Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі түркістан облысы, Сауран ауданы, «Тұран» жалпы орта мектебі Ғылыми жоба Тақырыбы: «Пифагор теоремасын өмірде қолдануы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
017 24.06.22
| Алгебралық әдіспен дәлелдеу.
Ұлы үнді математигі Бхаскаридің дәлелдеуі. ABC – тік бұрышы С болатын тікбұрышты үшбұрыш, CM AB, b1 – гипотенузаға түсірілген b катетінің проекциясы, a1 – гипотенузаға түсірілген а катетінің проекциясы, h – үшбұрыштың гипотенузаға түсірілген биіктігі. ABC үшбұрышы мен ACM үшбұрышының ұқсастығынан b2 = cb1; (1) ABC , BCM үшбұрыштарының ұқсастығынан a2 = ca1. (2) шығады. (1) және (2) теңдіктерін мүшелеп қоссақ, a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2 теңдігін аламыз. Мёльманн дәлелдеуі -1 әдісі. Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы -ға немесе -ға тең, мұнда p – үшбұрыштың жарты периметрі, r – үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы Осыдан: c2=a2+b2. теңдігі шығады. Мёльманн дәлелдеуі-2 әдісі Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы :S=½*a*b немесе S=½(p*r) тең (кез-келген үшбұрыш үшін); p - үшбұрыштың жарты периметрі ; r – Іштей сызылған шеңбердің радиусы. r = ½*(a + b - c) – кез-келген үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы. ½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c); a*b = (a + b + c)*½(a + b - c); a + b=x; a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x2-c2) a*b = ½(a2 + 2*a*b + b2 - c2) a2 + b2 - c2 = 0, сондықтан a2 + b2 = c2 Гарфилд дәлелдеуі. Үш тікбұрышты үшбұрыш трапеция құрап тұр.Сондықтан бұл фигураның ауданын тікбұрышты трапецияның ауданы бойынша немесе үш тікбұрышты үшбұрыштың аудандарының қосындысы бойынша табуға болады. Екеуін теңестіре келе, c2=a2+b2 екендігі шығады. Бұрыштың косинусын пайдалана отырып дәлелдеу. ΔАВС – С бұрышы тік болатын берілген тіктөртбұрыш.С тікбұрышының төбесінен СD биіктігін жүргіземіз. Косинустар теоремасының анықтамасы бойынша (Тікбұрышты үшбұрышың сүйір бұрышының косинусы деп іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасын айтамыз.) соsА=AD/AC=AC/AB. Бұдан AB*AD=AC2. Осыған ұқсас соsВ=BD/BC=BC/AB. Бұдан шығатыны AB*BD=ВС2. Шыққан теңдіктерден AD+DB=AB екенін ескере отырып, АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2 теңдігін аламыз. Теорема дәлелденді. Евклид дәлелдеуі Берілгені:ΔАВС – тікбұрышты үшбұрыш, AJ - гипотенузаға түсірілген биіктік, BCED – гипотенузаға салынған квадрат, ABFH және ACKJ - катеттерге салынған квадраттар. Дәлелдеу керек: Гипотенузаның квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең.(Пифагор теоремасы). Дәлелдеуі: 1. BJLD тіктөртбұрышы ABFH квадратына тең шамалы екендігін дәлелдеу керек. ΔABD=ΔBFS (екі қабырғасы мен арасындағы бұрышы бойынша BF=AB; BC=BD; Бұрыш FBS=бұрышABD). SΔABC=½SBJLD, өйткені ΔABC үшбұрышы мен BJLD тіктөртбұрышында BD ортақ табан және LD ортақ биіктік. Осыған ұқсас SΔFBS=½SABFH (BF-ортақ табан, AB – ортақ биіктік). Осыдан SΔABD= SΔFBS екендігін ескере отырып, SBJLD=SABFH теңдігін аламыз. ΔBCK және ΔACEүшбұрыштарының теңдігін пайдала отырып, SJCEL=SACKG екендігі дәлелденеді. Бұдан SABFH+SACKJ=SBJLD + SBCED. Дәлелдеулердің бірнеше түрлерін қарастыра келе, мына суреттер бойынша қосымша салулар арқылы дәлелдеулер келтірілген. Мұнда пунктирлі сызықтар қосымша салуларды көрсетеді. Сонымен ежелгі египеттіктер қабырғалары 3,4,5 болатын үшбұрышты 2000 жыл бұрын тік бұрыш салуға пайдалана білген. Яғни Пифагор теоремасына кері теореманы қолданған. Енді үшбұрыштар теңдігінің белгілеріне негізделген дәлелдеуді келтірейік. Сонымен ABC үшбұрышының қабырғалары( 24-сурет) c2 = a2 + b2. (3) қатынасымен байланысты. Осы үшбұрыштың тікбұрышты үшбұрыш екенін дәлелдейміз. Катеттері берілген үшбұрыштың a және b катеттеріне тең болатын екі катеті бойынша A1B1C1 үшбұрышын саламыз (25- сурет). Салынған үшбұрыштың гипотенузасы c1 тең болсын. Салынған үшбұрыш тікбұрышты үшбұрыш болғандықтан Пифагор теоремасы бойынша c12 = a2 + b2. (4) (3) және (4) теңдіктерін салыстыра отырып , c12 = c2, немесе c1 = c екендігін аламыз. Осыдан берілген және салынған үшбұрыштар үш қабырғалары сәйкесінше теңболғандықтан үшбұрыштардың теңдігі шығады. Пифагор теоремасының дәлелдемелерін көптеп келтіруге болады. 1-Тәсіл. Бірінші, гипотенуза 3 см болсын. Сонда Пифагор теоремасының формуласы бойынша 3? = a? + b? болады. 3 см – ге тең гипотенуза бойынша, катеттердің өлшемдерін жуықтап есептеу тәсілімен a = 2 см , b = √5 см деп аламын. Пифагор теоремасы бойынша формула немесе 9=4+5 натурал сандарына түрленеді.Бұл теңдіктің оң жағын қоса отырып, (4+5) квадраттардың аудандары 3 см – лік гипотенузаға салынған квадраттың ауданына тең шамалы екенін көреміз, яғни 9 см? = 9 см? жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|