Апта. Соөж тақырыбы Тұрақты коэффициентті сызықты жоғарғы ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер. Мақсаты
жүктеу/скачать 160 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 8.17. 8.18. 8.19. 8.20.
- 8.25. 8.26. 8.27. 8.28.
- Орындауга арналган әдістемелік нұсқау Коэффициенттері тұрақты жоғарғы ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулер .
- 1 мысал-есеп
- 2 мысал-есеп : теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі
|
14-15 апта. СОӨЖ Тақырыбы Тұрақты коэффициентті сызықты жоғарғы ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер. Мақсаты Біртекті тұрақты дифференциалдық теңдеулерді шеше білуге үйрету. Характеристикалық теңдеудің әртүрлі шешімдері болған жағдайларда есептерді шешуге үйрету. 8тапсырма. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін тап.
Орындауга арналган әдістемелік нұсқау Коэффициенттері тұрақты жоғарғы ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулер . Сызықты бipтекті pi коэффициенттері тұрақты сандар болатын , (1) түріндегі п -шi peтті дифференциалдық теңдеу берілсін. Бұл теңдеудің дербес шешімдерін у = еkx, k-тұрақты сан, түрінде іздейміз. Онда ,, болады. Бұл мәндерді (1)-теңдеуге қойып теңдігін аламыз. Бұдан еkx ≠ 0 болғандықтан (2) шығады. Егер k саны осы алгебралық теңдеудің түбірі болса, онда у = еkx - (1)-дифференциалдық теңдеудің шешімі және керісінше у = еkx -(1)-дифференциалдық теңдеудің шешімі болса, онда k-саны (2)-алгебралық теңдеудің түбірі болатынын көреміз. (2)-алгебралық теңдеу (1)-теңдеуді сипаттаушы теңдеу деп аталады. Сипаттаушы тендеуді алу үшін (1)-дифференциалдық теңдеудегі y(i)- туындыларын сәйкес ki-дәрежелерімен алмастырса болғаны (у ≡ у(0) деп есептелгендіктен y-тi k0=1-ге алмастырады). Kepiciнше (2)-сипаттаушы теңдеу бойынша (1)-біртекті дифференциалдық теңдеуді тұрғызуға болады. (2)-алгебралық теңдеудің түбірлерінің саны еселігімен қоса алғанда n-ге (теңдеудің үлкен дәреже көрсеткішіне) тең екенін білеміз. 1°. Сипаттаушы теңдеудің k1,k2,...,kn түбірлері әр түрлі (өзара тең емес) сандар болсын. Онда келесі n-функциясының: (3) әpбipeyi (1)дифференциалдық, теңдеудің дербес шешімі және (3)-функциялары (-∞;+∞) аралығында сызықты тәуелсіз болады, олай болса олар (1)-біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің іргелі жүйесін құрады. Бұл жағдайда (1)-дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін келесі түрде жазылады Егер рi -коэффициенттері нақты сандар болып (2)-сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің ішінде қандай да бip түбір ki комплекс сан болса: ki=α+iβ, онда қалған түбірлердің ішінде оған түйіндес ks=α-iβ комплекс түбip болуы тиіс. -түбіріне -функциясы сәйкес келеді және ол (2) теңдеуінің шешімі болады. Эйлер көрсеткендей комплекс функцияның нақты бөлігі мен жорамал бөлігін бөліп жазайық: , . Лемма: Егер - функциясы нақты айнымалы комплекс функциясы болса, мұндағы -нақты функциялар және қанағаттандырса, онда функциялары да теңдеуін қанағаттандырады. Осы лемманың негізінде функциялары да (1) теңдеуді қанағаттандырады. Сонда түбіріне екі шешім сәйкес келіп тұр, ал ks-түбірі жаңа шешім тудырмайды. Бұл функциялар жүйесі (-∞;∞) аралығында сызықты тәуелсіз болатынын дәлелдеуге болады. 2°. Сипаттаушы теңдеудің түбірлері әр түрлі емес, олардың арасында өзара тең түбірлері бар болсын: айталық k1 -түбipi m-еселі болсын. Онда бұларға сәйкес функциялар болады да (6.1)-жүйе сызықты тәуелсіз бола алмайды. Бұл жағдайда функцияларын сәйкес (4) функцияларымен алмастырамыз. (4)-функциялардың әpбipeyi (1)-дифференциалдық теңдеудің шешімі және барлық еселі түбірлері осылай етіп алмастырып алынған (4)-жүйе сызықты тәуелсіз болатынын дәлелдеуге болады. №1 мысал-есеп: теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Бұл теңдеудің шешімдерін түрінде іздейміз. Осы шешімнің k мәндерін табу үшін оның үшінші реттіге дейінгі туындыларын тауып дифференциалдық теңдеуге апарып қоямыз. Сонда теңдеуін болғандықтан , бөлеміз. Алынған характеристикалық теңдеудің , k түбірлерін табамыз. Бұл теңдеудің мәндері әр түрлі және нақты болғандықтан жалпы шешім түрінде болады. №2 мысал-есеп: теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Бұл дифференциалдық теңдеудің характеристикалық теңдеуі:. Характеристикалық теңдеудің түбірлері түйіндес комплекс санға тең. . О.б. жалпы шешім түрінде болады. №3 мысал-есеп: жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Бұл теңдеудің характеристикалық теңдеуі . Бұдан . Характеристикалық теңдеудің түбірлерінің ішінде еселі түбірлер бар. Олай болса теориялық материал бойынша жалпы шешім: . жүктеу/скачать 160 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|