Алданов е. С. «Бір айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері»

15 
 













C
a
x
a
x
a
a
x
a
C
t
t
a
a
x
a
2
2
2
2
2
1
2
arcsin
2
cos
sin
2
2
arcsin
2
 
C
a
x
a
x
a
x



arcsin
2
2
1
2
2
2
. 
 















dx
A
x
A
A
x
A
x
x
dx
A
x
x
A
x
x
dx
A
x
2
2
2
2
2
2
2
 
   
















x
v
A
x
xdx
du
dx
dv
A
x
u
2
2
 
 







dx
A
x
A
dx
A
x
A
x
x
2
2
2
. 
Ізделінді интегралды оң жақтан сол жаққа ауыстырып, мынаны аламыз: 
 
C
A
x
x
A
A
x
x
dx
A
x








|
|
ln
2
2
1
2
2
2
 
  11. 


C
x
a
x
a
x
a
d
x
a
xdx











2
2
2
2
2
2
2
2
ln
2
1
2
1
 
12. 









C
x
x
x
d
dx
x
x
tgxdx
cos
ln
cos
cos
cos
sin
 





C
x
x
x
d
ctgxdx
sin
ln
sin
sin
 
13. 













C
x
tg
C
t
dt
t
t
t
x
dx
2
ln
ln
2
1
1
2
sin
2
2
 
 











































dt
t
dx
arctgt
x
t
t
t
t
x
x
x
t
t
t
t
x
x
x
x
tg
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
,
2
,
1
1
1
1
1
1
1
2
sin
2
cos
cos
,
1
2
1
1
1
1
1
2
2
cos
2
sin
2
sin
,
2
 
14. 










C
x
tg
x
dx
4
2
ln
cos

  
(формуланы өз бетіңізбен дәлелдеп көріңіз). 
Осы  1-14 формулалар    
негізгі интегралдар кестесін құрайды.
 
 
 
1.4 Квадрат үшмүшеліктермен берілген өрнектерді интегралдау 
 
Мына 
c
bx
ax


2
  квадрат  үшмүшеліктен  толық  квадрат  бөліп  алып,  оны 
келесі түрде жазуға болады: 

16 
 
c
bx
ax


2
= 


2
2
2
2
2
4
4
2




















y
a
a
ac
b
a
b
x
a
,  
мұндағы  
a
b
x
y
2


, 
 
a
ac
b
2
4
2



.  
 «+»  таңбасы 
0
4
2



ac
b
D
  болғанда,  ал  «-»  таңбасы 
0

D
  болғанда 
таңдалады. Егер 
0

D
 онда 
0


. 
 
1. 






2
2
2
1

y
dy
a
c
bx
ax
dx
. 
Егер 
0

D
, онда  
C
y
y
a
y
dy
a










ln
2
1
1
2
2
. 
Егер 
0

D
,  онда 




C
y
arctg
a
y
dy
a



1
1
2
2
. 
Егер 
0

D
, онда  
.
1
1
2
C
ay
y
dy
a




 
2. 








2
2
2

y
a
dy
c
bx
ax
dx
. 
Егер
0

a
,
0

D
  болса,    онда  түбірдің  астында  теріс  сан  алынады  да, 
интегралды нақты айнымалы функция үшін алу мүмкін емес. 
Егер 
0

a
, 
0

D
, онда 




2
2

y
a
dy
= 
C
y
y
a



2
2
ln
1

. 
Егер 
, 
0

D
, онда 




2
2

y
a
dy
= 
C
y
y
a



2
2
ln
1

. 
Егер 
0
,
0


D
a
, онда 
C
y
a
y
a
dy



ln
1
. 
Егер 
0
,
0


D
a
, онда 




2
2

y
a
dy
=
C
y
a
y
dy
a








arcsin
1
1
2
2
. 
3. 





dx
c
bx
ax
N
Mx
2















c
bx
ax
dx
a
Mb
N
dx
c
bx
ax
b
ax
a
M
2
2
2
2
2
= 
 
.
2
ln
2
2
2














c
bx
ax
dx
Mb
N
c
bx
ax
a
M
 



c
bx
ax
dx
2
 
интегралы 1-ші пунктте есептелді. 
4. 




















c
bx
ax
dx
Mb
N
dx
c
bx
ax
b
ax
a
M
dx
c
bx
ax
N
Mx
2
2
2
2
2
2
= 














c
bx
ax
dx
Mb
N
c
bx
ax
a
M
2
2
2
. 



c
bx
ax
dx
2
  
интегралы 2-ші п. есептелді. 
0

a

17 
 
 
Интегралдар  кестесіндегі  6-11  интегралдарда  квадрат  үшмүшелік  бар 
екенін байқайық. 
 
Мысалдар.  













C
x
x
x
dx
x
x
dx
3
1
ln
2
1
1
2
3
4
2
2
 














C
x
arctg
x
dx
x
x
dx
2
1
2
5
4
2
2
 












C
x
x
dx
x
x
dx
2
1
2
4
4
2
2
 















C
x
x
x
x
dx
x
x
dx
3
4
2
ln
1
2
3
4
2
2
2
 












C
x
x
dx
x
x
dx
3
2
arcsin
2
9
4
5
2
2
 

















dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
5
4
5
8
5
4
15
12
3
5
4
10
4
3
2
2
2
2
2
 




















C
x
arctg
x
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
2
11
5
4
ln
4
3
1
2
11
5
4
4
2
4
3
2
2
2
 


















2
2
2
2
9
9
4
5
4
2
2
4
5
1
4
x
dx
dx
x
x
x
dx
x
x
x
 
C
x
x
x






3
2
arcsin
9
4
5
4
2
. 
 
1.5 Рационал функцияларды интегралдау 
 
Рационал  функция  дегеніміз  –  бұл  екі  көпмүшеліктің  (полиномның) 
қатынасы  түрінде  жазуға  болатын  функция.  Полином  –бөлімі  бірге  тең 
рационал функция.  
Ары  қарай  полином  және  көпмүшелік  сөздерін  синоним  ретінде  бірдей  қолдана  береміз.  Себебі  кейде  оқытушы  «полином»  сөзін 
«көпмүшелік» сөзімен ауыстырып айта салса,  студенттерекеуінің бір нәрсе екенін бірден ажырата алмай жатады. 
Егер  алымындағы  полиномның  дәрежесі,  бөліміндегі  полиномның 
дәрежесінен  төмен  болса,  онда  мұндай  рационал  функция  рационал  бөлшек 
деп аталады. 
Лемма  1. 
Егер  рационал  функция  рационал  бөлшек  болмаса,  онда  оны 
полином  мен  рационал  бөлшектің  қосындысы  түріне  келтіруге  болады,    яғни:
)
,
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
m
k
m
n
N
m
n
k
X
Q
x
P
x
R
m
n
k




. 
Д
ә
лелдеу
.   
Көпмүшелікті  қалдықпен  бөлуге  негізделген,  мысалы 
көпмүшелікті «бұрыштап» бөлу ережесіне. 
 
Мысалы. 

18 
 
1
|
1
|
1
1
1
2
2
4
2
2
4
2
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x








.  
Оосыдан, мынаны аламыз:  
1
1
1
1
2
2
2
2
4






x
x
x
x
x
. 
Сондықтан  кез-келген  рационал  функцияны  интегралдау  көпмүшелік  пен 
рационал бөлшекті интегралдауға келтіріледі: көпмүшелік+рационал бөлшек. 
Көпмүшелііктіңинтегралы  анықталмаған  интегралдың  екінші  тобындағы 
қасиеттер  бойынша  дәрежелік  функциялардың  тұрақтыға  көбейтіндісінің 
интегралдарының    қосындысы  түрінде  алынады.  Дәрежелік  функцияның 
интегралы  кесте  арқылы  оңай  алынады.Ал  төменде  рационал  бөлшектерді  
қалай интегралдау керектігін қарастырамыз.  
 
1.5.1 Рационал  
 
 
x
Q
x
P
  
бөлшекті элементар бөлшектерге жіктеу 
 
А)  Рационал  бөлшектің  бөлімінің  түбірлері  нақты  сандар  болатын 
жағдай 
 
x
Q
– көпмүшелігінің еселігі 
k
 нақты 
a
түбірі болуы мүмкін. Онда 
 
 
x
Q


 
x
Q
a
x
k
1


, 
 
мұндағы 
 
x
Q
1
  көпмүшелігінің 

нақты түбірлері болмайды. Осындай жағдайда 
бастапқы  рационал  бөлшектен 


k
k
a
x
A

    түріндегі  элементар  рационал  бөлшек 
бөліп алынады. 
 
Лемма  2.   
a
-  нақты  саны  рационал  бөлшектің  бөлімі 
 
x
Q
 
полиномының 
k
еселі түбірі болсын. Онда 
 
 
x
Q
x
P
=


k
k
a
x
A

 


 
x
Q
a
x
x
P
k
1
1
1



,  мұндағы 
 
x
Q
1
-
a
  нақты  түбірі  болмайтын 
көпмүшелік. 
Д
ә
лелдеу
. 
Теңдіктің  оң  жағындағы  бөлшектердің  ортақ  бөлімі 
 
x
Q
, 
сондықтан оларды ортақ бөлімге келтіргеннен кейін теңдіктің оң жағы мен сол 
жақтарының  бөлімдері  тең  болғандықтан,  алынған  бөлшектердің  алымдарын 
теңестіреміз.  






a
x
x
P
A
x
Q
x
P
x
Q
a
x
x
P
A
x
Q
x
Q
a
x
a
x
x
P
A
x
Q
x
Q
x
P
k
k
k
k















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
 

19 
 
Егре 
a
x 
  деп  алсақ,  онда
 
 
 
 
0
)
)(
(
1
1
1






k
k
A
a
Q
a
P
a
a
a
P
A
a
Q
a
P
Осыдан, 
 
 
k
A
x
Q
x
P
1

  өрнегі   


a
x 
  бөлінуі  үшін,
 
 
a
Q
a
P
A
k
1

   
деп  алсақ 
жеткілікті. 
Салдар  1.   
2-ші  лемма  шарты  орындалсын.  Онда  рационал  бөлшек 
келесі элементар бөлшектерге жіктеледі 
 
  





 
 
,
...
1
1
1
x
Q
x
P
a
x
A
a
x
A
a
x
A
x
Q
x
P
k
k
k
k












 
мұндағы 
 
x
Q

  полиномының 
a
нақты түбірі жоқ. 
Д
ә
лелдеу
. 
2-ші лемманы 
k
 рет қолданса, теңдіктің дәлелдемесі шығады. 
Мысалы:




 











 
























x
Q
a
x
a
x
x
P
x
Q
A
x
Q
a
x
x
P
a
x
A
x
Q
x
P
x
Q
x
Q
a
x
k
k
k
k
k
k
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
)
(
:
)
(
 


 

 






 

.
)
(
)
(
2
1
1
1
2
1
1
1
a
x
x
P
x
Q
A
x
P
x
Q
a
x
x
P
x
Q
A
x
Q
x
P
k
k













 




a
Q
a
P
A
k
1
1
1


.  
Осылайша  әрбір 
1
,...,
2
,
1
,
0


k
t
 
үшін   










x
Q
a
x
x
P
a
x
A
x
Q
x
P
t
k
t
t
k
t
k
t
t
1
)
1
(
1
)
(









 
жіктеулерін  алып,  олардың  бәрін  қоссақ,  қажетті  теңдікті  аламыз.  Мұны 
төмендегі мысалмен түсіндірейік: 
1
4
7
8
7
4
3
)
(
)
(
2
3
4
5
6
2








x
x
x
x
x
x
x
x
Q
x
P

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: