Алдабергенов а. К. М а т е р и а л д а р к е д е р г

 
58 
        Егер  сыртқы (ішкі) күш проекциясы  қима  төңірегінде  сағат  тілі  
бағытында  айналдыратын  болса,  ол  оң  таңбалы  жанама  күш  тудырады.     
(сурет 5.3). 
 
 
 
 
 
 
Сурет 5.3. 
 
      Кез  келген  элементтің  иілуін  қарастырғанда  ию  моментінің  таңбасын  
еркін алуға  да  болады.  Иілуге  есептегенде  негізгі  мәселе –  талшықтардың  
созылатынын,  немесе,  сығылатынын  анықтау. Олай  болса, былай  істеу  
керек:  бірінші  моментті  оң  таңбалы  деп  аламыз. Одан  қиманың  қай  
талшығы  созылатынын  байқаймыз. Осы  моментпен  салыстырып,  қалған  
моменттердің  таңбаларын  анықтаймыз.  Содан  кейін,  қортынды  моменттің  
таңбасы  бойынша  қиманың  қай  талшығы  созылғанын  тауып,  момент  
эпюрасында  оны  элементтің  осы  жағына  саламыз.   
  Қима  әдісін  қолданып,  екінші  сұраққа  жауап  беріледі:  
     Қимадағы  ию  моменті  бір  жағында  жатқан  сыртқы  күштердің  қимаға  
қарағандағы  моменттері  қосындысына  тең  болады, яғни
 
                                         


сол
М
М
          
немесе 
           


он
М
М
,         
мұнда 

сол
М
, 

он
М
 – қарастырып  отырған  қиманың  сол  және  оң  жақтарында  
жатқан  сыртқы  жүктердің  моменттері  қосындысы. 
       Қимадағы  жанама  күш   бір  жағында  жатқан  сыртқы  жүктердің  
арқалық  осьіне  перпендикуляр  оське  проекциялары  қосындысына  тең  
болады,  яғни   
                                 


со л
Р
Q
        немесе           


он
Р
Q
 
Мұнда 

сол
Р
, 

он
Р
 –  қарастырылып  отырған  қиманың  сол  және  оң  
жақтарында  жатқан  сыртқы  жүктердің  проекциялары  қосындысы. 
       
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                               
                                                                   Сурет.5.4. 

 
59 
        Сонымен,  5.4 – суретінде  көрсетілген арқалық  қимасындағы  ішкі  
күштер  былай  анықталады:    
P
qa
V
P
Q
a
сол






 
            
m
x
c
P
x
c
b
a
qa
x
c
b
a
V
М
М
a
сол














)
(
)
2
(
)
(
 
 
5.2. Иілудегі  тік  кернеулер 
       Арқалық    қимасында    тек    қана    ию    моменті    пайда    болатын    жағдайды  
қарастырайық.  Мұндай  иілуді  таза  иілу  дейді. 
      Бұл  ию  моменті  қиманың  кез  келген  нүктесінде  тік  кернеу  тудырады.  
Оның  шамасы  мына  кейіптемемен  анықталады:   
                                                    
,
y
I
M
z


                                                     (5.1) 
мұнда,  M  –  қарастырып  отырған  қимадағы  ию  моменті;                                                     
              I
z
  –  осы  қиманың  z  осьіне  қарағандағы  инерция  моменті ; 
              z   –  қиманың  ауырлық  центрі  арқылы  өтетін  бейтарап  осьі; 
              y   –  бейтарап  осьтен  қиманың  кез  келген  нүктесіне  дейінгі  ара  
                     қашықтық  (сурет 5.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Сурет.5.5. 
 
    (5.1)  кейіптемесін  шығарғанда  төмендегідей  жеңілдіктер  (жорамалдар)  
алынған: 
–  арқалық  талшықтары  бірін – бірі  қыспайды; 
– деформацияға  дейінгі  жазық   және  арқалық   осьіне  перпендикуляр  қима    
деформациядан    кейін    де    сол    жазық    және    иілген    оське    перпендикуляр  
күйінде  сақталады; 
– материал   Гука  заңы  бойынша  деформацияланады. 
        (5.1)  кейіптемесіне  талдау  жасайық.  Одан  байқаймыз: 
      1. Тік   кернеу σ  қима  биіктігі   бойынша   сызықты   заңдылықпен   өзгереді   
(ордината   у   бірінші  дәрежеде).  
      2. у ара  қашықтығының  үлкеюі тік  кернеу σ – ның  көбеюін  тудырады. 
Олай  болса,  тік  кернеудің  ең  үлкен  шамасы  қиманың  бейтарап  осьінен  ең  
алыс  жатқан  нүктесінде  пайда  болады.  Бұл  нүктені  осы  қиманың  қауыпты  
нүктесі  дейді.  Мысалы  (сурет 5.5) – те :  
        нүкте  1 –  қиманың  созылған  аймағындағы  қауыпты  нүктесі; 

 
60 
        нүкте  2 –  қиманың  сығылған  аймағындағы  қауыпты  нүктесі. 
      Кез  келген  қиманың  қауыпты  нүктесіндегі  тік  кернеу  былай  
анықталады: 
                                
max
max
y
I
M
z


    ( у
max 
 = у
1
  немесе  у
2
)                          (5.2) 
      3.  Ию    моменті  М  -  нің    үлкеюі    тік    кернеу  σ  –  ның    көбеюін    тудырады..  
Сондықтан,    ең    үлкен    тік    кернеу    ең    үлкен    ию    моменті    пайда    болатын  
қимада болады.  Бұл  қиманы  арқалықтың  қауыпты  қимасы  дейді. 
Қауыпты  қиманың  кез  келген  нүктесіндегі  тік  кернеу  шамасы  мына  
кейіптемемен  табылады: 
                    
y
I
M
z
max
max


                                              (5.3) 
      4. Тік  кернеудің  максимал  шамасы  қауыпты  қиманың  қауыпты  
нүктесінде  пайда  болатыны  күмән  тудырмайды.  Олай  болса,  оның  мәні  
төмендегі  кейіптемемен  анықталады:  
                                                  
max
max
max
max
y
I
M
z


                                         (5.4      
(5.2)  және  (5.4)  кейіптемелерін  мына  түрде  жазуға  болады  
        
z
W
M

max

;    
z
W
M
max
max
max


 ,  мұнда     
max
y
I
W
z
z

 
      Арқалықтың  беріктігі  қамтамасыз  етіледі,  егер  максимал  тік  кернеу  
шамасы  материалдың  мүмкіндік  кернеуінен  аспаса.  Сондықтан,  арқалықтың  
иілудегі  беріктік  шарты  былай  жазылады:    
                                                 
 
.
max
max
max




z
W
M
                                     (5.5) 
       Айта  кетелік,  егер  материал  созылуға  және  сығылуға  әртүрлі  
қарсыласатын  болса,  оның  беріктігін  жеке  түрде  созылуға  және  сығылуға  
тексеру  қажет. 
             
 5.3.Иілудегі  жанама  кернеулер 
      Жанама  күш Q  қиманың  кез  келген  нүктесінде  жанама  кернеу  
тудырады. Оның  шамасы  мына  кейіптемемен  анықталады: 
                            
 
                                                 
b
S
I
Q
кил
z
z



                                           (5.6) 
мұнда,   τ – толық  жанама  кернеудің  вертикаль  құраушысы;  
            Q  – қарастырып  отырған  қимадағы  жанама  күш; 
             S
z
отс
  –  қиманың  қиылған  бөлігінің (шабақталған)  z  осьіне  
                      қарағандағы  статикалық  моменті  (сурет 5.6); 
              z  – қиманың  ауырлық  центрі  арқылы  өтетін  бейтарап  осьі; 
              b  –  қарастырып  отырған  нүкте  деңгейіндегі  қиманың  ені. 
       (5.6)    кейіптемесін    шығарғанда    төмендегідей    жеңілдіктер  (жорамалдар)  
алынған: 

 
61 
–  тік  кернеу  таза  иілуде  алынған  (5.1)  кейіптемесімен   анықталады;                   
– жанама  кернеулер  (вертикаль)  қима  ені  бойынша  біркелкі  таралады;                                 
–  қиманың  пішіні  мен  өлшемдері  арқалық  бойында  өзгермейді,  яғни   
    тұрақты  болады. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Сурет. 5.6 
     Келтірілген  қиманың  қиылған  бөлігінің (шабақталған)  статикалық  
моменті  былай  анықталады:  
                                                    
               
                                             S
z
қил
   =  A
қил
 ٠ y
0
,     
                                    
 Мұнда,   A
қил   
=
  
A
отс
 –  қиманың  қиылған  бөлігінің  ауданы; 
        у
0
 –  қиманың  қиылған  бөлігінің  ауырлық  центрінен  бейтарап  z  осьіне  
дейінгі  ара  қашықтық. 
         (5.6)  кейіптемесіне  талдау  жасайық.  Одан  байқаймыз: 
        1. Жанама  күш Q – дің  шамасы  үлкейсе, жанама  кернеу τ  көбейеді. Олай  
болса,  оның  ең  үлкен  шамасы  ең  үлкен  жанама  күш Q  пайда  болатын  
қимада  болады.  Бұл  қиманы  жанама  кернеуге  қарағандағы  қауыпты  қима  
дейді.         
          Сонда,  қауыпты  қиманың  кез  келген  нүктесіндегі  жанама  кернеу  
мына  кейіптемемен  анықталады: 
                                                                
 
                                                      
b
S
I
Q
кил
z
z


max
max

                                   (5.6.a) 
     2.  Енді  арқалықтың  кез  келген  қимасын  қарастырайық. Қиман.ың  әр           
нүктелеріндегі  жанама  кернеулерді  табайық. Оның  ең  үлкен  шамасы   
 ( 
кил
z
S
/b)
max  
мәні  максимал  болған  нүктеде  пайда  болатынын  көреміз.  Бұл  
нүктені  жанама  кернеуге  қарағандағы  қауыпты  нүкте  дейді. 
       Сонда  кез  келген  қиманың  қауыпты  нүктесіндегі  жанама  кернеу  былай  
табылады:                                                                            
                                               
max
max








b
S
I
Q
кил
z
z

                                   (5.6.б) 
      3.  Әрі    қарай    жанама    кернеудің    максимал    шамасын    табайық.    Оның  
қауыпты    қиманың    қауыпты    нүктесінде    пайда    болатыны    түсінікті    және  
былай  анықталады:                                                                                
 

 
62 
                                              
max
max
max
max








b
S
I
Q
кил
z
z

                              (5.6.в) 
      Арқалықтың  беріктігі  қамтамасыз  етіледі,  егер  максимал  жанама  кернеу  
(5.5.в)  материалдың  мүмкіндік  кернеуі  [τ] – дан  аспаса.  Олай  болса, 
арқалықтың  жанама  кернеу  бойынша  беріктік  шарты  мына  түрде  
жазылады:                                                                    
                                         
]
[
max
max
max
max











b
S
I
Q
кил
z
z
                              (5.7) 
 
5.4.  Иілудегі  арқалық  деформациялары 
     Арқалық  иілгенде  деформацияның  екі  түрі  пайда  болады (сурет 5.7): 
                    ν   –  осьтің  иілу  мөлшері; 
                    θ   –  қиманың  бұрылу  бұрышы. 
     Бұл  деформацияларды  анықтағанда  мынандай  жеңілдетулер,  дәлірек  
айтқанда,  жорамалдар  енгізілген: 
–  арқалық  талшықтары  бірін – бірі  қыспайды; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Сурет. 5.7. 
 
   –  осьтің  барлық  нүктелері  тек  вертикаль  бағытта  ғана  орын  ауыстырады;     
–
 
қиманың  барлық  нүктелері  вертикаль  бағытта  бірдей  шамаға  орын   
    ауыстырады; 
   –  тік  кернеу σ
х ,  
демек
   
бойлық  салыстырмалы  деформация  ε
х
,  қима  ені  
       бойынша  өзгермейді,  яғни  тұрақты.
 
  
        
         Иілу  мөлшері   ν   мен  бұрылу  бұрышы   θ – ның  арасында төмендегідей  
дифференциалдық  байланыс  бар  екені  дәлелденген: 
                                                         
x
v
dx
dv
,



                                                (5.8) 
Арқалықтың  иілген  осьі (серпімділік  сызығы)  мына  дифференциальдық  
теңдеумен  өрнектеле: 
                                                   
M
v
EI
dx
v
d
EI
xx
z
z



,
2
2
                               (5.9) 
   (5.9)  теңдеуінің  оң  жақ  бетіндегі  таңба  у  осьінің  бағытына байланысты.  
Егер  у  осьін  жоғарыға  бағыттасақ , < + >  таңбасы, ал  төменге  бағыттасақ, 
  < – >  таңбасы  алынады. 
         Келешекте  у  осьін  төменге  бағыттаймыз,  координат  басын  
арқалықтың  ең  сол  шетіне  орналастырамыз.  Бұл  жағдайда  иілген  осьтің  
дифференциалдық  теңдеуі  (5.9)  мына  түрге  келтіріледі: 
 

 
63 
                                        E I
z
  
ν,
xx
  =  – M                                           (5.10) 
          (5.10)  теңдеуін   х  бойынша  екі   рет  интегралдайық.  (5.8)  байланысын  
ескерсек,  θ  және ν  деформацияларын  анықтайтын  теңдеулер  алынады: 
E I
z
  
θ   =  –  

l
M dx  +  C
 
                                        E I
z
 ν  =  –  

l
 dx 

l
 M dx  +  C x  +  D                      (5.11) 
     (5.11) – де   С  және  D  – интегралдау  тұрақтылары. Оларды  табу  әр  
есептің  негізгі  және  ең  ауыр  бөлігі  болып  есептелетінін  ескерте  кетейік. 
       Берілген  арқалық  әрқашан  тіректермен  бекітіледі.  Олай  болса,  осы  
бекітілген  жерлерда  θ  немесе  ν  деформациялары алдын  ала  белгілі  болады.  
Бұл  жағдайды  есепің  шеткі  шарты  деп  атайды. Шеткі  шарттың  саны  
әрқашан  екіге  тең.  Осы  шарттарды  математика  тілімен  қалай  жазу  керек  
екенін  төмендегі  мысалдарда  көрсетейік. 
      1. Арқалықтың  сол  шеті  қатаң  бекітілген  (сурет 5.8). 
      Қатаң  бекітпеде (х = 0)  қима  бұрыла  алмайды  және  ось  нүктесінің  
вертикаль  орын  ауыстыруы (иілу  мөлшері)  мүмкін  емес.  Осы  белгілі  
шарттарды  былай   жазуға  болады: 
 
 
                                                                 а)  х =  0  болғанда,   θ  = 0; 
                                                                 б)  х = 0   болғанда,   ν  = 0.                (5.12) 
                                           
                     
             Сурет 5.8. 
  2. Арқалықтың  оң   шеті  қатаң  бекітілген  (сурет 5.9.). 
     Деформацияларға  қарағандағы  белгілі  шарттар  сол  күйінде  қалады.   
Қатаң  бекітпенің  орыны   х = L   координатасымен  анықталады.  Сонда  
есептің  шеткі  шарты  мына  түрде  жазылады:: 
 
              
       а)  х = L  болғанда,   θ  = 0;                                                
            
 
 
 
 
       б)  х = L  болғанда,   ν  = 0.              (5.13)     
         
             Сурет 5.9. 
3. Қос  тіректі  арқалық (сурет 5.10).  
    Тіректерде  (х = 0  және  х = L)  арқалық  осьінің  нүктелері  вертикаль  орын  
ауыстыруы  (иілу    мөлшері)  мүмкін    емес.  Олай    болса,    бұл    шарттар  
математика  тілінде  былай  жазылады: 
                                                          а)  х = 0  болғанда,   ν = 0; 
           
 
 
 
       б) х = L  болғанда,    ν = 0.                    (5.14)                                                           
          Сурет 5.10. 

 
64 
  Арқалықтың  деформацияларын  (5.11) дифференциальдық  теңдеуінен   
(5.12) – (5.14)  шеткі  шарттарын  қолдану  арқылы  табуды  тікелей  
интегралдау  әдісі  деп  атайды. Арқалық  көп  аралықтардан  тұратын  
жағдайларда  бұл  әдісті  қолдану  ыңғайсыз  болатынын  айта  кетейік. 
       Іс  жүзінде деформацияларды  анықтауда  кең  тараған  және  ыңғайлы  әдіс 
– энергетикалық  әдіс. 
 
5.5.  Мор  интегралдары 
         
Мор  интегралдарының  қысқартылған  түрін  келтірейік: 
                                            
z
e
p
l
EI
M
M



dx.                                          (5.15) 
    Мұнда,  М
р
 
–  берілген  сыртқы  жүктен  арқалық  қимасында  пайда  болатын 
                           ию  моменті; 
                   М
е
 – бірлік  жүктен  (Р = 1   немесе   М = 1)  арқалықтың  сол   
                           қимасында  пайда  болатын  ию  моменті; 
                  EI
z
    
–  иілудегі  арқалық  қатаңдығы; 
                    Δ  –   арқалық  деформациясы (иілу  мөлшері  немесе  қиманың   
                             бұрылу  бұрышы). 
       Интегралдың  шектеріне  көңіл  аударыңыздар.  Интегралдың  төменгі  
және  жоғарғы  шектері  х  аргументінің  аралықтың  басы  мен  соңы  
координаталарына  сәйкес  мәндерін  көрсетеді.  
       Қимасы  тұрақты  арқалықты  қарастырайық (EI
z
  
= const.). Арқалық  
деформацияларын  Мор  интегралы  (5.15) бойынша  анықтағанда төмендегі  
тізбектеуді  сақтауды  ұсынамыз: 
      1.Арқалықтың  әр  аралығы  үшін  қималарда  сыртқы  жүктерден  пайда  
болатын  ию  моменттерінің   М
p  
 өрнектері  жазылады ( х  арқылы).  
      2. Деформация  анықталатын  қимаға бірлік  жүк  түсіріледі: 
          а)  жүк  Р = 1,  егер  иілу  мөлшері  анықталатын  болса; 
          б) момент  М = 1, егер  бұрылу  бұрышы  анықталатын  болса. 
     3. Арқалықтың  әр  аралығы  үшін  қималарда  бірлік  жүктен  пайда  
болатын  ию  моменттерінің  М
е 
 өрнектері  жазылады ( бұрынғы  қималарда).  
      4. Арқалықтың  әр  аралығы  үшін  (5.15)  интегралы  жазылады.  Бұл  
интегралдарға  1 –ші және  2 –ші  баптарда  келтірілген  М
р
  
және  М
е
  ию   
моменттері  өрнектері  енгізіледі.  Осы  интегралдарды  есептеп,  нәтижелерін  
қосса,  іздеген  деформациялар  табылады. 
      Бұл  әдісті  қолданғанда  есте  ұстайтын  мәселе,  деформациясы  
анықталатын  қима  аралықтардың  бір  шеті  болады. 
 
5.6.  Верещагин  әдісі 
       
(5.15) интегралын  есептеуді  интеграл  астындағы  М
е
 және  М
р
  ию 
моменттері  эпюраларын  көбейтумен  ауыстыруға  болады. Бұл  көбейту   
Верещагин  әдісі  арқылы  жүргізіледі.  Осы  әдәсті  қолданғанда  төмендегі  
шарттар  сақталуы  қажет: 
.
          а)  арқалық  аралықтары  түзу  сызықты; 
           б)  аралықтың  қатаңдығы  тұрақты;              
           в)  М
р
   немесе   М
е
  моменттері  эпюраларының  біреуі  түзу     сызықты.   

 
65 
  Верещагин  әдісі  мына  кейіптеме  түрінде  жазылады (сурет.5.11):                                               
                                                 

l
М
р
 
· М
е
 dx  =  ω  у,                                         (5.16) 
мұнда,  ω  - бір  момент  эпюрасының  (қисық  сызықты)  ауданы; 
           у  - бірінші  момент  эпюрасының  ауырлық  центрі  турасында  жатқан  
екінші  момент  эпюрасының  ординатасы.  

жүктеу/скачать 4 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: