Абай атындағы

88 
 
geometry of the middle surface of the shell realized with the one-dimensional cubic splines. 
The accuracy of this approximation is very high in any profile of meridian. 
 
Түйін сөздер: Сандық әдістер, кубтық сплайн, айналып тұрған серпінді қабықша, айналып 
тұрған серпінді қабықша меридианы, апроксимациялық әдіс. 
Ключевые  слова:  Численные  методы,  кубический  сплайн,  упругие  оболочки  вращения, 
меридиан упругих оболочек вращения, метод аппроксимации. 
Keywords:  Numerical  method,  cubic  spline,  elastic  shells  rotation,  meridian  of  elastic  shells 
rotation, approximations method 
 
При  численном  решении  краевой  задачи  упругой  оболочки  вращения  (УОВ),  
один  край  которой  жестко  заделан,  а  другой  край  соединен  с  абсолютно  жестким 
фланцем,  важное  значение  имеет  выбор  функций 
)
(s
r
, 
)
(
cos
s

 и 
)
(
sin
s

 [1],  
характеризующих  геометрию  срединной  поверхности  оболочки,  где  s  –  длина  дуги 
меридиана  срединной  поверхности  оболочки,  отсчитываемой  от  внешнего  контура 
жесткого  центра; 

  -  угол  наклона  нормали  недеформированной  срединной 
поверхности  к  оси  оболочки;  r  –  радиус  параллельного  круга.  Форма  меридиана 
реальных УОВ обычно весьма сложна (рисунок 1). 
                                   а)                                                                                        б) 
Рисунок 1. 
 
Исходными  данными  для  определения  указанных функций  служат,  как  правило, 
таблицы значений координат 
)
,
(
x
y
 точек  меридиана  реальных  УОВ.  Аппроксимацию 
функций 
)
(s
r
, 
 и 
)
(
sin
s

 по  этим  данным  осуществляем  с  помощью 
одномерных кубических сплайнов [2, 3]. Точность такой аппроксимации весьма высока 
при  любом  профиле  меридиана.  Кратко  опишем    соответствующий  вычислительный 
алгоритм. 
Определение  функций   
)
(s
r
,   
)
(
cos
s

 и 
сводится  к  решению  задач 
приближенного  восстановления  функции  по  ее  значениям  в    фиксированных    точках.   
Предположим, что на  отрезке 
 
b
a,
 задана сетка 
                                         
b
x
x
x
x
a
n
n







...
:
2
1
0
                              (1) 
а в ее узлах 
i
x
 
заданы значения  
. Число узлов интерполяции 
n
 устанавливается  эмпирически,  пробными  расчетами.  Необходимо  по  значениям 
 
i
x
f
 приближенно  восстановить  функцию 
 
x
f
 на  всем  отрезке.  В  нашем      случае  
решение  этой  задачи  позволяет, задав таблицу:    
)
(
cos
s

)
(
sin
s

  

n
i
x
f
y
i
i
,...,
1
,
0
,



89 
 
, 
где  
 , 
R
 – габаритный радиус УОВ,  
находить  приближенные  значения   
 
x
I
, (где   
R
s
x

),   входящего в правую часть 
системы дифференциальных уравнений, описывающей малые колебания УОВ на всем 
отрезке интегрирования с помощью сплайна  
. 
Решение  задачи  приближенного  вычисления  по  функции  функционалов  и 
операторов позволяет нам определить на всем отрезке интегрирования приближенные 
значения  тригонометрических  функций 
)
(
sin
s

 и 
,  которые  также  входят  в 
правые  части  уравнений  движения  УОВ.  Например,  для  функции,  заданной  таблицей 
 
i
i
x
f
I

,  построив  одномерный  кубический  сплайн   
, можем  следующим 
образом определить приближенные значения тригонометрических функций:    
           
 
l
x
S
dx
dl
s
,
)
(
cos
3




;    
 


2
3
,
1
)
(
sin
l
x
S
s




,
                             
(2) 
где   
 – одномерный кубический сплайн.  
Использование  для  интерполяции  сложных  и  произвольных  форм  меридиана  
рассматриваемых  типов  УОВ  одномерных  кубических  сплайнов  оправдано 
достаточностью  соответствующей  гладкости,  а  также  тем,  что  параметры  такого 
сплайна  легко  вычисляются.  Используем  следующее  представление  кубического 
сплайна: 
                                 
 
 








,
1
,...,
2
,
1
,
0
1
3












n
i
x
x
x
x
x
D
x
x
C
x
x
B
x
f
x
S
i
i
i
i
i
i
i
i
i
                    (3) 
где  
x
  
- произвольное значение  аргумента в интервале 


1
,

i
i
x
x
; 
i
x
  и  
1

i
x
 
-  значения 
аргумента  в  узловой  точке; 
 
i
x
f
 –  значение  аппроксимируемой  функции  в  узловой 
точке;   
i
i
i
D
C
B
,
,
 -  параметры  сплайна,  вычисляемые  по  формулам,  приведенным  в 
[2, 3]: 
                        
 






;
2
;
2
6
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
M
C
M
M
x
f
x
f
B









 
                                   

 

1
....,
1
.
0
;
6
1
1






n
i
M
M
D
i
i
i
i
                                    (4) 
где  
i
i
i
x
x




1
; 
i
x
i
dx
S
d
M
2
3
2

 
Для связи  величин  
1

i
M
, 
i
M  и   
1

i
M
  используем  


1

n
 уравнений вида: 
                
   
   
1
1
1
1
1
1
1
6
3
6




















i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
f
x
f
x
f
x
f
M
M
M
               (5) 
дополняя их двумя граничными условиями: 
                                                        
0
0


n
M
M
                 
                             (6) 
Уравнения  (5)  и  (6)  образуют    систему  линейных  алгебраических  уравнений 
относительно неизвестных 


n
j
M
j
,...,
2
,
1
,
0

: 
 
i
i
i
x
f
R
r
I


R
s
x
i
i

 
l
x
S
,
3
)
(
cos
s

 
l
x
S
,
3
 
l
x
S
,
3

90 
 
                                                          
f
H
M
G


                                                       (7) 
Здесь    
G
  -  квадратичная матрица [2, 3]: 
                           
3
6
0
0
0
0
0
6
3
6
0
0
0
6
3
1
1
3
3
2
2
2
2
1
n
n
n
G

























                       (8) 
f
M ,
 - векторы: 
                             
   
 
;
,...,
,
;
,...,
,
1
0
1
0
T
n
T
n
x
f
x
f
x
f
f
M
M
M
M


                   (9) 
H  – прямоугольная матрица: 
                                 
n
n
H













1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
2
2
1
1








                           (10) 
Решив  систему  (7)    и  определив  значения   


n
j
M
j
,...,
2
,
1
,
0

,  можно  найти 
параметры  
i
i
i
D
C
B
,
,
 B
i
 по формулам (4). Таким образом,  функция 
 
x
f
   оказывается 
как  бы  ―склеенной‖  из  многочленов  вида  (3)  на  всем  интервале  интегрирования. 
Продифференцировав выражение (3) по  x ,   получим: 
                                           
 




2
3
3
2
i
i
i
i
i
x
x
D
x
x
C
B
x
S






.                            (11) 
С  помощью  (11)  можно  вычислить  выражения  (2).  На  основе  изложенного 
алгоритма  можно  составить  программу  построения  сплайна  и  интерполяции 
сплайнами,  которые  являются  частью  (подпрограммами)  основных  программ  для 
определения динамических характеристик УОВ.  
 
 
1.
 
Нарайкин  О.С.,  Шимырбаев  М.К.,  Дюзбенбетов  Б.Д.  Расчет  динамических 
характеристик сильфонов // Вестник АН КазССР. Ғылым – 1991. - № 8. – С. 50-54.  
2.
 
Завьялов  Ю.С.,  Квасов  Б.И.,  Мирошниченко  В.Л.  Методы  сплайн  функций.  –  М.: 
Наука, 1980. – 352 с. 
3.
 
Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н.  Сплайны в вычислительной математике. –М.: Наука, 
1976. – 248 с. 
 
 
 
 

91 
 
УДК 519.63 
С.А. Исаев 
 
МЕТОД ГОДУНОВА В ЧИСЛЕННОМ РАСЧЕТЕ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК 
ВРАЩЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ МЕРИДИАНОМ 
 
(г.Алматы, Казахский государственный женский педагогический университет) 
 
Еркін  меридианмен  айналып  тұрған  серпінді  қабықша  теңдеуін  сандық  есептеу 
үшін  Годунов  әдісі  қарастырылған.  Кез  келген  шектік  аралық  аймақты  осы  әдіс 
бойынша теңдеуді сандық интегралдауға болады. Есептеу нүктелерінің шешімін табу 
үшін  интегралдау  кесіндісін  бӛлу  нүктесі  ғана  емес,  аралық  кесіндінің  шегіндегі  кез 
келген нүкте болуы мүмкін.  
В  данной  работе  рассматривается  метод  Годунова  в  численном  расчете  упругих 
оболочек  вращения  с  произвольным  меридианом.  Согласно  этому  методу  возможно 
численное  интегрирование  уравнения  в  пределах  любого  промежуточного  участка. 
Расчетными  точками  для  нахождения  решений  могут  быть  не  только  точки  деления 
отрезка интегрирования, но любые точки в пределах промежуточных отрезков. 
The  Godunov  method  in  the  numerical  calculation  of  elastic  shells  of  rotation  with  an 
arbitrary  meridian  is  considered  in  this  paper.  According  to  this  method  the  numerical 
integration  of  the  equations  is  possible  within  any  of  the  intermediate  portion.  Calculated 
points for finding solutions may be not only the point dividing the interval of integration, but 
any point within the intermediate sections. 
 
Уравнения малых колебаний оболочек вращения [1] (рисунок 1) 
 
Рисунок 1 
                                                       
q
y
A
y
dx
d


               
                                (1) 
(где  y  -  вектор  состояния  с  компонентами 
16
2
1
,...,
,
y
y
y
; 
A  -  квадратная  матрица 
переменных  коэффициентов;  q -  вектор  нагрузки)  с  учетом  краевых  условий  [2] 
образуют  замкнутую  систему  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  для 
описания  движения  оболочки  вращения,  которую  назовем  исходной,  и  составляют 
краевую  задачу,  которая  сводится  к  задаче  Коши  подбором  начальных  векторов 
решений, удовлетворяющих краевым условиям на одном из краев. 
Для  численного  интегрирования  систем  обыкновенных  дифференциальных 
уравнений,  сходных  нашей  исходной,  широко  применяется  метод  начальных 

92 
 
параметров,  который  в  нашем  случае  не  всегда  применим  из-за  наличия 
быстровозрастающих  решений,  т.е.  из-за  так  называемого  «сплющивания»  системы 
векторов  решений.  Избежать  такой  неприятности  позволяет  применение  метода 
прогонки с ортонормированием результатов в промежуточных точках деления отрезка 
интегрирования, который предложен С.К.Годуновым [3]. Этот метод применительно к 
расчету  оболочек  вращения  изложен  в  [4].  Согласно  этому  методу  разделим  отрезок 
интегрирования  


k
x
x
x
,
0

   на ряд промежуточных отрезков с координатами: 
                                       
k
m
x
d
d
d
d
x







2
1
0
0
              
                       (2) 
так, чтобы было возможно численное интегрирование уравнения (1) в пределах любого 
промежуточного  участка.  Число  точек  разбиения  отрезка  интегрирования  m  
устанавливается эмпирически, пробными расчетами. Систему начальных векторов для 
численного интегрирования (1) на первом участке  


1
0
, d
d
   возьмем в виде: 
                                            
  

00
0
20
10
0
,
,
,
y
y
y
y
d
Y
n


          
 
                       (3) 
где  n    -  половина  числа  уравнений  (1),  которое  различно  для  различных  задач 
0
p
y
- 
линейно независимые решения однородной системы, соответствующей уравнению (1); 
00
y - какое-либо частное решение  неоднородной системы. 
При интегрировании уравнений (1) с начальными данными (3) получаем матрицу 
решений в конце первого отрезка  
1
d
x

: 
                                           
  

00
1
21
11
1
,
,
,
y
y
y
y
d
Y
n


                  
                     (4) 
Так  как,  при  построении  матрицы  (4)  были  соблюдены  условия  в  начале 
координат, то общее решение задачи может быть представлено в виде: 
                                        








n
i
i
i
y
C
y
y
y
C
Y
1
1
*
1
1
01
1
1
1
          
                         (5) 
где   


1
21
11
1
,
,
n
y
y
y
y


  
                                                          
01
*
1
y
y

                                                                 (6) 
T
n
c
c
c
C
1
21
11
1
,...,
,

   
1
C  -  вектор постоянных интегрирования для первого участка. 
Для  получения  решения  на  втором  участке  осуществляем  численное 
интегрирование уравнения (1) при следующей начальной матрице: 
                                              
  

01
1
21
11
1
1
,
,
,
z
z
z
z
d
Z
n


      
                             (7) 
где  
1
j
z
 
 
- векторы, полученные в процедуре ортогонализации С.К. Годунова. 
Для выполнения такой процедуры в ходе интегрирования (1) создана компактная 
программа  ORTOG,  которая  применима  для  любого  числа  уравнений,  входящих  в 
исходную систему и для различных классов задач, т.е. является универсальной. 
Решение, полученное в конце второго участка, представляем в виде: 
       
                                                            








n
i
i
i
y
C
y
y
y
C
Y
1
2
*
12
2
02
2
2
2
     
     
                          (8) 
где    


2
22
12
2
,
,
n
y
y
y
y


   
                                                        
02
*
2
y
y

     
              
                                 (9)      
T
n
c
c
c
C
2
22
12
2
,...,
,

 
Аналогично,  осуществляя  переход  от  второго  участка  к  третьему  и  т.д.,  получаем 
решение  для  всех  участков  отрезка 


m
d
d ,
0
.    Решение  на  p –  том  участке  запишем  в 
виде:  

93 
 
                                                   
p
p
p
p
y
C
y
Y
*


                  
                           (10) 
где   


np
p
p
n
y
y
y
y

,
,
2
1

   
                                                        
p
n
y
y
0
*

                  
                                   (11) 
T
np
p
p
p
c
c
c
C
,...,
,
2
1

 
Представим уравнения (10) в краткой записи: 
                                                         
p
p
n
A
Y
Y

                      
                          (12)            
где   


*
,
p
p
p
y
y
Y

        
                                                        
t
P
p
C
A
1
,

                   
                            (13)  
Между векторами постоянных интегрирования для   p  –го и  


1

p
-го   участков 
существует соотношение: 
                                                         
1



p
p
p
A
A
                 
                            (14) 
где   
p

 - треугольная матрица коэффициентов линейного преобразования в процедуре 
ортогонализации С.К.Годунова [3]. 
Решение на последнем участке запишем в виде: 
                                                      
m
m
m
A
Y
Y

                        
                         (15) 
Условия  в  конце  отрезка  интегрирования  представим  в  общем  виде  следующим 
образом: 
                                                    
 
k
k
k
R
x
Y
F

,                   
                           (16) 
где  
k
F
  
- прямоугольная матрица размера 
n
n

2
;  
k
R
 – вектор размера 
n . 
Подставив  выражение  (15)  в  уравнения  (16),  получим  соотношения  для 
определения постоянных интегрирования на последнем участке: 
                                                   
 
k
m
m
m
k
R
A
d
Y
F

                           
                 (17) 
Использование формулы (14)  позволяет определить постоянные интегрирования 
для  предпоследнего  участка.  Аналогично,  последовательный  переход  от  участка  к 
участку  в  обратном  направлении позволяет  определить постоянные  интегрирования и 
для  всех  остальных  участков.  По  формуле  (10)  находятся  решения  для  тех  точек 
отрезка  интегрирования,  которые  при  прямой  прогонке  сохранены  в  памяти  машины 
как  матрица 
p
y
 и  вектор   

p
y
.  Расчетными  точками  для  нахождения  решений  могут 
быть  не  только  точки деления  отрезка  интегрирования,  но и  любые точки  в  пределах 
промежуточных отрезков.     
Точность численного решения системы (1) зависит от применяемого численного 
метода  интегрирования  и  от  точности  представления  чисел  на  конкретной  модели 
ЭВМ.  
Источниками  ошибок  численного  расчета  являются  погрешности  в  исходных 
данных, погрешности ограничения и погрешности округления [5]. 
Ошибки в исходных данных возникают в результате неточных измерений  или из-
за  невозможности  выражения  исходных  данных  конечными  числами  в  машинном 
представлении.  Ошибки  в  исходной  информации  искажают  результаты  численного 
расчета независимо от применяемого метода. 
Почти все вычислительные процедуры, используемые при реализации численных 
методов,  являются  бесконечными.  Ошибки,  возникающие  в  результате  ограничения 
бесконечного математического процесса, приводят к ошибкам ограничения.     

94 
 
При выполнении расчетов с числами с плавающей запятой, кроме вышеуказанных 
ошибок,  имеют  место  ошибки  округления,  так  как  любая  вычислительная  машина 
оперирует  с  конечным  количеством  значащих  цифр  и  довольно  часто  возникает 
необходимость в округлении результатов. 
Оценку ошибки в исходных данных, очевидно, можно получать путем изменения 
значения  исходных  данных  в  некоторых  пределах  и  сравнения  полученных 
результатов.  Этот  вид  ошибок  встречается,  в  основном,  при  обработке 
экспериментальных данных, и в нашем случае не доставляет неприятностей.  
Что касается ошибок округления, современные ЭВМ позволяют вести вычисления 
с  достаточно  большим  количеством  значащих  цифр,  причем  последствия  влияния 
точности  представления  чисел  также  можно  оценить,  выполняя  расчет  с  разным 
количеством значащих цифр и сравнивая полученные результаты. 
Еще  одной  характеристикой,  по  которой  необходимо  выбирать  тот  или  иной 
численный  метод,  является  устойчивость  –  темп  увеличения  ошибок  (в  исходных 
данных, ограничения или округления) по мере увеличения переменной интегрирования. 
Из  множества  известных  численных  методов  интегрирования  системы 
обыкновенных дифференциальных уравнений [5] одним из наиболее распространенных 
и  изученных  является  предиктор-корректор  метод  Хемминга  с  автоматическим 
выбором  шага  интегрирования,  обладающий  достаточно  высокой  устойчивостью. 
Стандартная 
программа 
HPCG, 
основанная 
на 
алгоритме, 
реализующем 
вышеуказанный метод Хемминга, приведена в [6].  
 
 
 1
.  Дюзбенбетов  Б.Д.,  Сыдыков  А.А.  Вывод  уравнений  движения  оболочки  вращения 
при  динамическом  воздействии.  //    Труды  4-ой  Международной  научно-
практической конференции ГА, Алматы, 2007. 
2. Нарайкин О.С., Шимырбаев М.К., Дюзбенбетов Б.Д. Формирование краевых условий 
задач  колебаний  оболочек  вращения  с  жестким  центром  //  Тезисы  докл.  IХ 
Республиканской межвузовской конференции по математике и механике.  Алма-Ата, 
1989. 
3.  Годунов  С.К.  О  численном  решении  краевых  задач  для  систем  линейных 
обыкновенных  дифференциальных  уравнений.  //  Успехи  математических  наук.  – 
1961. – Т.16. –вып. 3. – С. 171-174. 
4. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций.  – М.: Машиностроение, 1977. 
488 с. 
5.  Мак-Кракен  Д.,  Дорн  У.  Численные  методы  и  программирование  на  Фортране  / 
Перевод с англ. – М.: Мир, 1977. – 584 с. 
6. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. Пакет научных программ. Пер. с англ./ Под 
ред.Жаврид Н.С., Петрович М.Л. – Минск, 1973. – вып. 2. – ч.2. – 272 с. 
 
 
 
 
 

95 
 
УДК 517.929.7. 

жүктеу/скачать 5,39 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: