Атты халықаралық Ғылыми тəжірибелік конференцияның ЕҢбектері
жүктеу/скачать 8,24 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Summary
143
ƏОЖ 373.1.02:372.8 АРНАЙЫ ТҮРДЕГІ АЛГЕБРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ВЕКТОРЛЫҚ ƏДІСТІ
АЛГОРИТМДЕРІ Юнусов А.А., Қарабаев А.Қ., Рахымбек Д.,Ямолатдинова Д.Р., Досметова Д.А. Халықаралық гуманитарлық-техникалық университет, ОҚМПИ, ОҚМУ, Шымкент, Қазақстан
Резюме
В данной работе найдены алгоритмы составления и решения некоторых алгебраических задач специального вида с помощью векторного метода
Векторлардың мектептегі геометрия курсында кеңінен пайдаланатындығы белгілі. Дəлірек айтқанда, «вектор» , «вектордың ұзындығы» жəне «векторлардың скаляр көбейтіндісі» ұғымдары геометрия курсында көптеген теоремаларды дəлелдеуде, түзулер арасындағы бұрышты жəне арақашықтықты табумен байланысты болып келген əртүрлі геометриялық есептерді шешуде қолданылады. Біздің зерртеулеріміз жəне іс- тəжірибеміз векторларды мектептегі алгебра курсының көптеген мəселелерін оқытуда да пайдалануға болатындығын көрсетті. Ашып айтар болсақ, векторлық əдісті кейбір теңдеулерді жəне теңдеулер жүйелерін шешуге, теңсіздіктертерді ( шартты жəне шартсыз )дəлелдеуге, өрнектердің жəне функциялардың ең үлкен жəне ең кіші мəндерін табуға берілген есептерді шешуге қолдануға болады. Бұған қосымша айтарымыз, көпшілік жағдайда алгебралық есептерді дəстүрлі əдістер бойынша шешу процесіне қарағанда векторлық əдіс арқылы шешу процесі əлдеқайда қысқа болады. Біз бұл жұмысымызда тек қана арнайы түрдегі келесі функция мен теңдеуді құрастырамыз: f(x) =
+ (L) f(x) = E (M) мұндағы
жəне
Есептің қойылуы. (L) жəне (M) – дегі х – белгісіз, Е – оң нақты сан, ал А, , , - =
- 4А жəне
= - 4А
шарттарын қанағаттандыратын кез келген оң нақты сандар (мұндағы жəне - сəйкес - тің дискриминанттары). (L) функциясының ең кіші мəні мен (M) теңдеуінің шешімін табу керек. (L) жəне (M) – нің анықталу облыстары – барлық нақты сандар жиыны R( болады жəне олардың құрамындағы квадрат үшмүшеліктердің əрқайсысын екі өрнектің квадраттарының қосындысы түрінде жазуға болады, өйткені жəне
. Олай болса (L) жəне (M)-дегі квадрат түбірлердің қосындысы қандайда бір нөлдік емес екі вектордың ұзындықтарының қосындысын сипаттайды. Осы жағдайда бізге жазықтықта өздерінің координаталарымен берілген екі векторды енгізуге жəне кез келген екі а жəне в векторлары үшін ақиқат болатын
(1)
Векторлық теңсіздікті қолдануға мүмкіндік береді. 144
Айталық жəне екі өрнектің квадраттарының қосындысына төмендегіше жіктелген болсын:
+ (2)
+
+
(3) Мұндағы
- кез келген оң нақты сандар, ал а,в – кез келген нақты сандар. (2) мен (3)-ті ескеріп, (L) жəне (M)-ді сəйкес келесі түрде жазуға болады: f(x) = + ( )
+
( )
Бұдан əрі ( ) жəне (
) – дің құрылысына қарай отырып m = (
n = ( b – wx; (4) векторларын енгіземіз жəне олар үшін мыналарды табамыз : m + n = ( b – a ; ,
f(x) = Енді (1) теңсіздікті ескерсек, онда келесі теңсездік орынды болады: f(x) =
бұдан f(x)-тің ең кіші мəні саны болатындығын көреміз. Енді f(x) өзінің ең кіші мəнің Х-тің қандай мəнінде қабылдайтынын анықталық. Ол үшін
теңсіздігіндегі теңдік белгісінің m жəне n векторлары бағыттас болғанда , яғни олардың аттас координаталары пропорционал болғанда тек сонда ғана орындалатындығын пайдаланамыз. Сонда келесі теңдеу келіп шығады.
(5) (5) теңдеуді шешіп, х-ті табамыз: х =
(6) олай болса ( ) функциясы үшін келесі қатыс орынды болады:
) =
(7) Осы алынған нəтиже ( ) – тің оң жағының да санына тең болу қажеттілігін көрсетеді, яғни Е =
= (8) (8) –
ескерсек, онда
( )
мына түрге келеді = ( ) ( ) – тің шешімі де (6) қатыс арқылы анықталады, өйткені ( ) - ті
(9) Векторлық теңдік түрінде жазуға болады. Ал (9) теңдік m жəне n векторларының бағыттыс екендігін білдіреді. Алынған нəтижені пайдаланып (L) түріндегі жаңа функциялар мен (М) түріндегі жаңа теңдеулерді құрастыруға болады. (L) түріндегі жаңа функцияны құрастырудың жəне оның ең кіші мəнін табудың алгоритмі. 145
1.w,a,b, (w, - кез келген оң нақты сандар, ал а,в - кез келген нақты сандар) параметрлеріне қандайда бір нақты сандық мəндерді бере отырып, m = (wx- a, ) жəне векторларын енгіземіз. 2. m жəне n өрнектері арқылы ( ) түріндегі жаңа функцияны аламыз. 3. ( ) – ті оның құрамындағы квадрат түбірлер астындағы жақшаларды ашып, ықшамдағаннан кейін (L) түріндегі жаңа функйияны аламыз. 4. (L)-дің ең кіші мəні (7) қатыс арқылы табылады (М) түріндегі жаңа теңдеулерді құрастырудың жəне оның шешімін табудың алгоритм: 1. m жəне n векторларын енгіземіз (L) түріндегі жаңа функцияны құрастыру алгоритмінің 1-пунктің қараңыз. 2. m жəне n өрнектері жəне шамасы арқылы ( ) түріндегі жаңа теңдеуді аламыз. 3. ( ) - ті оның құрамындағы квадрат түбірлер астындағы жақшаларды ашып, ықшамдағаннан кейін (М) түріндегі жаңа теңдеуді аламыз. 4. (М)-нің шешімі (6) қатыс арқылы табылады .
Мысалдар қарастыралық. 1-мысал: f(x) = (10) функциясының ең кіші мəнін табыңдар. Шешуі. (10) – ды келесі түрде жазамыз: f(x) =
(11) (11) – ді ескере отырып, m = (3x - 4; 5) n = (2 - 3x; 7) векторларын енгіземіз жəне олар үшін төмендегі қатынасты табамыз :
= (-2;12), = 2
f(x) =
Сонымен f(x) , яғни f(x)-тің ең кіші мəні саны болып табылады. Мұндағы теңдік белгісі m жəне n векторлары бағыттас болғанда, басқаша айтқанда (6) қатысқа сəйкес х , х болғанда тек сонда ғана орындалады. Демек, f(x) өзінің ең кіші мəнін х . Жауабы: ) =
2-мысал. + =
(12) Шешуі. (12) - ні келесі түрге келтіреміз:
=
(13)
(13) – ті ескеріп, m = (5x - 8; 5) n = (6 - 5x; 3) векторларын енгіземіз жəне олар үшін төмендегі қатынасты табамыз :
= (-2;4), = 2
Сонда (12) теңдеу мына түрге келеді:
146
Ендеше m жəне n бағыттас векторлар, сондықтан (6) қатыс бойынша х , х
болады. 3 – мысал. (L) түріндегі жаңа функцияны құрастыраңдар. Бұл функция өзінің ең кіші мəнін х-тің қандай мəнінде қабылдайды? Шешуі : 1. Айталық, w = 5, a = -3, b = -7, болсын, онда m = (5x +3; 2) n = (-7 - 5x; 4) болады. 2.
f(x) =
3. = (-4;6), = 2
х , х болады. Сондықтан ) =
Жауабы: f(x) = жəне
4- мысал: (М) түріндегі жаңа функцияны құрастыраңдар жəне оның шешімін табыңдар. Шешуі: 1. Айталық , w = 3, a = 0, b = -5, болсын, онда m = (3x; 1) n = (-5- 3x; 3) болады. 2.
= (-5;4), =
, =
3. х , х
Жауабы : = жəне х
Əдебиеттер 1.
Қарабаев А.Қ. Оқүшылардың шығармашылық қабілетін дамытуға ықпал жасайтын стандарт емес есептер.- Жезқазған: ЖезУ-нің баспаханасы, 2002-200 бет 2.
баулу.- Жезқазған: ЖезУ-нің баспаханасы, 2002-151 бет 3.
Қарабаев А.Қ. Векторлық əдісті есептерді шешуге қолдану. – Жезқазған : ЖезУ-нің баспаханасы, 2000-137 бет 4.
Информатика. Физика. Математика -1999.-18-21бет 5.
Қарабаев А.Қ. Алгебралық есептерді векторлық əдісті пайдаланып шығару// Информатика. Физика. Математика -2001.-21-23бет
147
ПРОБЛЕМА «ПРЕВРАЩЁННЫХ ФОРМ» В УЧЕБНОМ ПОЗНАНИИ МАТЕМАТИКИ
Юнусов А.А., 2 Жохов А.Л., Исмаилов И., Алиева Э.М. 1 Международный гуманитарно-технический университет, 2 ЯГПУ, Ярослав, Россия, Шымкент, Казахстан
Түйін Мақалада, диалектиканы игеру - шексіз үрдіс жəне оқушыларда диалектикалық пікірлеу элементтерін қалыптастыру белгілі басқыштарды өтуі тиіс екендігі көрсетілген
Термин “превращённая форма” был впервые введён и использован К. Марксом для исследования «строения и способа функционирования сложных систем связей» («органических» систем) [6, с. 269]. Цель использования – выявление «видимых зависимостей и парадоксальных эффектов», которые предстают сознанию человека и воспринимаются им как объективно, независимо от него существующие, но на самом деле замещающие те связи, которые им по каким-то причинам не были уловлены в процессе исследования. [7, т. 26, Т. III, с. 507]. Несколько упрощая, скажем, что человек, познавая некоторый системный объект, строит для него также модель-систему, но по каким-то причинам не умея выделить в объекте реально существующие системные связи, заменяет их кажущимися ему зависимостями. Так объективно и по необходимости образуется и бытует в сознании субъекта “превращённая форма”, побуждая его к соответствующей деятельности. Приведём простейший пример. Довольно широко распространён ритуал: «Присядем на дорожку…». Спрашиваю: «Зачем?» - «Не знаю, так принято…» - «Кем? Зачем?» Ответом будет либо недоумённый взгляд, либо: «Чтобы всё гладко прошло, чтобы ничего не случилось...». Мистика, которую нетрудно объяснить. Правдоподобна гипотеза: наши давние предки, отправляясь в дальнюю дорогу, присаживались, чтобы ещё раз подумать: «Всё ли нужное я взял с собой? Все ли наказы дал домашним? Хороший ли я выбрал путь?» В современных условиях быстротекущей жизни и наличия средств коммуникации деятельность по обдумыванию вариантов отъезда, пути, средств и т.п., так необходимая нашим предкам, оказалась заменённой фикцией, ритуалом «для порядка». Спрашивается, какое отношение имеет сказанное к обучению математике в современных условиях? На мой взгляд, самое непосредственное. Приведём два примера и рассуждения по их поводу. 1. Известно, что в Древней Греции понятия "аксиома" и "постулат" значительно различались между собой. У Аристотеля читаем: "… всякая доказывающая наука имеет дело с тремя 〈сторонами〉: то, что принимается как существующее, именно род, свойства которого, присущие ему сами по себе, рассматривает наука, и общие 〈положения〉, называемые аксиомами, из которых, как из первичного, ведется доказательство… Постулат же есть нечто противное мнению учащегося или такое, что, будучи 〈возможно〉 доказуемым, принимается и применяется недоказанным" [1]. Сказанное можно понять так: постулат есть задача для хорошего ученика и может побудить его к деятельности, аксиома – признанное и принятое всеми положение, "удостоенное" быть таковым (в точном переводе с древнегреческого – αξιωµα
). Для 148
сравнения приведем еще мнение современных историков математики: «Аксиомы – это такие очевидные вещи, которые, по словам Аристотеля, "необходимо иметь каждому, кто будет что-то изучать". Постулат – это лишь принцип, который геометр предлагает своему собеседнику принять, но не являющийся ни "очевидным", ни "аксиоматическим". Его можно опровергнуть, не приходя к противоречию… постулаты интерпретировались как простые "гипотезы"…» [3, с. 75]. Нетрудно понять, что с рассматриваемых в статье позиций отождествление в современной математике аксиомы и постулата фактически превратило эти термины в своеобразную превращённую форму, которая осознанно и законно используется учёными- математиками в границах математической теории. В то же время, в этой форме естественно оказался утерянным (лучше сказать – скрытым) общекультурный смысл исходных понятий – история и логика процесса их осмысления. Вместе с тем для ученика именно этот смысл является наиболее важным. Отказываясь в обучении от различения этих терминов и следуя их отождествлению, знакомя учащегося только с одним вариантом какой-либо аксиомы, мы с самого начала спешим и тем самым лишаем его удовольствия подумать: не побуждаем его к сомнению в истинности утверждения или к поиску других её формулировок, а потому не даём ему возможности стать "хорошим учеником" [4]. 2. В известных учебниках по алгебре и началам анализа, а также в вузовских учебниках и в практике обучения материал по дифференцированию и интегрированию функций чаще всего излагается в известной последовательности. А именно: геометрическая и физическая задачи, приводящие к понятию производной, её определение и вычисление в простейших случаях, её свойства и т.д., далее таблица производных и их применения. Затем – отдельной главой – понятия первообразной, интеграла, их свойства и приложения [2]. Кажется на первый взгляд, что в этом случае авторами учебников и опытными преподавателями всё предусмотрено: подготавливается и раскрывается смысл основных понятий, даётся база задач на «отработку» алгоритма, правил вычисления и применения производных и интеграла и т.д. Однако, как показывают наблюдения, для очень многих студентов (и школьников) центральные понятия темы также оказываются лишь “превращёнными формами”. Причина видится в том, что обучение сводится к разъяснению известного в науке, в результате чего и студенты, и школьники в силу разных причин выпадают из процесса познания, ограничиваясь лишь усвоением готовых сведений и известных действий. Тем самым они – опять же – лишаются удовольствия подумать, возможности участвовать в интеллектуальном труде порождения понятий как «продуктивных моделей» [5, с. 83] фрагментов действительности. Процесс порождения понятия как продуктивной модели решения ряда задач, как они появлялись в истории развития человеческой мысли, в условиях обучения можно смоделировать в серии учебных задач [2,5]. Однако на это, как правило, не хватает учебного времени, да и учебная программа этого не требует – ни в школе, ни в вузе. В качестве конечной цели задаётся усвоение определений понятий, формул и приёмов их применения к решению стандартных (типовых) задач. Но достижение такой цели как раз и побуждает сознание учащегося создавать вместо «живого» понятия или действия их превращённую форму. Недостающие в ней связи и познавательные действия, не проявленные для ученика, необходимо им замещаются какими-то другими, часто искусственными, не отражающими особенностей и всех закономерностей возникновения понятий как продуктивных моделей. Подобные связи и действия, замещающие действительно существующие, иногда придумываются самим учеником, чаще подсказываются учебной литературой и учителем. Сказанное намечает одну сторону проблемы превращённых форм в обучении. Один из путей разрешения – «распредмечивание» исторически ранее осуществлённого процесса познания и его логики в учебных задачах с последующим их решением с учащимися. В этом случае есть надежда, что они с достаточной полнотой освоят данное понятие, так как постигнут эту логику, основные средства и методы, приводящие к его возникновению в научном познании. Однако этот процесс трудоёмкий, затратный по времени и направлен в
149
основном на овладение математикой как методом и началом любой области научных знаний, и уже потому может быть реализован разве лишь в особых условиях. Но и здесь не обойтись без превращённых форм, так что их возникновение и использование в учебном процессе – неустранимая неизбежность. Здесь и выявляется вторая сторона рассматриваемой проблемы. Её можно сформулировать так: «На что преимущественно нужно направить и как грамотно организовать процесс обучения математике, если признать, что в образовательном пространстве превращённые формы необходимо существуют?» Или ещё определённее: «Как организовать познание этих форм с тем, чтобы они в результате обучения, во- первых, стали бы продуктивными моделями, а во-вторых, способствовали бы приобщению учеников к математике, впитыванию её в себя как особой и – убеждён! – необходимой каждому человеку грани культуры, а не убеганию от неё?» Над этими вопросами давно задумывались известнейшие математики и методисты. Так, французский математик XIX-XX в. А. Пуанкаре писал: "Логика... не говорит, какой путь ведёт к цели. Для этого необходимо видеть цель издалека, а интуиция есть та способность, которая этому нас учит... Благодаря ей мир математических образов остаётся в соприкосновении с реальным миром... " [7, с. 464 – 465]. Цель обучения при этом должна быть задана в явном виде не только для учителя, но и – в соответствующей формулировке – для учащихся. И этого можно достичь через серию задач, моделирующих логику исторического процесса [11]. Математик-методист Г. Фройденталь говорит более решительно: "Ныне мы требуем, чтобы школьник изучал истинное возникновение математики – создавал ее заново..." [9, ч. I, с. 53]. Позицию, более приближенную к реалиям школьной жизни, занимает известный педагог А.И. Хуторской [10]. В этом же ключе выстроена и частично апробирована концепция мировоззренчески направленного обучения математике [4], многие положения и рекомендации которой ещё ждут своего исследователя. В самом деле, выявление с учащимися источников возникновения математических объектов (классы задач с практическим содержанием; субъект познавательной деятельности; математические свойства познаваемых объектов и используемых для этого средств и др.), включение их в процесс моделирования предметов окружающего мира и объектов других наук, конструирование с учащимися "новых" математических объектов и другие виды работы, – все это формирует у них, помимо математического реализма [4], еще и элементы диалектического мышления. Проблема состоит в том, чтобы находить, а затем и на практике создавать условия и формы учебной работы, последовательно и целенаправленно ведущие к формированию элементов диалектического мышления учащихся. Для правильного ответа на этот вопрос обратимся к сути диалектики: известно, что она отражает всеобщую связь и развитие [12, 13]. Когда при этом в науке говорят об источнике развития, то имеют в виду противоречие, то есть наличие, единство и противоборство противоположных сторон. Выделять, подчеркивать, раскрывать механизм взаимодействия противоположных сторон, включать учащихся в сознание действия этого механизма и в посильное решение противоречий, частным случаем которого является противоречие между научным понятием и его превращённой формой. В этом, на наш взгляд, тот путь, который приведёт к усилению направленности отмеченных выше видов учебной работы на формирование диалектического мышления учащихся. Заметим, что становление элементов диалектики в сознании учащихся – это процесс. Поэтому овладение любым из её элементов не может быть осуществлено сразу, целиком и до конца, то есть овладение диалектикой – процесс бесконечный, и формирование элементов диалектического мышления учащихся должно пройти определенные этапы. Далее приведём два примера задач. Задача 1 (выявление структуры математического выражения) [5]. Вычислить с точностью до 0,001 значение выражения: 150
001 , 1 ) 001 , 1 ( 1 : 001 , 1 001 , 1 001 , 1 001 , 1 1 001
, 1 2 − + + + . Как правило, современные учащиеся начинают считать с помощью калькулятора, то есть действовать «в лоб», что занимает довольно много времени и часто приводит к ошибкам, в частности из-за неумения делать прикидку и округлять промежуточные результаты. По истечении некоторого времени целесообразно предложить учащимся второй пример: 002 ,
) 002
, 0 ( 1 : 002 , 0 002 , 0 002 , 0 002 , 0 1 002 , 0 2 − + + + , направив их
размышления на сравнение форм двух примеров. Используем букву а для обозначения «элемента», общего в каждом из выражений: а а
а а а а − + + + 2 ) ( 1 : 1 (*). Это и есть общая форма как алгебраическая модель числового выражения. При этом подмечается, что при всём различии «элементов», структура этих форм одна и та же и её можно упростить. Этим и определяется мотив использования алгебраических преобразований, например в 7 классе, вместо арифметических вычислений, причём задача «упрощения алгебраической формы» оказывается подзадачей арифметической исходной задачи. Но можно пойти и дальше!
Следующий шаг: ещё раз подмечаем, что в (*) общим элементом является выражение √ а, и если его заменить, например, на А, то оно превращается в рациональное выражение, и после небольших преобразований получаем А 2 – 1. Но тогда (*) тождественно равно а – 1. Можно вернуться к арифметическим примерам, тогда остаётся вместо а подставить в первом случае 1,001 и получить 0,001, а во втором – 0,002 и получить значение –0,998. Задача решена полностью, однако в процессе её решения неоднократно был применён один и тот же диалектический переход: от конкретного – к абстрактному, от единичного – к общему и обратно. Благодаря этому появилось понимание предпочтительности работы с алгебраическими выражениями в сравнении с арифметическими. Следующий пример демонстрирует ещё один диалектический переход: смену приоритетов в рассмотрении элементов (компонентов) и в целом структуры математического объекта. Задача 2 (смена приоритетов) [14]. Требуется решить уравнение с параметром (**) а х
х = + + . Это иррациональное уравнение, и обычный способ решения (уединение радикала и возведение в квадрат) приводит к довольно сложному уравнению четвёртой степени. На первый взгляд этот путь кажется тупиковым, но это не так, если, сменив приоритеты, всё-таки воспользоваться той же идеей. А именно: введём в (**) новую переменную: 0 ≥
= х а у , перенесём её в правую часть и возведём обе части уравнения в квадрат. В результате несложных преобразований получим рациональное уравнение относительно двух переменных: у 4
2
2
переменные можно рассматривать как равноправные (это ещё один диалектический ход в рамках решения данной задачи!), то равенство можно трактовать как квадратное уравнение относительно переменной а: а 2 – а(2у
2 + 1) + (у 4 + у) = 0. Далее используется обычный для квадратного уравнения путь: находят дискриминант D = (2y – 1) 2
≥ 0, получают выражения для корней: а 1 = у 2 + у; а
2 = у
2 – у + 1, что позволяет разложить многочлен на множители: (а – у 2
2 + у – 1) = 0. Ещё раз применяем тот же приём смены ролей неизвестного и параметра и получаем уравнение в «нормальном» виде: (у 2 + у – а)(у 2 – у – а + 1) = 0. Остаётся найти неотрицательные корни двух квадратных уравнений, а затем перейти к исходному неизвестному х. Конечно, это тоже представляет определённые трудности, но к 151
используемой идее диалектического перехода это уже не относится. Предоставляем читателю самостоятельно закончить решение. Задача 3. Решить уравнение у 4 – 8у
2 + у +12 = 0. Первая попытка. Идея: разложить на множители. Это возможно, если 12 представить как разность 16 – 4, затем «увидеть» полный квадрат (у 2 – 4)
2 и представить уравнение в виде (у 2 – 4) 2 + (у – 4) = 0 ⇔ (у – 4)·((у 2 – 4)(у + 4) + 1) = 0. Казалось бы, один из корней найден, но у = 4 не обращает левую часть в ноль. Прямая попытка не удалась, то есть не привела к решению уравнения. В то же время, можно заметить интересное: левую часть можно представить в виде у 4 – 2у 2 ·4 + 4
2 + у – 4 = 0 ⇔ 4
– (2у 2 ·+ 1)·4 + у + у 4 = 0
(***). Тогда последнее уравнение можно «прочитать» как квадратное уравнение относительно числа 4 (!). Вторая попытка. Вторая идея – та же, что и в предыдущей задаче: «придадим» новый смысл числу 4, опираясь лишь на форму записи левой части относительно этого числа, и «прочитаем» его как «новое» неизвестное и в последнем уравнении, а затем решим «уравнение» относительно этого неизвестного, считая всё остальное известным. Получим: и 1,2
= … = (2у 2 + 1 ± |2у – 1|):2. В результате получим только два значения (почему? Ведь придётся раскрывать модуль?): и 1 = у 2 + у; и
2 = у
2 – у + 1. Вспоминая, что и = 4, получим следующее разложение левой части (***) на множители: (4 – у 2 – у)(4 – у 2 + у – 1) = 0. Далее приходим к обычным квадратным уравнениям относительно неизвестной у и соответствующие четыре значения корня исходного уравнения: 2 13
; 2 17 1 4 , 3 2 , 1 ± − = ± − = у у . Оба корня подходят [14]. Так изменение, по сути дела, только формы и смысла символов помогло решить уравнение.
Литература 1.
Аристотель. Аналитики первая и вторая [Текст]./ Пер. с греч. – Л.: Госполитиздат, 1952. 2.
Виленкин, Н.Я., Мордкович, А.Г., Смышляев, В.К. Алгебра и начала анализа [Текст]. Пробный учебник для 9-10 кл. сред. Школы. Материалы для ознакомления/ Н.Я.Виленкин, А.Г.Мордкович, В.К. Смышляев. – М.: Просвещение, 1981. – 383 с. 3.
[Текст]: пер. с франц. – М.: Мир, 1986. 4.
Жохов, А.Л. Мировоззрение: становление, развитие, воспитание через образование и культуру [Текст]: Монография. – Архангельск: ННОУ «Институт управления»; Ярославль: Ярославский филиал ИУ, 2007. – 348 с. 5.
Когаловский, С.Р. Поиски метода и методы поиска (онтогенетический подход к обучению математике) [Текст]. Часть II. Монография. – Шуя: ШПГУ, 2006. 6.
Сост. и общ. ред. Ю.П. Сенокосова. М.: Издат. группа «Прогресс»; «Культура», 1992.– 416с.
7.
Маркс, К. Капитал [Текст]/Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т.23-26, ч. 1-3. 8.
Пуанкаре Анри. О науке: Пер. с франц./ Под ред. Л.С. Понтрягина. 2-е изд., стер. М.: Наука,1990. – 736 с. 9.
Фройденталь Х. Математика как педагогическая задача [Текст]. Перев. с англ. под ред. Н.Я. Виленкина. В 2-х ч. М.: Просвещение, 1982, 1983. 10.
обучения [Текст]: Пособие для учителя. – М.: ВЛАДОС, 2000. – 320 с. 11.
Юшкевич А.П. Математика в её истории [Текст]. – М.: «Янус», 1996. – 413с. 12.
13.
Шубинский В.С. Формирование диалектического мышления у школьников [Текст]. – М.: Знание, 1979. - 48 с. 152
14. Дорофеев Г.В. Квадратный трёхчлен в задачах [Текст]. // К вантор, 1991. № 2.
УДК жүктеу/скачать 8,24 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|