Ҥзіліссіз функциялардың қасиеттері

71 
 
 
 
 
Бастапқы  О  нүктеден  М  нүктеге  дейінгі  қашықтықты 
S
  деп  белгілесек,  онда  бұл  қашықтық 
уақыт  t  -ның функциясы болады: 
 
t
f
S

. Егер уақыт 
t

-ға ӛзгеретін болса, онда М нүктесі 
S

-ке 
тең қашықтықты жүріп ӛтеді. Сонда 
t
S


 қатынасын орташа жылдамдық 
орт

 деп атайды. Егер 
t

-
ның  шамасын  ӛте  аз  деп  алатын  болсақ,  онда  орташа  жылдамдық  та  ӛте  аз  болады.  Осыдан, 
жылдамдық 

 - ның кез келген 
t  уақыттағы мәнін мына шектен табуға болады: 
t
S
t





0
lim

. 
Дербес  жағдайда,  егер  қозғалыс  бір  қалыпты  болса,  онда 
орт



.  Осындай  есептерді 
физикадан, механикадан келтіруге болады. 
Айталық,  Х  аралығында 
 
x
f
y

  функциясы  анықталсын.  Бұл  аралықтан 
0
x   нүктесін  алып, 
оған 
x

 
ӛсімшесін  берейік.  Сонда 
 
x
f
y

 
функциясы  да  ӛсімше  қабылдайды: 

  
0
0
x
f
x
x
f
y





.  Мұнда 
X
x
x



0
,  басқаша  болса, 


x
x
f


0
-тың  мәні  болмайтыны  
анықтауынан  белгілі болып тұр. 
Анықтама. Егер 
x

 нӛлге ұмтылғанда функция ӛсімшесі мен аргумент ӛсімшесі қатынасының 
шегі бар болса, онда бұл шек берілген функцияның 
0
x  нүктесіндегі туындысы деп аталады. 
Сонымен, егер 
   

  
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x











0
0
0
0
lim
lim
             (5.1.1) 
бар  болса,  оны  берілген  функцияның 
0
x   нүктесіндегі  туындысы  деп  атайды.  Туындыны 
мынандай символдармен белгілейді:  y

(игрек  штрих), 
х
у

  (игрек  штрих 
х
  бойынша), 
dx
dy (де игрек 
де икстен), 
 
x
f

 (эф штрих икстен). Сӛйтіп, функцияның туындысы, мысалы, бірінші символымен 
былай жазылады: 
x
y
y
x






0
lim
 
немесе: 
 

  
x
x
f
x
x
f
x
f
x








0
0
0
0
lim
. 
Туынды  табу  амалын  функцияны  дифференциалдау  деп  атайды.  Ал,  жоғарыда  қаралған 
физикалық  есепте  айнымалы  жылдамдық  жүрген  жолдың  туындысына 
 
t
f



  тең  болады.  Бұл 
жағдайды туындының механикалық мағынасы деп атайды. 
Туынды  есептеуге  мысал  келтірейік: 
 
1
,
0


x
x
x
f
  нүктесіндегі  туындыны  табу  керек 
болсын: 
1)
 
аргумент 
1
0

x
-ге 
x

 ӛсімшесін береміз 
х


1
 
2)
 
осыған сәйкес функцияның ӛсімшесін табамыз: 

  
1
1
1
1









x
f
x
f
y
; 
3)
 
x
y


 қатынасын табамыз: 
x
x
x
y







1
1
; 
4)
 
осы қатынастың 
0


x
 шегін табамыз: 

72 
 






























1
1
1
1
1
1
lim
1
1
lim
lim
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x


2
1
1
1
1
lim
1
1
1
1
lim
0
0

















x
x
x
x
x
x
. 
Сонымен, 
 
2
1
1


f
. 
Жоғарыдағы 
 
0
x
f

-дың  анықтамасындағы 
x
x
x



0
  деп  алсақ,  онда 
0
x
x
x



  және  
 
   
0
0
0
lim
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x





. 
Енді осы нүктедегі функцияның біржақты туындыларын келтірейік. 


   
0
0
0
0
0
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x







 - сол жақты туындысы, 


   
0
0
0
0
0
lim
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x







 - оң жақты туындысы. 
Егер 


0
0


x
f
  және 


0
0


x
f
  бар  болса  және  бір  біріне  тең  болса,  онда 
 
0
x
f

  бар  болады 
және солардың мәніне тең болады. 
 
5.2. Туындының геометриялық мағынасы 
Алдымен, қисық сызыққа жіргізілген жанаманың анықтамасын келтірейік. 
L
  қисық  сызықтың  бойынан  екі  нүкте 
M
  және 
N
  алайық  және  сол  нүктелер  арқылы  қиюшы 
жүргізейік.  M   нүктесін  қозғалмайды  деп  есептеп, 
N
  нүктесін  L   қисығы  бойымен  M   нүктесіне 
дейін жүргізейік. Егер 
0

MN
 (25–сызба,а) болса, онда қиюшы 
MN
 түзу 
MP
- ға ұмтылады. 
Анықтама. 
M
 нүктесі 
N
 нүктесіне ұмтылғанда қиюшы 
MN
 мен түзу 
MP
 арасындағы бұрыш 

 нӛлге ұмтылса, онда 
MP
 түзуді 
L
 қисық сызықтың 
M
 нүктесіндегі жанамасы деп атаймыз. Енді 
туындының геометриялық мағынасына кӛшейік. 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
M 
N 
P 
а) 
M 
P 

y 
N 
ә) 

73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Айталық, 
 
x
f
-тың 
0
x
x

  нүктесіндегі  туындысы 
 
0
x
f

  болсын.  Қиюшы 
MN OX
  осімен  (оң 
бағыттағы) 

 бұрышын жасасын. Сонда (25 –сызба,ә): 

  
x
y
x
x
f
x
x
f
tg








0
0

 
немесе: 
x
y
arctg




. 
Егер 
x

 нӛлге ұмтылатын болса, онда: 
1)
 
N
 нүктесі 
 
x
f
y

 қисығы бойымен 
M
 нүктесіне ұмтылады, 
2)
 
қиюшы 
MN
 түзу 
MP
 - ға ұмтылады, 
3)
 

 бұрышы 

 бұрышына ұмтылады, онда 
 
0
0
0
lim
lim
x
f
arctg
x
y
arctg
x
y
arctg
x
x

















 
осыдан, 
 
0
0
lim
x
f
arctg
x





  бар  болады  және 



lim
.  Яғни,  қиюшы 
MN
MP
  түзудің  орнына 
келеді де 
 
x
f
y

 функцияның жанамасы болады және 
 



0
x
f
arctg
 немесе 
 

tg
x
f


0
.  
Туындының  геометриялық  мағынасы:  туынды 
 
x
f

 
x
f
y

  функцияның 
 
y
x
M ;
  нүктесіне 
жүргізілген жанама мен 
OX
 осінің оң бағытының арасындағы бұрыштың тангенсін кескіндейді. 
          Онда 
 
x
f
 функциясының 


0
0
; y
x
 нүктесіндегі жанамасының теңдеуін мына түрде жазуға 
болады: 
   
 

0
0
0
x
x
x
f
y
y




 
 
(5.2.1) 
Егер осы  жанамаға 


0
0
; y
x
 нүктесінде перпендикуляр түсіретін болсақ, онда ол түзуді нормаль 
деп атайды және оның теңдеуін мына түрде жазуға болады: 
   
 

0
0
0
1
x
x
x
f
y
y





 
 
(5.2.2) 
 
5.3. Функцияның дифференциалдануы мен ҥзіліссіздігінің арасындағы байланыс 
25-сызба 

74 
 
Бізге Х аралығында анықталған 
 
x
f
y

 функциясы берілсін. Бұл аралықтан белгілі 
0
x
x

 
нүктесін алып, оған 
x

 ӛсімшесін берейік, яғни 
X
x
x



0
. Онда осы 
x

 -ке сәйкес функцияның 
ӛсімшесі 
   
 

  
0
0
0
x
f
x
x
f
x
f
y







             (5.3.1) 
Анықтама. Егер Х аралығының 
0
x
x

 нүктесінде 
 
x
f
y

 функциясының шенеулі туындысы 
бар болса, онда мұндай функцияны 
0
х  нүктесінде дифференциалданатын функция деп атайды. 
Осы айтылғандарды былай да тұжырымдауға болады. Егер 
 
x
f
y

 функцияның Х аралығынан 
алынған 
х
 нүктесіндегі ӛсімшесі келесі теңдік, 

  
 
 
х
х
х
x
f
x
f
х
x
f
y













       (5.3.2) 
арқылы ӛрнектелсе, онда бұл функцияны кӛрсетілген аралықта дифференциалданатын функция деп 
атайды. Мұндағы 
 
х


ақырсыз кішкене шама, 
х

 пен бірге нольге ұмтылады. 
Теорема. Егер 
 
x
f
y

 функциясы 
0
х  нүктесінде диффе-ренциалданатын функция болса, онда 
сол нүктеде функция үзіліссіз болады. 
 Шынында да   
 
 















x
x
x
x
f
y
x
x

0
0
0
lim
lim
 
 
0
x
lim
x
lim
x
lim
x
f
0
x
0
x
0
x
0















. 
Бұл  қорытынды,  яғни 
0
lim
0




y
x
,  берілген  функцияның 
0
x   нүктесінде  үзіліссіз  екенін  
кӛрсетеді. 
Ал  функцияның  үзіліссіздігінен  оның  сол  нүктеде  диф-ференциалдануы  әрқашанда  бола 
бермейді.  Демек,  функция  үзіліссіз  бола  тұрып,  ол  нүктеде  дифференциалдануы  да, 
дифференциалданбауы да мүмкін. 
  Мысал ретінде 
x
y

 функцияны қарастырайық. 
   
 
 
 
 
Бұл 
функция 
0

x
 
нүктесінде 
үзіліссіз. Ол мына  теңдіктен шығады: 
 
 
0
0
lim
0



f
x
f
x
. 
Бірақ 
сол 
нүктеде 
функцияның 
туындысы  болмайтынын  дәлелдейік.  Егер 
бір жақты шектерді табатын болсақ, 
   
1
x
x
lim
x
x
lim
0
x
0
f
x
f
lim
0
0
x
0
0
x
0
0
x













,
   
1
lim
lim
0
0
lim
0
0
0
0
0
0











x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
, 
нӛл нүктесінде екі жағындағы шектері тең емес, сондықтан туынды болмайтыны анықталды. 
 
5.4. Функцияларды дифференциалдау ережелері 
Теорема. Егер 
 
x
U
U

  және 
 
x



  функцияларының 
x
  нүктесінде  шенелген  туындылары 
бар  болса,  олардың  алгебралық  қосындысының,  кӛбейтіндісінің  және  қатынасының  (егер  бӛлімі 
нӛлге тең болмаса) туындылары бар болады да мына формулалар бойынша табылады: 
   












U
U
y
 
 
 (5.4.1) 
   


U
U
U
y











 
 
   (5.4.2) 
О 
у 
у=

х

 
х 
26-
сызба 

75 
 
   


0
,
2



















U
U
U
y
 
         (5.4.3) 
 
5.5. Кҥрделі және кері функцияның туындысы 
Теорема.  Егер 
 
x
U


  функциясының 
x
  нүктесінде,  ал 
 
U
f
y

  функциясының  сол 
x
  -ке 
сәйкес 
 
x
U


  нүктесінде  туындылары  бар  болса,  онда  сол 
x
  нүктесінде  күрделі 
 
)
(
x
f
y


 
функциясының да туындысы бар болады және мынаған тең: 
 




 

  
x
u
u
x
f
x
x
f
x
f
y















           (5.5.1) 
Теорема.  Егер 
 
x
f
y

  функциясының 
x
  нүктесінде  нӛлге  тең  емес 
 
0




x
f
y
  туындысы 
бар болса, онда сол 
x
 -ге сәйкес 
 
0
0
x
f
y

 нүктесінде оған кері 
 
y
x


 функциясының туындысы 
бар болады және 
   
 
 
x
f
y
x
y





1

 
 
 
(5.5.2) 
 Элементар  (қарапайым)  функциялардың  кейбіреулерінің  туындылары.  Туындылар 
кестесі 
Айталық,  бізге 
 
 
x
x
U
U




,
  функциялары  және  кез  келген 
c
-саны  берілсін. 
 
x
U
U



 
және 
 
x





  бар  болсын.  Сонда  функциялардың  туындысы  туралы  қорытылған  формулалардан 
мынадай кесте жазуға болады: 
1.
 
 
0
y
,
c
y



; 
13.
 
 
U
U
cos
1
y
,
tgU
y
2





; 
2.
 
 
1
y
,
x
y



; 
14.
 
 
U
U
sin
1
y
,
ctgU
y
2







жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: