Анықталған интегралды есептеу әдістері

47 
 






2
1
)
(
))
(
(
)
(
t
t
b
a
dt
t
t
f
dx
x
f
. 
Мысалдар.1)


2
1
1
2x
dx
 интегралын есептейік. 
Шешуі:Интегралды 
1
2 
 x
t
ауыстыруын  жасап  есептейік.  Осыдан 
2
1


t
x
  және 
dt
dx
2
1

.  Бұдан  басқа,  егер 
2
1
P
x
  айнымалысы  1-ден  2-ге  дейін 
өзгеретін  болса,  жаңа  t айнымалысы  қандай  аралықтарда  өзгеретінін 
анықтауымыз керек.Егер 
1

x
, онда
3

t
;  егер
2

x
, онда
5

t
. Осылайша,  
























5
1
2
2
2
,
2
3
1
1
2
1
,
1
2
1
2
2
1
t
x
dx
dt
t
x
x
t
x
dx
=
3
5
ln
2
1
ln
2
1
2
1
5
3
5
3



t
t
dt
. 
2)Келесі интегралды есептеу керек


1
2
2
2
2
1
dx
x
x
 . 
Шешуі:  Келесі 
t
x
sin

  ауыстыруын  қолданайық.  Сонда 
dt
t
dx
cos

.  
Енді
1
t
және
2
t
мәндерінесептейміз: 
2
2

x
және
1

x
болғанда, 
сәйкес: 
4
2
2
arcsin
1



t
, 
2
1
arcsin
2



t
. Сондықтан,  


























2
1
arcsin
,
1
cos
4
2
2
arcsin
,
2
2
sin
1
1
2
2
2
2
t
x
tdt
dx
t
x
t
x
dx
x
x
 


























dt
t
dt
t
t
t
tdt
t
tdt
t
2
4
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
1
sin
1
sin
sin
1
sin
cos
sin
cos
sin
1
 
4
1
4
4
2
0
2
4















ctg
t
t
ctg
. 

48 
 
3)Келесі интегралды есептеу керек: 




e
x
x
dx
1
2
ln
1
. 
Шешуі:Ауыстыру жасайық – 
x
t
ln

. Сонда
x
dx
dt 
.  Осыдан, 




























1
0
1
0
2
2
1
1
2
arctg
1
1
ln
0
1
ln
1
ln
ln
1
t
t
dt
e
t
e
x
x
dx
dt
t
x
x
t
x
x
dx
e
4
0
arctg
1
arctg




. 
Ескертулер.
1)Анықталған  интегралда  айнымалыны  ауыстырғаннан 
кейін,  ауыстыру  формуласына  сәйкес  интегралдау  шектерін  өзгертуді 
ұмытпа! 
2)Бастапқы 
x айнымалыға  қайтадан  көшу  қажеттілігі  мағынасын 
жоғалтады. 
2.6.2Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау 
 
Егер 
)
(x
u
u 
, 
)
(x
v
v 
  функциялары  және  олардың  сәйкес 
),
(x
u
)
(x
v
туындылары, 


b
a,
кесіндісінде  х   айнымалысы  бойынша  үзіліссіз  болса,  онда 
келесі бөліктеп интегралдау формуласы орындалады: 





b
a
b
a
b
a
du
v
v
u
dv
u
, 
мұндағы
dx
x
v
dv
)
(
'

және
dx
x
u
du
)
(
'

. 
Мысалдар.  1) Есептеу керек:

e
dx
x
1
ln
. 
Шешімі:




















dx
x
x
x
x
x
v
dx
dv
dx
x
du
x
u
dx
x
e
e
e
1
1
1
1
ln
1
ln
ln
 






e
x
e
e
1
1
ln
1
ln
1
1 

 e
e
. 

49 
 
2)Есептеу керек:


2
0
cos dx
x
x
. 
Шешімі: 




















2
0
2
0
2
0
sin
sin
sin
cos
cos
dx
x
x
x
x
v
xdx
dv
dx
du
x
u
dx
x
x







2
0
cos
0
1
2
x
1
2
1
0
2







. 
2.7 Меншіксіз интегралдар 
Осы  кезге  дейін  қарастырылып  келген  интегралдар,  келесі  шарттарды 
қанағаттандырды, олар: 
1) 
Интегралдау аралығыақырлы, 
2) 
Осы аралықта интеграл астындағы функция –үзіліссіз.  
Мұндай  интегралдар  меншіктідеп  аталады,  бірақ  солай  аталғанмен  көп 
жағдайда  бұл  сөз  айтылмайды.  Егер  ең  болмағанда  жоғарыдағы  шарттардың 
бірі бұзылса, онда интеграл меншіксіз деп аталады. 
Егер меншіксіз интегралдың шектері ақырсыз болса, онда ол I-ші текті, ал 
шектері  ақырлы  болып,  аралықта  интеграл  астындағы  функцияның  саны 
ақырлы үзіліс нүктелері бар болса, она  интеграл II-ші текті деп аталады. Енді 
соларды жеке-жеке қарастырайық. 
 
2.7.1 I-ші текті меншіксіз интегралдар 
)
(x
f
 функциясы 



,
a
 жартылай аралығында үзіліссіз болсын. 
Анықтама.
)
(x
f
  функциясының 



,
a
  жартылай  аралығындағы    I-ші 
текті  меншіксіз  интгралы  деп,(белгіленуі-


a
dx
x
f
)
(
) 

N
a
dx
x
f
)
(
,  мұндағы 



 ,
a
N
, интегралының 


N
шегін айтады (4 сурет), яғни  

50 
 
 






N
a
N
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
)
(x
f
y 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x  
   
 
a  
 
 
 
 


N
 
4 сурет. 
 
Енді 
)
(x
f
 функциясы 


b
;


аралығындаүзіліссіз болсын. 
Анықтама.
)
(x
f
  функциясының 


b
,


  жартылай  аралығындағы    I-ші 
текті  меншіксіз  интгралы  деп,(белгіленуі-



b
dx
x
f
)
(
) 

b
M
dx
x
f
)
(
,  мұндағы 



 ,
a
N
, интегралының


M
шегін айтады (5 сурет), яғни  







b
M
b
M
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
 
 
 
 
 
 
 
)
(x
f
y 
 
 
 
 
 
M



 
 
 
b
 
5 сурет. 

51 
 
Анықтама
.  Егер 



b
M
M
dx
x
f
)
(
lim
  және 



N
a
N
dx
x
f
)
(
lim
шектері  бар  және 
ақырлы  болса,  онда  меншіксіз  интегралдар  жинақты  деп  аталады  және  ол 
сол шектерге тең болады. 
Анықтама.
Егер 



b
M
M
dx
x
f
)
(
lim
 
және 



N
a
N
dx
x
f
)
(
lim
 
шектері  жоқ  немесе  ақырсыз  болса,  онда    меншіксіз  интегралдар  жинақсыз 
деп аталады. 
Егер 
)
(x
f
 функциясы 





,
 аралығында үзіліссіз болса, онда 




dx
x
f
)
(
 
интегралын келесі екі интегралдың қосындысы түрінде жазу керек: 











c
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
 
(мұндағы






,
c
-  кез-келген  мән,),  осыдан  кейін  жоғарыдағы  екі 
жағдайдың  біріне  келеміз.  Ал 




dx
x
f
)
(
  интегралы  жинақты  болады,  егер 
теңдіктің оң жағындағы екі интеграл да жинақты болса. 
Мысалдар.1)  Берілген 


1
x
dx
  иитегралын  есептеп,  оның  жинақсыз 
болатынын көрсетіңіздер. 
Шешімі: 























2
2
lim
2
lim
lim
lim
1
1
2
1
1
1
N
x
dx
x
x
dx
x
dx
N
N
N
N
N
N
N
 
Жауабы: меншіксіз интеграл жинақсыз. 
2)Берілген 




0
2
1
x
dx
меншіксіз интегралды жинақтылыққа зерттеңіз. 
Шешімі:


.
2
arctg
0
arctg
lim
arctg
lim
1
lim
1
0
0
2
0
2


















M
x
x
dx
x
dx
M
M
M
M
M
 
Жауабы:меншікті интеграл жинақты және оның мәні
2

-ге тең. 

52 
 
3)  Меншіксіз 






2
2
2
x
x
dx
интегралды есептеңіз немесе оның жинақсыз 
екенін дәлелдеңіз. 
Шешімі: Интегралды екі интегралдың қосындысы түрінде жазып аламыз 






2
2
2
x
x
dx
 = 










0
2
0
2
2
2
2
2
x
x
dx
x
x
dx
 
және олардың әрқайсысын жеке-жеке есептейміз: 



















0
2
0
2
0
2
1
1
2
lim
2
2
lim
2
2
)
M
M
M
M
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
а
 








1
arctg
1
arctg
lim
1
arctg
lim
1
1
lim
0
0
2















M
x
x
dx
M
M
M
M
M
4
3
2
4













; 






















N
N
N
N
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
б
0
2
0
2
0
2
1
1
lim
1
1
2
lim
2
2
)
 






4
4
2
1
arctg
1
arctg
lim
1
arctg
lim
0















N
x
N
N
N
. 
Осылардан келіп,  























4
4
3
2
2
2
2
2
2
0
2
0
2
2
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
. 
Жауабы: меншіксіз интеграл жинақты және оның мәні- 
 . 
 
2.7.2  II-ші текті меншіксіз интегралдар 
)
(x
f
 функциясы 
b
x
a


жарты интервалында анықталған және үзіліссіз 
болсын,  ал 
b
x 
  нүктесінде  функция  анықталмаған  немесе  үзілісті.  Мұндай 
жағдайда 
 

b
a
dx
x
f
  интегралы  туралы  ол  осы  аралықта  интегралдық 
қосындының  шегі  болады  айтуға  болмайды,  себебі 
 
x
f
  функциясы 


b
a,

53 
 
кесіндісінде үзіліссіз емес, сондықтан интегралдық қосындының шегі болмауы 
да мүмкін. 
Анықтама.

b
a
dx
x
f
)
(
интегралы  II-ші текті меншіксіз интеграл (II-ші 
т.м.и.)  деп  аталады  және  ол   



b
a
dx
x
f
)
(
интегралының 
)
0
(
0




шегіне  тең 
(6-шы сурет), яғни  
.
)
(
lim
)
(
0







b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
 
 
 
6-сурет. 
Дәл  осылайша,  егер 
)
(x
f
функциясы 


b
a,
кесіндісінің  сол  жақ  ұшында 
(яғни 
a
x  нүктесінде) үзілісті болса, онда II-ші текті меншіксіз интеграл былай 
анықталады.   
Анықтама.

b
a
dx
x
f
)
(
интегралы    II-ші  текті  меншіксіз  интегралдеп 
аталады және ол  



b
a
dx
x
f
)
(
интегралының 
)
0
(
0




шегіне тең (7-ші сурет), 
яғни 
.
)
(
lim
)
(
0





b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f


 
0


 
)
(x
f
y
 
x
 
b
b
a


 

54 
 
 
7-сурет. 
Анықтама.
Егер 





b
a
dx
x
f
)
(
lim
0
  және 





b
a
dx
x
f
)
(
lim
0
шектері  бар  және 
ақырлы  болса,  онда  II-ші  текті   

b
a
dx
x
f
)
(
  интегралы  жинақты  деп  аталады. 
Егер  бұл  шектер  болмаса  немесе  шексіздікке  тең  болса,  онда  II-ші  текті  

b
a
dx
x
f
)
(
 меншіксіз интеграл жинақсыз деп аталады. 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: