Александров П. С., Аналитикалық геометрия бойынша лекциялар М., 1968 ж. Проскуряков И. В. Математикалық энциклопедия
жүктеу/скачать 471,79 Kb.
|
ЛАГРАНЖ ӘДІСІ Куан
| көбейткіш әдісіЛагранж(ағылшын әдебиетінде «ЛаГранждың анықталмаған көбейткіштер әдісі») ˗ бұл сандық әдісшешімдер оңтайландыру мәселелері, ол мақсат функциясының «шартты» экстремумын анықтауға мүмкіндік береді (минималды немесе максималды мән)
теңдік түріндегі оның айнымалыларына берілген шектеулер болған жағдайда (яғни, аудан рұқсат етілген мәндер) бұл функцияның мәні экстремумға ұмтылатын нақты аймақтағы функция аргументінің мәндері (басқарылатын параметрлер). «Шартты» экстремум атауын пайдалану функцияның экстремумын іздеу кезінде рұқсат етілген мәндер ауқымын шектейтін айнымалыларға қосымша шарт қойылғандығына байланысты. Лагранж мультипликаторы әдісі рұқсат етілген мәндер жиынындағы мақсат функциясының шартты экстремумын табу мәселесін мәселеге түрлендіруге мүмкіндік береді. сөзсіз оңтайландыруфункциялары.Функциялар болса және олардың жартылай туындыларымен бірге үзіліссіз болса, онда бір мезгілде нөлге тең емес λ айнымалылары бар, бұл жағдайда келесі шарт орындалады: Осылайша, рұқсат етілген мәндер жиынында мақсат функциясының экстремумын іздеу үшін Лагранж көбейткіштері әдісіне сәйкес, одан әрі оңтайландырылған L(x, λ) Лагранж функциясын құрастырамын: мұндағы λ ˗ - шақырылатын қосымша айнымалылар векторы анықталмаған көбейткіштерЛагранж. Осылайша, f(x) функциясының шартты экстремумын табу есебі L(x, λ) функциясының шартсыз экстремумын табу есебінен дейінқысқартылды.және Лагранж функциясының экстремумының қажетті шарты теңдеулер жүйесімен берілген (жүйе «n+m» теңдеулерінен тұрады): Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі L(x, λ) функциясының мәні, сонымен қатар f(x) мақсат функциясының мәні сәйкес келетін (X) функциясының аргументтерін анықтауға мүмкіндік береді. экстремум. Лагранж көбейткіштерінің (λ) мәні, егер шектеулер теңдеудің бос мүшесі (тұрақты) түрінде ұсынылса, практикалық қызығушылық тудырады. Бұл жағдайда теңдеулер жүйесіндегі тұрақты шаманың мәнін өзгерту арқылы мақсат функциясының мәнін әрі қарай (ұлғайту/азайту) қарастыруға болады. Осылайша, Лагранж көбейткіші шекті константаның өзгеруімен мақсат функциясының максимумының өзгеру жылдамдығын сипаттайды. Пайда болған функцияның экстремумының табиғатын анықтаудың бірнеше жолы бар: Бірінші жол: Let - экстремум нүктесінің координаталары, ал - мақсат функциясының сәйкес мәні. нүктесіне жақын нүкте алынып, мақсат функциясының мәні есептеледі: Егер а , онда нүктеде максимум бар. Егер а , онда нүктеде минимум бар. Екінші жол: Жағдайы жеткілікті, одан экстремумның табиғатын білуге болады, Лагранж функциясының екінші дифференциалының белгісі. Лагранж функциясының екінші дифференциалы келесідей анықталады: Егер кірсе берілген нүкте минимум, егер , онда f(x) мақсат функциясы шартты болады максимум. Үшінші жол: Сондай-ақ, функцияның экстремумының табиғатын Лагранж функциясының гессиені қарастыру арқылы табуға болады. Гессиан матрицасы симметриялы шаршы матрицаматрицаның элементтері бас диагональға қатысты симметриялы болатын нүктедегі функцияның екінші жеке туындылары. Экстремум түрін анықтау үшін (функцияның максимум немесе минимумы) Сильвестр ережесін қолдануға болады: 1. Лагранж функциясының екінші дифференциалы оң таңбалы болуы үшін функцияның бұрыштық минорлары оң болуы керек. Мұндай жағдайларда функцияның осы нүктеде минимумы болады. 2. Лагранж функциясының екінші дифференциалы таңбалы теріс болуы үшін , функцияның бұрыштық минорлары кезектесіп тұруы қажет, ал матрицаның бірінші элементі теріс sv болуы керек. Мұндай жағдайларда функция осы нүктеде максимумға ие болады. Бұрыштық минор – бастапқы матрицаның бірінші k жолы мен k бағанында орналасқан минор. Негізгі практикалық құндылығыЛагранж әдісі - бұл шартты оңтайландырудан шартсызға көшуге және сәйкесінше мәселені шешудің қолжетімді әдістерінің арсеналын кеңейтуге мүмкіндік береді. Алайда, бұл әдіс келтірілген теңдеулер жүйесін шешу мәселесі жалпы жағдайоңай емес бастапқы тапсырмаэкстремалды іздеу. Мұндай әдістер жанама деп аталады. Оларды қолдану экстремалды есептің шешімін аналитикалық формада алу қажеттілігімен түсіндіріледі (мысалы, белгілі бір теориялық есептеулер үшін). Нақты практикалық мәселелерді шешу кезінде оңтайландырылатын функциялардың мәндерін есептеу мен салыстырудың итерациялық процестеріне негізделген тікелей әдістер әдетте қолданылады. жүктеу/скачать 471,79 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|