Айналу параболоиды Екі айнымалыдан z= f (x, y) функциясының геометриялық кескіні (графигі) Oxyz кеңістігіндегі бет болып табылады. r M0(x0,y0) x y O M(x,y) Анықтама. M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r маңайы деп, координаталары мына теңсіздікті қанағаттандыратын жазықтықтың барлық М (х,у) нүктелерінің жиынын айтады, яғни бұл нүктелер центрі M0(x0, y0) нүктесінде радусы r болатын шеңберге тиісті нүктелер. Енді Oxy жазықтығының G облысында анықталған z=(х,у) функциясы берілсін және M0(x0, y0) нүктесі осы G облысының ішкі немесе шекаралық нүктесі болсын. Көп айнымалы функцияның шегі мен үзіліссіздігі Ескерту: Бұл жерде екі айнымалыдан функцияның шегі М(х,у) нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне қалай (қандай сызықтың бойымен) ұмтылуынан тәуелсіз болатынын ескеруіміз керек. Анықтама. A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0) нүктесіндегі шегі деп аталады, егер әрбір ε > 0 саны үшін r > 0 саны табылып, M0(x0, y0) нүктесінің радиусы r -ге тең маңайына тиісті барлық М(x,y)нүктелері үшін келесі теңсіздік орындалса: Егер A саны f(x,y) функциясының M0(x0, y0) нүктесіндегі шегі болса (М(х,у)) нүктесі M0(x0, y0) нүктесіне ұмтылғандағы шегі , онда ол былай жазылады: Анықтама. M0(x0, y0) нүктесі f(x, y) функциясының анықталу облысына тиісті болсын. Егер келесі теңдік
орындалса, онда z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде үзіліссіз деп аталады және М(х,у) нүктесі M0(x0, y0) функцияның анықталу облысында қала отырып, кез-келген жолмен ұмтылады.
Осы анықтамадан функция нүктеде үзіліссіз болу үшін келесі шарттардың орындалуы қажет екендігі шығады:
z = f(x, y) функциясы M0(x0, y0) нүктесінде анықталған;
