасынан АВ қабырғасына түсірілген EF перпендикуляры болса, онда АД 51. Егер АВСД-дөңес төртбұрышының <А=<В, онда АД<ВС сонда ғана <Д > <С болғанда ғана. 52. Шеңберге іштей сызылған диаметріне сүйенетін бұрыш сүйір бұрыш болатынын дәлелдеңіз. 53. Егер АВС үшбұрышының АМ медианасы ВС қабырғасының жартысына тең болса, онда А бұрышының сүйір бұрыш болатынын дәлелдеңіз. жүктеу/скачать 53,77 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|