Алданов е. С. «Бір айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері»

10 
 
олардың 
айырмасы 
тұрақтыға 
тең, 
яғни. 
 
 
C
x
f
x
Ф


 
немесе
 
 
.
C
x
f
dx
x
f
dx
d



 
3) қасиеттің дәлелдемесі 1) қасиеттен шығады: 
 
 


 


.
dx
dx
dx
x
f
d
dx
x
f
d











 
 
Квадрат жақшаның ішіндегі өрнек 1) қасиет бойынша мынаны береді: 
 
 


 
x
f
dx
dx
x
f
d


. 
Сондықтан 
 
 


 
.
dx
x
f
dx
x
f
d


 
 
4)    қасиет  2)  қасиеттен  шығады,  бұл  жерде  тек  бірінші  ретті 
дифференциалға  алгебралық  өрнек  ретінде  қарауымыз  қажет.  Ол  үшін  осы 
жерде бірінші ретті дифференциалдың келесі қасиетін еске түсіре кетейік. 
Егер 
),
(x
y
y 
)
(x
u
u 
  функциялары 
x
  айнымалысы  бойынша,  ал 
)
(u
f
y 
функциясы 
u
 айнымалысы бойынша дифференциалданатын функциялар болса, 
онда: 
dx
x
u
du
du
u
f
dx
u
u
f
dx
x
y
dy
)
(
,
)
(
)
(
)
(









. 
 
Соңғы  теңдік  дифференциалды  есептеу  формуласының  айнымалыны 
ауыстырғаннан,  яғни 
x
айнымалыдан  функцияның  орнына 
u
айнымалыдан 
функция  қарастырғанда  өзгермейтіндігін  көрсетеді.  Дифференциалдың  бұл 
қасиеті бірінші ретті дифференциалдың инварианттығы деген атау алған. 
Осыны  ескере  отырып,  бізге  тек  алғашқы  екі  қасиетті  дәлелдеген 
жеткілікті болады. Сонымен 
 
C
x
f
x
df
dx
x
f
dx
x
f
dx
d








)
(
)
(
)
(
)
(
 
 
Аны
қ
талма
ғ
ан  интеграл  
қ
асиеттеріні
ң  
екінші  тобы. 
II.1 Суперпозиция қасиеті: 
 
 


 
 






dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
2
1
2
1
 
II.2  Біртектілік қасиеті: 
 
 
.
,
const
C
dx
x
f
C
dx
x
Cf




. 
Бұл қасиеттердің дәлелдеулері ұқсас жүргізіледі.Теңдіктердің екі жағын да 
дифференциалдау  арқылы  (бірінші  топтағы  қасиеттер  бойынша)  тепе-теңдік 
аламыз.  Сонан  соң,  алғашқы  функциялар  туралы  теорема  бойынша 
теңдіктердің оң  жағы мен сол  жағының айырмалары бір функцияның алғашқы 

11 
 
функциялары  ретінде  тұрақтыға  тең  болатынын  және  оны  теңдіктің  екі 
жағындағы анықталмаған интегралдарға қосуға болатынын ескереміз. 
Д
ә
лелдеулер
.
 
 
 


 
 


 
 
 
 
.1
1
2
1
2
1
2
1
2
1)  
I
d
d
d
f
x
f
x
dx
f
x dx
f
x dx
dx
dx
dx
d
d
f
x
f
x
f
x dx
f
x dx
dx
dx


















 
 
2) 
II.2 формуланың алдымен сол жағын, сосын оң жағын дифференциалдап 
теңдіктің дұрыстығына көз жеткіземіз:
 
 
 


)
(
1
.
x
Cf
dx
x
Cf
dx
d
I


 




dx
x
f
C
dx
d
)
(
(дифференциалдау  амалының  біртектілігінен  -  «тұрақтыны 
туынды таңбасының алдына шығару») 


)
(
)
(
x
Cf
dx
x
f
dx
d
C




. 
Жалпы  жағдайда  бұл  II.1  және  II.2  қасиеттерін  бірге  былайша  жазуға 
болады және ол оңай дәлелденеді:  
 
 
 


 
 
 
 
dx
x
f
C
dx
x
f
C
dx
x
f
C
dx
x
f
C
dx
x
f
C
dx
x
f
C
dx
x
f
C
x
f
C
x
f
C
n
n
n
n
n
n
)
(
...
)
(
...
)
(
...
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1



















 
 
Бұл  өрнек  кез-келген  саны  ақырлы  интегралданатын  функциялардың 
суперпозициясы үшін дұрыс болып табылады.
 
Функцияны 
дифференциалдау 
амалынан 
интегралдау 
амалының 
өзгешелігі, интегралды есептеудің нақты ережелерінің болмауында. Сондықтан 
функция интегралын есептеу үшін ең қолайлы әдіс –анықталмаған интегралды 
туындылар  кестесіне  қарап  тауып  алу,  яғни  кестеге  қарап  отырып  теңдіктерді 
кері тәртіппен қайтадан жазып шығу керек. 
Осылайша негізгі элементар функциялардың интегралдарын жазайық: 
 
1) 







.
1
,
1
1




C
x
dx
x
 
Дербес жағдайлар: 
C
x
x
dx
C
x
dx
x













2
,
1
1
2
. 
2) 



,
|
|
ln
C
x
x
dx
 
(бірінші интегралдың 
1



 болатын ерекше жағдайы) 
3) 
.
,
ln
C
e
dx
e
C
a
a
dx
a
x
x
x
x






 
4) 














.
sin
,
cos
,
cos
sin
,
sin
cos
2
2
C
ctgx
x
dx
C
tgx
x
dx
C
x
xdx
C
x
xdx
 

12 
 
5) 













.
,
,
,
2
2
C
cthx
x
sh
dx
C
thx
x
ch
dx
C
chx
shxdx
C
shx
chxdx
 
Осы  және  басқа  да  анықталмаған  интегралдар  формулаларының 
дұрыстығына  олардың  оң  жағын  дифференциалдау  арқылы  көз  жеткізуге 
болады (бірінші топтағы 1-ші қасиет). 
 
Көп  білу  маңызды  емес, маңыздысы–қажеттіні   білу! 
 
1.3 Анықталмаған интегралдарды есептеудің әдістері 
 
1.3.1 Функцияны дифференциал таңбасының астына кіргізу тәсілі. 
 
 
 
C
x
F
dx
x
f



  
интегралы белгілі болсын. Сонда 
 

  
 

  
 








.
C
x
F
x
d
x
f
dx
x
x
f





                        (1.2) 
 
Осы  жердегі  ең  маңызды  нәрсе 
 
dx
x
f
      өрнегін 
 

  
x
d
x
f


    түрінде 
көрсетіп жазу. 
Д
ә
лелдеу
.     
Күрделі  функцияны  дифференциалдау  ережесі  бойынша  
(1.2)  теңдіктің оң жағындағы 
 


x
F

  функциясын дифференциалдайық  
 
 


 

  
x
x
f
dx
d
d
dF
dx
x
dF








, 
ал  (1.2)  теңдіктің сол жағына  I.1  қасиетті қолдансақ, 
 

  
)
(
))
(
(
x
x
f
dx
x
x
f
dx
d








 
Осыдан 
 


x
F

    және 
 

  


dx
x
x
f


   
функциялары 
 

  
x
x
f



    үшін 
алғашқы функция болатыны шығады, сондықтан олардың айырмасы тұрақтыға 
тең (алғашқы функциялар туралы теорема)н:  
 


 
 


 
 


( ( ))
( ( ))
( )
.
f
x
x dx
F
x
C
f
x
x dx
f
x d
x
F
x
C



















 
Бұл тәсіл жиі қолданылады.  
Мысалы: 



 








C
x
x
d
x
dx
x
x
ln
sin
ln
ln
cos
1
ln
cos
; 
















C
e
e
d
dx
x
e
x
x
x
1
1
2
1
. 
 
1.3.2 Айнымалыны ауыстыру әдісі 
 
Алдыңғы  тәсіл  –айнымалыны  ауыстыру  әдісінің  дербес  жағдайы  болып 
табылады.  

13 
 
Теорема. 
 
t
u
x 
функциясы 
қайсібір 
X
облысында 
үзіліссіз 
дифференциалданатын 
болсын 
және 
оның 
осы 
облыста 
үзіліссіз 
дифференциалданатын кері функциясы 
 
x
u
t
1


бар болсын.Сонда  
 
 

  




,
dt
t
u
t
u
f
dx
x
f
мұндағы
 
x
u
t
1


.                   (1.3) 
Д
ә
лелдеу
. 
Теоремадағы  (1.3)  теңдіктің  екі  жағын  да  дифференциалдау 
арқылы,  күрделі  функцияны  дифференциалдау  ережесі  мен  1-ші  ретті 
дифференциалды 
жазу 
түрінің 
инварианттылығын 
қолдана 
отырып, 
дифференциалдардың теңдігін аламыз: 
 
 
 
 


 

  
dt
t
u
t
u
f
t
u
d
x
f
dx
x
f



, мұндағы
 
x
u
t
1


. 
 
Алынған 
теңдіктің 
екі 
жағын 
интегралдау 
арқылы 
теореманың 
дәлелдемесін аламыз. 
Ескере  кететіні,  кері  функцияның  бар  болу  шартын  талап  ету  t
айнымалысынан  кері  қарай 
x
  айнымалысына  көшу  үшін  қажет  екендігін 
байқаймыз. 
 
1.3.3 Бөліктеп интегралдау әдісі 
 
Егер  
   

x
dv
x
u
  түріндегі интегралды есептеу кезінде қиындық  туындап, 
оның  орнына   
   

x
du
x
v
    түріндегі  интегралды  есептеу  ыңғайлы  болса,  онда 
бөліктеп интегралдау формуласын қолданады: 
 


)
(
)
(
x
dv
x
u
   
x
v
x
u
- 

)
(
)
(
x
du
x
v
.                                (1.4) 
 
Келесі  сөйлемді  дәлелдейік:   
Егер  (1.4)  теңдіктің  екі  жағындағы 
интегралдар бар болса, онда теңдік дұрыс болады. 
Д
ә
лелдеу
.   
Формуланы  дәлелдеу  үшін 
   
x
v
x
u
  көбейтіндісін 
дифференциалдаймыз:  
   
   
   
x
du
x
v
x
dv
x
u
x
v
x
u
d


)
(
. 
 
Алынған теңдіктің екі жағын да интегралдап, және теңдіктің оң жағындағы 
қосындының интегралы бар екенін ескерсек қажетті формуланы аламыз: 
 
   














)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
x
du
x
v
x
dv
x
u
C
x
v
x
u
x
du
x
v
x
dv
x
u
x
v
x
u
d
. 
Мысалдар.  







C
x
x
x
x
xd
x
x
xdx
ln
ln
ln
ln
 

14 
 















C
x
x
x
x
d
x
x
x
x
xd
xdx
x
2
2
2
2
2
4
1
ln
2
1
ln
2
2
ln
2
ln
ln
. 














2
1
ln
2
x
v
dx
x
du
xdx
dv
x
u
 









C
x
x
x
xdx
x
x
x
xd
xdx
x
cos
sin
sin
sin
sin
cos
 
Мына интегралдарды есептейміз: 

xdx
e
x
cos
, 

xdx
e
x
sin
. 





xdx
e
x
e
xdx
e
x
x
x
cos
cos
sin
,  




xdx
e
x
e
xdx
e
x
x
x
sin
sin
cos
 
 













x
v
dx
e
du
xdx
dv
e
u
x
x
cos
sin
 
 












x
v
dx
e
du
xdx
dv
e
u
x
x
sin
cos
. 
Енді екінші интегралды біріншісіне апарып қойсақ, мынаны аламыз 





x
x
e
xdx
e
x
x
cos
sin
2
1
sin
.  
Дәл осылайша бірінші интегралды екіншіге апарып қойсақ 





x
x
e
xdx
e
x
x
cos
sin
2
1
cos
. 
Жоғарыда  алынған  (1.2  бөлімде)  5  интегралдарды  келесі  интегралдармен 
толықтырамыз: 
6. 
C
a
x
arctg
a
a
x
a
x
d
a
a
x
dx
a
a
x
dx




























1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
 
7. 
























C
a
x
a
x
a
C
a
x
a
x
a
dx
a
x
a
x
a
a
x
dx
ln
2
1
|
|
ln
|
|
ln
2
1
1
1
2
1
2
2
 
8.
C
a
x
a
x
a
x
d
x
a
dx



















arcsin
1
2
2
2
 
9. 


















C
a
x
x
C
t
t
dt
a
x
x
a
x
dt
a
x
a
x
dx
|
|
ln
|
|
ln
2
2
2
2
2
 
 
Мұнда 
айнымалыны 
ауыстыру, 
x
t
a
x



2
- 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: