Жазық қисықтың айқын емес түрде берілген теңдеуін қарастырайық.
F(x,y) = 0 – айқын емес түрде берілген қисықтың теңдеуі (1)
қисықтың жанамасының теңдеуі (2)
(2) теңдігінің () нүктесінде болса, бұл нүктеде (1) қисығының жанамасы анықталмайды. Осы нүкте айқын емес түрде берілген қисықтың ерекше нүктесі деп аталады.
(3)
Егер (3) теңдігінің барлық коэффиценттері бір мезгілде нөлге тең болса, жанаманың бағыттаушы векторының координаталарының қатынасын алуға болады. (3) теңдігінің екі жағын да бөлеміз. : деп белгілейміз.
(4)
(4) – сипаттамалық теңдеу деп аталады.
δ – ның таңбасына қатысты квадрат теңдеудің шешімдерін қарастырамыз.
I δ > 0 (D < 0)
(4) теңдеуінің түбірлері жорамал сандар. Нақты түбірлері жоқ, яғни жанамалары жоқ. Бұл жағдайда ерекше нүкте оқшауланған деп аталады.
II δ < 0 (D > 0)
(4) теңдеуінің екі нақты және әр түрлі түбірлері бар. () нүктесінен қисықтың екі тармағы өтеді. Әрқайсысының жанамасының бағыты (3) арқылы анықталады. () – буын немесе торапты нүкте деп аталады.
III δ = 0 (D = 0)
(4) теңдеуінің бір – біріне тең екі түбірі бар. Бұл жерде бірнеше жағдайлар болуы мүмкін.
a) Оқшауланған нүкте.
б) I ретті қайту нүктесі. Қисық ерекше нүктеде ортақ жанамасы бар екі тармақтан тұрады. Бұл тармақтар осы нүктедегі жанаманың екі жағында, ал нормальдың бір жағында орналасқан.
в) II ретті қайту нүктесі. Бұл жағдайда қисықтың ерекше нүкте арқылы өтетін және ортақ жанамасы бар екі тармағы жанама мен нормальдың бір жағында орналасады.
г) Өзін - өзі жанайтын нүкте. Қисық ерекше нүктеде бірін – бірі жанайтын екі тармақтан тұрады.
д) Егер ерекше нүктеде болса, онда бұл нүкте арқылы қисықтың бірнеше тармақтары өтуі мүмкін.
Мысалдар: а) қисығының ерекше нүктесін табу керек және ерекше нүктедегі жанаманың теңдеуін құру керек.
Шешуі. Берілген теңдеуді келесі түрде жазып аламыз .
және айнымалылары бойынша дербес бірінші туындыларын табамыз.
, .
Осыдан , жүйенің екінші теңдеуін шешіп,
аламыз.
M1 (-2/3;0) – қисыққа тиісті емес.
Берілген қисық үшін ерекше нүктені таптық. Енді ерекше нүтенің түрін анықтау керек. Ол үшін нүктесіндегі екінші дербес туындыларын табамыз .
.
ның мәнін есептейміз, , - ендеше торапты нүкте.
Келесі теңдеу бойынша жанамалардың бағытын анықтаймыз:
x=y+C M нүктесінде 0=0+C C=0
x =-y+C 0=0+C C=0
ерекше нүктедегі жанамалардың теңдеулері.
