Oracle 11gR2 ДҚБЖ-да дерекқорды қорғау элементтерін жүзеге асыру

606 

алған  қолданушыға,болашақта  басқа  қолданушыға  осындай  өкілетті  немесе  рольді  тағайындау 

мүмкіндігіне  ие  болады.  Осындай  роль  өзгерту  немесе  жою  рұқсатын  қамтиды.  SIS_ADMIN  ролін 

құру мысалы төменгі сұлбада көрсетілген. 

 

 

 

Сурет 1 – Артықшылық пен рольдердің өзара байланысы 

 

 

 

Сурет 2 – SIS_ADMIN рольді құру 

 

Құрылған рольді көру үшін SQLPlus-те келесі синтаксисті тереміз: 

Select * from ROLE_ROLE_PRIVS; 

Бұл  синтаксистің  көмегімен  құрылған  рольдің  жүйеде  бар  не  жоқ  екеніне  көз  жеткізе  аламыз. 

Құрылған рольді көру төменгі сұлбада көрсетілген.  

Триггер  деректердің  кестеде  жаңартумен  немесе  өшірумен,  немесе  қосумен  байланысты 

анықталған  әрекетке  инициаланады.  Сондай  әр  әрекетке  триггер  анықталу  мүмкін.  Триггер 

орындалуы ДҚ сақталу жерінде жүргізіледі (клиент-сервер сәулетінде - серверде). 

Триггерлерді күрделі критерийлер үшін, көрсетілген іске қосымша операция өткізу керек кезде,  

деректердің  тұтастығын  қамтамасыз  ету  үшін  стандартты  шектеулер  мен  кестелік  құралдар 

жетпегенде қолданады.   

 Деректерлің  тұтастығын  қамтамасыз  ету  үшін  UPDATE,  DELETE,  INSERT  деген  триггерлер 

бар.  Олар  автоматты  түрде  жаңартуды  (UPDATE),  жоюды  (DELETE),  енгізуді  (INSERT)  өкізгенде 

осы әрекеттер қалай өткеніне тәуелсіз қосылады.  

Триггерлердің екі түрі бар: 

-  осы әрекеттер орындалғаннан кейін жұмыс атқаратын триггерлер (After); 

-  орындалатын істердің орнына жұмыс атқаратын триггерлер (Instead). 

Триггер және оны шақырған оператор бір тұтас ретінде – бір транзакция ретінде қарастырылады. 

Ол  тек  триггерден  қайтарылады.  Егер  триггер  (оның  кез  келген  командасы)  орындалмаса  немесе 

триггердің  шарты  орындалмаса,  онда  транзакцияны  қайтару  (триггердің  және  оны  қосқан 

оператордың) өткізіледі. 

607 

 

 

Сурет 3 – құрылған рольді көру  

 

Мысал  ретінде  бұрыннан  құрылған  дерекқорға  триггер  жазамыз.  Arenda  кестесіне  жұмыс 

уақытынан  тыс  уақытта  енгізулер  немесе  ақпарат  енгізілсе,онда  жазылған  триггер  келесі  жазуды 

шығарады:  “Arenda  кестесіне  өзгертулер  тек  жұмыс  уақытында  болуы  мүмкін”.  Триггердің 

сұлбалары төменгі сұлбаларда көрсетілген. 

Деректерді  мөлдір  шифрлау  (TransparentDataEncryption  (TDE))  кестелерде  және  кестелік 

облыстарда  сақталатын  құпия  деректерді,мысалы  несие  картасының  нөмерлерін  шифрлайды. 

Шифрланған деректерге ашық қатынас арқылы тек құпия деректердің иесі ғана құқылы. TDE жүйесі 

деректер  файлдар  мен  құпия  деректер  сақталатын  құрылғыларды  ұрлаған  кезде  қорғауды 

ұйымдастырады.  Oracle  аутентификацияны  сақталатын  деректі  операциялық  жүйенің  файлдар 

деректерінен  қолданбай,деректерді  қорғау  үшін  авторизацияны  және  тексеру  механизімін 

дерекқордың  өзінде  жүргізеді.  Осы  Oracle–дағы  деректер  файлдарын  қорғау  үшін  TDE 

қарастырылған.TDE  деректер  файлдарында  сақталатын  құпия  ақпаратты  шифрлайды.  Рұқсат 

етілмеген расшифровканы алдын-алу мақсатында,TDE шифрлау кілттерін дерекқорға қарағанда сырт 

қорғау модулінде сақтайды[5]. 

Oracle-да жаңа кестелік кеңістік шифрланған деп анықталуы мүмкін. Бұл дегеніміз операциялық 

жүйеде  құрылған,анықтаған    кестелік  кеңістікті  шифрланған  боп  есептегенде,  физикалық  файлдар 

деректері 

шифрланған 

деген 

сөз. 

Жаңа 

кестелік 

кеңістікте 

тапсырылған 

кез 

келген 

кестелер,индекстер  және  басқа  объекттер  үндеме  бойынша  сақтауға  қосымша  талап  етілмейтін 

кеңістікте  шифрланады.  Деректерді  дискіге  жазған  кезде  автоматты  түрде  шифрланады  және 

дешифрланады,қамтамаға рұқсаты бар болған кезде. 

 

 

 

Сурет 4 – триггерді құру 

 

608 

TDE-ны қолданғандағы артықшылықтары: 

  егер  құпия  деректертасымалданатын  құрылғыда  не  файлдық  деректе  сақталып,  ұрланса, 

қауіпсіздік администраторы ретінде,құпия деректер қауіпсіз екеніне күмән болмайды; 

  Қауіпсіздікті  әзірлеу  кезіндедеректерді  мөлдір  шифрлауфункциясы  көптеген  мәселелерді 

шешеді; 

  Авторланған  қолданушыларға  немесе  қамтамаға  деректердің  шифрлануыніске  қосатын 

бөлек  механизм  не  сұлба  құрудың  қажеті  жоқ,себебі  дерекқордың  қолданушысына  мен  қамтамаға 

деректер мөлдір шифрланады; 

  Дерекқордың  қолданушыларына  мен  қамтамалрға  деректердің  шифрланған  түрде 

сақталатыны туралы білудің қажеті жоқ,себебі дерекқордың қолданушысына мен қамтамаға деректер 

мөлдір дешифрланады; 

  Қамтамаларға  шифрланған  деректерді  өңдеген  кезде  ешқандай  модификацияның  қажеті 

жоқ. Шифрлау және дешифрлауоперациялары дерекқормен басқарылады. 

  Шифрлауышкілттер  басқару  операциясы  автоматтандырылған.  Қолданушы  мен  қамтама 

шифрлауышкілттерді басқаруға ешқандай қатысы жоқ.  

 

ӘДЕБИЕТТЕР 

1. Дейт К. Введение в системы баз данных. / Пер.с англ. - М.: Вильямс, 2001. 

2. «Oracle Database Enterprise Edition»http://iteco.kz/sections/productA 

3. «Защита информации в базах данных» http://bourabai.kz/dbt/dbms/13.htm 

4. «Лекции по Oracle» http://www.mielt.ru/dir/cat32/subj95/file270/view988.html 

5. «TransparentDataEncryption» http://www.oracle.com/technetwork/database/security/tde-faq-093689.html 

 

REFERENCES 

1. DeitK. Vvedenievsistemybazdannykh. / M.: Vil’yams,2001. 

2. «Oracle Database Enterprise Edition»http://iteco.kz/sections/productA 

3. «Zawitainformacii v bazakhdannykh» http://bourabai.kz/dbt/dbms/13.htm 

4. «Lekciipo Oracle» http://www.mielt.ru/dir/cat32/subj95/file270/view988.html 

5. «TransparentDataEncryption» http://www.oracle.com/technetwork/database/security/tde-faq-093689.html 

 

Румхан С.Ж., Баймагамбетова А.Р., Сагымбекова А.О. 

Реализация элементов защиты баз данных в СУБД Oracle 11gR2 

Резюме.  Приведена  классификация  методов  защиты  в  СУБД  Oracle  11gR2.  Реализованы  такие  виды 

защиты  как,  триггеры,  создание  ролей  и  присвоение  им  привилегий.  Рассмотрена  тенденция  развития 

прозрачного шифрования данных в Oracle .  

Ключевые слова: базы данных, системы управления базами данных, шифрование, роли и привилегии. 

 

Rumhan S.Zh., Baymagambetova A.R., Sagymbekova A.O. 

Implementation of elements of protection of databases in Oracle 11gR2. 

Summary.  A  classification  of  methods  of  protection  in the  databases  DBMS  Oracle  11gR2.  Implemented  such 

protections  as triggers,  creating roles  and  assigning them  privileges.  The  tendency  of  the  development  of  transparent 

data encryption in the DBMS Oracle 11gR2.  

Key words: database, database management system,  encryption, transparent data encryption, roles and privileges.

 

 

 

ӘОЖ 519.6 : 004 

 

Сержан Г. магистрант, Сатыбалдиев О.С.  

Қ.И.Сәтбаев атындағы Қазақ ұлттық техникалық университеті,  

Алматы қ., Қазақстан Республикасы 

oraz_55_55@mail.ru 

 

ҚАТАР ӨМІР СҮРЕТІН ЕКІ БИОЛОГИЯЛЫҚ ТҮРЛЕРДІҢ  

МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕРІ 

 

Андатпа. Популяция өсуінің логикалық моделі құрылды және оның дифференциялдық формадағы теңдеуі 

берілді.  Жыртқыш  пен  жемтік  сандарының  орнықтылық  тербелісінің  пайда  болуын  көрсететін  қарапайым 

моделі құрылып, олардың изоклиндер түрінде кескінделетіні көрсетілді.  

Түйін сөздер: логикалық модель, популяция, жыртқыш, жемтік, тербеліс, изоклина 

 

609 

Математиканың  биологиялық  ғылымдарға  енуі  көптеген  қиыншылықтарға  байланысты  болды. 

Ол  қиыншылықтар,  алдымен,  сан  ғасырлар  бойы  техника  мен  физиканың  мұқтаждықтарынан 

туындайды. Жалпы алғанда, ол қиыншылықтардың негізгі табиғаттағы биологиялық процесстер мен 

биологиялық  ғылымдардың  өзіндік  ерекшеліктерінде  жатыр.  Биологиялық  ғылымдарда  зерттелетін 

объектілердің  басым  көпшілігі  күрделі  кибернетикалық  жүйелермен  сипатталады.  Жүйе  өзара 

байланыстағы,  тұтастық  пен  бірліктегі  элементтердің  жиыны  болып  табылады.  Кез  келген  жүйенің 

маңызды  сапасы  осы  жүйеге  енетін  барлық  элементтеріне  тән  емес  қасиеттердің  бар  болуында. 

Сондықтан  жүйені  жеке  бөліктерге  бөлу  арқылы  зерттеу  әдісін  қолдана  алмаймыз.  Биологиялық 

зерттеудің қиыншылықтарының бірі – жеке (жүйеден тыс) элементтер ретінде қарастыруға болатын 

биологиялық  объектілердің  жоқ  болуында.  Жүйенің  күрделілігі  оған  енетін  элементтердің  санымен, 

оның  элементтерінің  арасындағы  байланыстармен,  сол  сияқты  жүйе  мен  ортаның арасындағы  өзара 

қатынастармен анықталынады. Мемлекет экономикасы өте күрделі жүйеден тұрады. Ол жүйенің ішкі 

және  басқа  да  жүйелермен  байланыста  болатын  элементтердің  үлкен  санын  құрайды  (табиғи  орта, 

басқа елдердің экономикасы және т.б.). Халық шаруашылығында табиғи, технологиялық, әлеуметтік 

процестер, объективтік және субъективтік факторлар өзара әрекеттестік жағдайда болады.  

Биологиялық  күрделілігі  кей  жағдайларда  оның  модельдерін  математикалық  құралдар  арқылы 

зерттеу  мүмкін  емес  деген  жалған  пікірлер  тудырды.  Мұндай  көзқарас  әрине  дұрыс  емес.  Табиғаты 

мен  күрделілігі  кез-келген  объектіні  модельдеуге  болады.  Шын  мәнінде  модельдеу  іс-әрекетінде 

осындай күрделі  объектілер қызығушылық тудырады. Осындай күрделі  объектілер  зерттеуден  басқа 

әдістеріне қарағанда аса қажетті нәтижелер береді.  

Ұзақ  уақыт  бойы  математикалық  модельдердің  биологиядағы  практикалық  қолданылуына  негізгі 

кедергі  болып  келген  жағдайдың  бірі  жасалынған  модельдердің  нақты  және  сапалы  ақпараттарға  лық 

толуы  болып  табылады.  Алғашқы  ақпараттардың  дәлдігі  мен  толықтылығы  және  оны  жинау  мен 

өңдеудің нақты мүмкіндіктері көбінесе қолданбалы модельдердің түрлерін таңдауды айқындайды. Екінші 

жағынан, биологияны модельдер арқылы зерттеу ақпараттар жүйесіне жаңа талаптар жүктейді.  

Модельденетін объектілер мен оларға қолданылатын модельдерді бекітуге байланысты алғашқы 

ақпараттардың  сипаты  мен  шығуы  бір-бірінен  өзгеше.  Оларды  екі  категорияға  бөлуге  болады:  1) 

объектінің  өткен  мезгілдегі  дамуы  мен  қазіргі  мезгілдегі  жағдайы;  2)  объектінің  ішкі  параметрлері 

мен  сыртқы  шарттары  (болжамы)  енетін  оның  болашақтағы  дамуы.  Ақпараттардың  екінші 

категориясы модельдеудің көмегі арқылы жүзеге асатын өзінің зерттеудің нәтижесі болып табылады.  

Биологиялық  процестер  мен  құбылыстардың  сандық  қатынастарын  тану  биологиялық 

өлшемдерге  сүйенеді.  Модельдеудің  көмегі  арқылы  өлшеудің  дәлдігі  алдын-ала  айқындалады. 

Сондықтан  математикалық  модельдерді  сапалы  қолдану  биологиялық  өлшеулерді  жетілдірудің 

қажетті шарты болып табылады. 

Модельдеу процесінде өзара әрекеттестікте  болатын биологиялық өлшеулер туындайды. Халық 

шаруашылындағы кез-келген модель белгілі бір экономикалық өлшеулер жүйесіне сүйенеді (өнімдер, 

ресустар,  элементтер  және  т.б.).  Сонымен  қатар,  ауылшаруашылығын  модельдеудің  маңызды 

нәтижесі  биологиялық  өлшеуіштердің  жаңа  түрін  алу.  Олар:  әртүрлі  саланың  өніміне  биологиялық 

тұрғыдан негізделген  баға,  әртүрлі  сападағы  табиғи  ресурстардың  нәтижелігімен  бағалау,  қоғамдық 

пайдалы өнімдердің өлшеуіштері. 

Дәл  қазіргі  мезгілдегі  биологиялық  модельдеуге  «қызығушылық»  көзқарасы  тұрғысынан 

биологиялық өлшеуіштерді жетілдірудің аса маңызды проблемалары төмендегідей: интеллектуалдық 

іс-әрекеттің 

нәтижелерін 

бағалау 

(әсіресе, 

ғылыми-техникалық 

сала 

мен 

информатика 

индустриясында); әлеуметтік-биологиялық даму көрсеткіштерін құру; кері байланыстың нәтижелерін 

өлшеу (шаруашылық немесе әлеуметтік механизмдердің өндіріс нәтижелеріне әсері). 

Биологияны  жоспарлау  әдіснамасында  биологиялық  дамудың  анықталмағандық  түсінігі 

маңызды мәнге ие. Биологияны болжау мен жоспарлау бойынша зерттеулерде анықталмағандықтың 

екі  түрі  бар.  Олар:  «шын»,  яғни  экономикалық  процестердің  қасиеттеріне  себепші  болу  және  

«ақпараттық»,  яғни  осы  процестер  бойынша  ақпараттардың  толық  және  дәл  болмауы.  Биология 

дамуында  анықталмағандық  екі  негізгі  себепті  болдырады.  Біріншіден  жоспарлау  және  басқару 

процесін,  сол  сияқты  осы  процестерге  сыртқы  әсерлерді,  кездейсоқ  факторлар  мен  адамзат 

баласының  танымының  шектелуіне  сәйкес,  алдын-ала  болжау  мүмкін  емес.  Бұл,  әсіресе  ғылыми-

техникалық  процесске,  қоғамның  мұқтаждықтарына,  биологиялық  өзгерістерге  тән.  Екіншіден, 

жалпы мемлекеттік жоспар мен басқару бәрін түгел қамти алмайды және олардың құзыры жетпейді, 

ал көптеген экономикалық  субъектілер олардың өзара әрекеттестік нәтижелерін алдын-ала болжауға 

мүмкіндік  бермейді.  Шындық  процестер  мен  биологиялық    өзгерістер  жайындағы  толық  емес  және 

дәл емес ақпараттар анықталмағандық жөніндегі шындықты айқындайды. 

610 

Қандайда бір территорияда өмір сүруші екі биологиялық түрді қарастыралық. Бұл екі түрдің бір  

біріне  тікелей  әсер  етеді  деп  ұйғаралық.  Алайда,  бұл  екі  түр  бар  азықпен  қоректенетіндіктен  оның 

жетіспеуіне байланысты бір бірімен бәсекеге түседі. 

Осы  қарастырылып  отырған  процестің  математикалық  моделін  құралық.  Айталық, 



i

y

i

,

ші 

биологиялық  түрдің  саны  болсын.  Оның  өзгеру  жылдамдығы  қарастырылып  отырған  түрдің  санына 

пропорционал, яғни  

i

i

i

y

k

y





 

болады.  Мұндағы 

i

k

i

,

  -ші  биологиялық  түрдің    өсу  саны, 

2

,

1



i

.  Азық  жеткілікті  жағдайда  бұл 

түрлердің  арасында  бәсекелестік  болмайды,  ал  олардың  өсу  саны  табиғи  өсуімен  сәйкес  келеді. 

Азықтың  шектелуіне  байланысты  түрлердің  саябырлай  бастайды.  Табиғи  өсу  жөніндегі 

пайымдауларды пайдалана отырып  

i

i

i

y

b

N

a

y

)

(







 

теңдеуін  аламыз.  Мұндағы 

);

(

2

2

1

1

y

q

y

q

D

N







D -қажетті  азық  саны; 



i

a

i

,

ші  түрдің  үдеуінің 

өсуі; 



i

b

i

;

ші  түрдің  алу  саны; 



i

q

i

;

ші  түрдің  қоректенетін  азық  саны 

2

,

1



i

.  Сөйтіп, 

қарастырылып отырған процесс төмендегі дифференциалдық теңдеулер жүйесімен сипатталады 































.

)

(

,

)

(

2

2

2

1

1

2

2

2

1

2

2

1

1

1

1

1

y

y

q

y

q

a

d

y

y

y

q

y

q

a

d

y

 

Мұндағы 

,

i

i

i

b

D

a

d





i

-ші түрдің қарқынды өсуі.  

Қатар өмір сүретін екі биологиялық түрдің бірі екенінің азығы болатын жағдайды қарастыралық. 

Егер  қандай  да  бір  ортада  бірінші    биологиялық  түр  (жемтік)  мекендесе,  онда  оның  табиғи  өсімі 

1



 

тұрақты  және  оң  болады  (жемтіктің  азық  қоры  жеткілікті  деп  ұйғарамыз).  Онда  жыртқыштың 

болмауынан  жемтік  саны  экспоненциалдық  өсу  жағдайында  болады.  Егер  екінші  биологиялық  түр 

(жыртқыш) оқшау өмір сүрсе, онда азықтың (жемтіктің) жетіспеушілігінен оның табиғи өсуі 

2



 азая 

бастайды, яғни 

2



 жемтіктің жоқтығынан жыртқыштың қырылып қалу коэффициенті. 

Бір  территорияда  қатар  өмір  сүретін  екі  биологиялық  түрлердің  бір  біріне  ықпалы  зор.  Егерде 

жыртқыштардың  саны  көп  болса,  онда  жемтіктердің  санының  азаятындығы  айқын  нәрсе,  себебі 

жыртқыштардың  саны  неғұрлым  көп  болған  сайын,  олар  көп  азықты  қажет  етеді.  Екінші  жағынан, 

жемтіктердің  саны  көп  болған  сайын  жыртқыштардың  саны  да  өсе  бастайды,  себебі  бұл  жағдайда 

жыртқыштардың  көпшілігі  оларға  қажет  азықтармен  қамтамасыз  етіледі.  Осы  айтылғандарды 

нәтижесі бойынша  





























2

1

2

2

2

1

2

1

1

1

y

y

y

y

y

y









                                                         (1)                            

дифференциалдық теңдеулердің жүйесін аламыз. Мұнда 

1



 мен 

2



  коэффициенттері бір біріне өзара 

ықпал  жасау  жағдайындағы  жемтіктермен  жыртқыштардың  өсу  өзгерісін  сипаттайды.  (1)  жүйе 

сәйкес бастапқы шарттарын қоса «жыртқыш жемтік» математикалық моделін құрайды. 

Алынған  жүйені  зерттеу  үшін  айнымалыларды  ауыстыру  әдісін  пайдаланалық.  Келесі 

айнымалыларды енгізелік. 

,

at





),

(

)

(

1

x

by

u





).

(

)

(

2

x

cy

v





 

Мұндағы 

c

b

a

,

,

  тұрақтыларын  қарастырылып  отырған  теңдеу  қарапайым  түрде  болатындай 

етіп таңдаймыз. Осы айтылғандар бойынша  



















































.

,

2

2

1

1















a

u

ab

u

c

a

a

u

 

қатынасын аламыз. Мұндағы 

.

,

t

x

u

u





















 

611 

1

2

1

1

1

2

1

,

,

,























m

c

b

a

параметрлерін анықтай отырып,   



























.

1

,

1

u

m

u

u







                                                           (2) 

қатынасын аламыз. (1)  мен  (2)  жүйелердің мағынасы бірдей. Шындығында, 

u

мен 



 функциялары 

және 



  тәуелсіз  айнымалылары 

1

y

  мен 

2

y

-ден    және 

x

-тен  айырмашылықтары  тұрақты 

көбейткіштер ғана. Сөйтіп, біз бұрынғы биологиялық  түрлерді басқа уақытта және басқа масштабта 

қарастырамыз.  (2)  жүйеде  тепе-теңдіктің  екі  түрі,  яғни 

0

1



u

, 

0

1





  және 

1

2



u

, 

1

2





  түрлері 

енеді.  Оның  біріншісі  екі  биологиялық  түрлердің  жоқтығын  білдіреді,  сондықтан  практикалық 

тұрғыдан  ешқандай  қызығушылық  тудырмайды.  Тепе-теңдіктің  екінші  түрі  өте  маңызды.  Мұнда 

қандайда  бір  уақыт  аралығында  туылған  жемтіктердің  саны  осы  уақыт  аралығында  жыртқыштар 

жеген  жемтіктердің  сандарын  толықтырылады.  Өз  кезегінде  жыртқыштардың  тууы  мен  өлімі  бірін-

бірі жауып отырады. Осы айтылғандарға сәйкес биологиялық екі түрдің де сандары өзгермейді,  яғни 

ол жүйе динамикалық тепе-теңдік жағдайында болады. 

Енді тепе-теңдік жағдайдан тыс жерлердегі жүйенің өзгерісін зерттелік. Екі биологиялық түрдің 

сандарының  теріс  емес  сан  болатындығын  атап  өтелік.  Жемтіктердің  бастапқы  саны  оң  сан 

болғандағы  жыртқыштардың  санының  нөлге  тең  болуы 

u

u





    теңдеуіне  келеді,  ал  бұл  теңдеудің 

шешуі    экспоненциалдық  түрде  өсетіні  белгілі.  Олай  болса,  табиғи  қарсыластардың  жоқтығы  мен 

қоректенетін  азықтың  жеткіліктілігі  жемтіктердің  шексіз  көбеюіне  әкеліп  соғады.  Егер  бастапқы 

мезгілде  жемтіктер  болмаса,  онда  жыртқыштардың  саны  үшін 





m







  теңдеуін  аламыз.  Осыдан, 

қоректенетін азықтың жоқтығынан жыртқыштардың біртіндеп қырыла бастайтынын байқаймыз.  

Енді  жоғарыдағы  жүйенің  оң  мәндеріндегі  жағдайларды  қарастырайық.  (1)  теңдеулер 

жазықтықты төрт облысқа бөледі (1-сурет). 

 

 

 

1-сурет. «Жыртқыш-жемтік» моделіндегі эволюциялық жүйенің бағыттары 

 

Егер белгілі бір  t  мезгілінде  

 

 

1

0

,

1

0









t

t

u



                                                 (3) 

теңсіздіктері  орындалса, онда (2) жүйенің бірінші теңдеуінің оң жағы оң сан, ал екінші теңдеуінің оң 

жағы теріс сан болады. Яғни 

 

0



 t

u

, 

 

0



 t



 теңсіздіктері орындалады, демек, уақыт өткен сайын 

u

  функциясы  өседі,  ал 



  функциясы  кемиді  (2-сурет).  Бұл  (3)  қатынас  орындалған  жағдайлардың 

бәрінде  сақталынады.  Бұл  шарт  өсу  процесінде 

u

  функциясының  мәні  бірден  асқанда,  не 



 

функциясы  кеми  отырып  нөлге  жеткенде  бұзылады.  Алайда, 



  функциясының  мәні  нөлге 

жақындаса,  онда  (2)  жүйенің  екінші  теңдеуіне  сәйкес  оның  туындысы  да  нөлге  қарай  ұмтылады.  

Сөйтіп, 



  функциясы  нөлге  тек  асимптотикалық  түрде  жақындай  алады.  Алайда, 

u

функциясының 

өсуі  мен 



  функциясының  кемуі 

u

туындысының  тек  қана  оң  мән  қабылдайтынын  көрсетіп  қана 

қоймайды,  сонымен  қатар  ол  туындының  өсетінін  көрсетеді.  Демек,  ерте  ме,  кеш  пе,  әйтеуір  бір 

уақытта 

u

 функциясының мәні бірден асады. Сөйтіп, 

 

 

1

0

,

1







t

t

u



                                                 (4) 

теңсіздіктерімен сипатталатын облысқа келеміз. 

612 

 

2-сурет. Параметрлердің кейбір мәндеріндегі жемтік пен жыртқыш сандарының өзгерісі 

 

Бұл  жағдайда  екі  функцияның  туындыларында  оң  сандар.  Олай  болса,  уақыт  өткен  сайын 

олардың мәні өседі. Бұл (4) теңсіздік орындалған жағдайлардың бәрінде сақталынады. 



 функциясы 

өсетіндіктен, әйтеуір бір мезгілде оның мәні бірден асатыны хақ. Демек  

 

 

1

,

1





t

t

u



                                                                  (5) 

теңсіздіктері  орындалады.  Ары  қарай 



  функциясының  өсуі 

u

функциясының  кемуіне  әкеледі  ((2) 

жүйені қараңыз). Жағдай (5) қатынастың біреуі  орындалмағанда өзгереді. 

u

 функциясының кемуіне 

байланысты ол ақырындап бірден кіші бола бастайды, яғни 

 

 

1

,

1

0







t

t

u



                                                            (6) 

теңсіздіктері  орындалады.  Бұл  жағдайда  қарастырылып  отырған  екі  функцияда  кемиді. 

u

 

функциясының нөлге жақындауы оның туындысының да нөлге ұмтылатындығын ескерсек, онда ерте 

ме, кеш пе, әйтеуір бір мезгілде төрт функциясының оң мәндерінде 



 функциясы бірден кіші болады. 

Сөйтіп,  қайтадан  (3)  теңсіздік  орындалады,  бұл  қарастырылып  отырған  процесіміздің  

қайталанатындығын көрсетеді. 

(2)  жүйесінің  шешулерінің  периодты  функциялар  болатындығына  көз  жеткізу  қиын  емес          

(3-сурет).  Жазықтықта  оларға  тұйық  қисықтар  сәйкес  келеді.  Сөйтіп,  «ертоқым»  деп  аталатын  тепе-

теңдіктің түрін аламыз. 

 

 

3-сурет. «Жыртқыш-жемтік» моделіндегі өзгеріс функциясы периодты болады 

 

ӘДЕБИЕТТЕР 

1.  Викторов  Г.А.,  Колебания  численности  насекомых  как  регулируемый  процесс//  Журн.  общ.  биологии. 

2011. Т. 26, №1. С.43-55. 

2. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 2014. 286с. 

3. Миркин Б.М. Теоретические основы современной фитоценологии. М.: Наука. 2012. 136с. 

 

REFERENCES 

1. Victoria G.A, Fluctuations of insects as a regulated process // Journal. Society. biology. 2011. T. 26, №1. S.43-55. 

2. V. Volterra mathematical theory of the struggle for existence. M.: Nauka, 2014. 286s. 

3. Mirkin B.M. Theoretical foundations of modern phytocenology. M.: Nauka. 2012. 136c. 

 

 

613 

Сержан Г., Сатыбалдиев О.С. 

жүктеу/скачать 19,96 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: