§16. Комплекс облысындағы қатарлар

84
Келесі теорема орынды.
Теорема  3.10. Егер (3.51) қатары мүшелерінің модульдерінен 
жасалған қатар жинақты болса, онда (3.51) қатарының өзі де 
жинақты болады.
Дəлелдеме. Расында, егер
n
n
u
v
u
v
u
v
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
...
...
+
+
+
+ +
+
+
қатары жинақты болса, онда айқын
n
n
n
u
u
v
2
2
≤
+
 жəне 
n
n
n
v
u
v
2
2
≤
+
 (n = 1, 2, …)
теңсіздіктерінен қатарларды салыстыру белгісі (§4)  жəне §7-
дегі теорема бойынша (3.52), (3.53) қатарларының екеуі де 
жинақталады, айта кету керек абсолютті жинақталады. Сонда 
анықтамаға сəйкес (3.51) қатары да жинақталған болады. Теорема 
дəлелденді.
Комплекс облысында 
n
n
c
c z
c z
c z
2
0
1
2
...
...,
+
+
+ +
+
дəрежелік қатарлары да қарастырылады, мұндағы 
n
n
n
c
a
ib
,
=
+
 
z
x
iy
= +
 (n = 0, 1, 2…). Алдыңғы теоремаға сəйкес мұндай қатар 
оның мүшелері модульдерінен жасалған 
n
n
с
с
z
с
z
с
z
2
0
1
2
...
...
+
⋅ +
⋅
+ +
⋅
+
қатарының жинақты болуында, өзі де жинақты болады. Мұнда
 
n
n
n
c
a
b
2
2
=
+
 жəне 
z
x
y
2
2
=
+
 (n = 0, 1, 2...). Соңғы қатардың 
жинақтылығын зерттеу үшін өзімізге жақсы танымал белгілердің 
бірін, мəселен, Даламбер белгісін қолдануымызға болады.
§17. Эйлер формулалары
Жоғарыда табылған 
x
e
x
x
, sin , cos
 жіктемелерін осы функци-
яларды байланыстыратын аса маңызды формулаларды қорытып 
шығару үшін қолданайық. Егер х – нақты сан болса, онда (§13-те 
көрсетілгендей)

85
x
x
x
x
e
2
3
1
...
1! 2! 3!
= + +
+
+
жіктемесі бар болып, қатар x-тің кез келген мəні үшін жинақталады.
Егер z = x  + iy болса, (x жəне y – нақты сандар, i
2
= -1), онда 
анықтама бойынша 
z
z
z
z
e
2
3
1
...
1! 2! 3!
= + +
+
+
                         (3.54)
Даламбер белгісін модульдерден жасалған
1+
z
z
z
2
3
...
1! 2!
3!
+
+
+
қатарына қолданып, 
z
-тің əрбір мəнінде оның жинақталатынын 
байқаймыз. 
Олай болса (3.54) қатары да жинақталады, демек көрсеткіштік 
e
z 
функциясы z-тің барлық комплексті мəндері үшін анықталған.
Дербес жағдайда, z = ix (x – нақты сан) болуында
ix
ix
ix
ix
ix
ix
ix
e
2
3
4
5
6
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
...
1!
2!
3!
4!
5!
6!
= +
+
+
+
+
+
+
жіктемесі орынды. 
i
2
1,
= −
 
i
i
3
= −
, 
i
4
1,
=
 
i
i
5
,
=
 
i
6
1
= −
 бол-
ғандықтан, осы мəндерді e
z
-тің жіктемесіне қойып,
ix
ix
x
x
x
x
x
x
x
e
i
i
i
2
3
4
5
6
7
8
1
...
1! 2!
3! 4!
5! 6!
7! 8!
= +
−
−
+
+
−
−
+
+
өрнегіне немесе нақты жəне жорамал бөліктерін айырып,
ix
x
x
x
x
x
x
x
x
e
i
2
4
6
8
3
5
7
1
...
...
2! 4! 6! 8!
1! 3! 5! 7!
= −
+
−
+
−
+
−
+
−
+
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
формуласын шығарып аламыз. 13-параграфке сəйкес, бірінші 
жақшадағы өрнек cosx–ке тең болса, екінші жақшадағы өрнек 
sinx-ке тең. Сондықтан тамаша бір
ix
е
= cos x +isin x                               (3.55)

86
формуласына келеміз. Мұнда x-ті -x-пен алмастырып cos(-x) = cos 
х, sin(-x) = -sin x болуын ескерсек
ix
e
−
=
cos x - isin x.                              (3.56)
Əйгілі  Эйлер формулалары шықты.( 3.55) жəне (3.56) фор-
мулаларын cosx жəне sinx-ке қатысты шешіп, 
cos x = 
ix
ix
e
e
2
−
+
, sin x = 
ix
ix
e
e
i
2
−
−
теңдіктеріне ие боламыз.
Жалпы жағдайда, егер z = x + iy болса, онда
x iy
e
+
=
x
e
·
iy
e
                                   (3.57)
теңдігінің орындалатынын көрсетуге болады. Демек
x iy
e
+
=
x
e
(cos y + isin y).
Мысал. 
і
e
1
2
π
+
=
e
(cos
2
π
 + isin
2
π
) = ei.
Егер z = r(cosφ+isinφ) тригонометриялық кескіндегі комплекс 
сан болса, (3.57) формуласы негізінде комплекс санының
z = re
ϕ
i
                                       (3.58)
түріндегі көрсеткіштік нұсқасын табамыз, мұнда r = 
z
 жəне 
Argz
.
ϕ
=
§18. Фурье қатары. Фурье интегралы
18.1. Негізгі ұғымдар
Тұтасымен сандық осьте анықталған 
( )
y
f x
=
 функциясы 
үшін  х-тің кез келген мəнінде 
(
)
( )
f x
T
f x
+
=
 теңдігі орында-
латындай 
T
0
≠
 тұрақты саны табылса, онда 
( )
f x
 функциясын 
периодты дейді. Т саны функцияның периоды деп аталады. Осы 
функцияның кейбір қасиеттерін атап өтейік.
1) Т периоды бар функциялардың қосындысы мен айырымы, 
көбейтіндісі мен қатынасы да Т периоды бар функциялар болып 
келеді.

87
2) Егер f(x) функциясының периоды Т  болса, онда f(ax) 
функцияының периоды Т/а болады.
3) Егер f(x) - Т периоды бар кез келген функция болса, онда 
Т ұзындығы бар аралықтар бойынша алынған қос интеграл бір-
біріне тең, атап айтқанда, кез келген a жəне b үшін 
а Т
b T
a
b
f x dx
f x dx
( )
( ) .
+
+
=
∫
∫
18.2. Тригонометриялық қатар. Фурье қатары
Егер  f(x) функциясы [-π, π] кесіндісінде бірқалыпты жинақ-
талатын
( )
n
n
n
a
f x
a
nx
b
nx
0
1
cos
sin
2
∞
=
=
+
+
∑
                 (3.59)
тригонометриялық қатарына жіктелетін болса, онда мұндай жік-
телу жалғыз жəне коэффициенттер 
п
а
f х dх а
f х
пхdх
0
1
1
( ) ;
( )cos
;
π
π
π
π
π
π
−
−
=
=
∫
∫
п
b
f х
пхdх
п
1
( )sin
, (
1,2,...)
π
π
π
−
=
=
∫
формулалары бойынша анықталады. Мұндай (3.59) қатарын 
тригонометриялық Фурье қатары дейді.
18.3. Функцияның Фурье қатарына жіктелуінің 
жеткілікті белгілері
Егер х
0
 нүктесінде f(x) функциясының шектеулі оң жақ шегі 
мен сол жақ шегі бар болса, х
0
 нүктесін 1-текті үзіліс нүкте 
дейді. 
Теорема 3.11  (Дирихле теоремасы). Егер 2π периоды бар 
периодты f(x) функциясы [-π, π] кесіндісінде шектеулі саны бар 
1-текті үзіліс нүктелерді иеленсе жəне осы кесіндіні, əр бөлігінде 

88
f(x) функциясы бірсарынды болатындай шектеулі саны бар бө-
лікке бөлуге келетін болса, онда функцияға қатысты алынған 
Фурье қатары үзіліссіз нүктелерде f(x) функциясына жəне үзіліс 
нүктелерінде біржақты шектердің арифметикалық ортасына 
жинақталады. (Мұндай шарттарды қанағаттандыратын функция-
ны бөлшекті-бірсарынды дейді). 
Теорема 3.12. Егер 2π периоды бар периодты f(x) функция-
сы [-π, π] кесіндісінде өзінің туындысымен бірге үзіліссіз неме-
се шектеулі саны бар 1-текті үзіліс нүктелеріне ие болса, онда 
f(x) функциясының Фурье қатары үзіліс нүктелерінде біржақты 
шектердің арифметикалық ортасына жинақталады. (Осы теорема 
шартын қанағаттандыратын функцияны бөлшекті-тегіс функ-
ция дейді).
18.4. Жұп жəне тақ функциялардың Фурье қатарлары
f(x) функциясы, периоды 2l-ге тең,  f(-x) =  f(x) шартын 
қанағаттандыратын, атап айтқанда жұп функция болсын. Онда 
оның Фурье қатарындағы коэффициенттері үшін
l
l
l
а
f х dх
f х dх
l
l
0
0
1
2
( )
( ) ;
−
=
=
∫
∫
l
l
п
l
пх
пх
а
f х
dх
f х
dх
l
l
l
l
0
1
cos
2
cos
( )
( )
;
π
π
−
=
=
∫
∫
l
l
п
l
пх
пх
b
f х
dх
f х
dх
n
l
l
l
l
0
1
sin
2
sin
( )
( )
;
1,2,...
π
π
−
=
=
=
∫
∫
формулалары орынды. 
Сонымен, жұп функциясына жазылған Фурье қатарына си-
нусы бар мүшелер кірмейді де, 2l периоды бар мұндай функция 
үшін Фурье қатары 
( )
n
n
a
пх
f x
a
l
0
1
cos
2
π
∞
=
=
+
∑
түріндегідей жазылады. Енді f(x), периоды 2l, f(-x) = -f(x) шартын 

89
қанағаттандыратын, демек тақ функция болсын. Онда оның Фу-
рье қатарындағы коэффициенттері үшін 
l
п
пх
b
f х
dх
n
l
l
0
2
sin
( )
;
1,2,...
π
=
=
∫
формулалары орынды. 
Сонымен, тақ функциясына жазылған Фурье қатарында бос 
мүше мен косинусы бар мүшелер болмайды, атап айтқанда, 2l пе-
риодты тақ функциясы үшін Фурье қатарының өзі 
( )
n
n
пх
f x
b
l
1
sin
π
∞
=
=
∑
түрінде кескінделеді.
Егер f(x) функциясы [0, l] кесіндісінде Фурье тригонометриялық 
қатарына жіктелетін болса, онда берілген f(x) функциясын [-l, 
0] кесіндісінде қосымша анықтай түсу керек, əрі қарай Т =  2l 
ұзындықты аралықтарда қайталап, жаңа функцияны шығарып 
аламыз да, оны Фурье тригонометриялық қатарына жіктейміз.
Кез келген шектеулі [a, b] кесіндісінде берілген периодты емес 
функцияны Фурье қатарына жіктеу үшін, берілген функцияны [b, 
а + 2l] аралығында қосымша анықтай түскеннен кейін, периодты 
түрде қайталап немесе [b - 2l, а] аралығында қосымша анықтай 
түскеннен кейін, периодты түрде қайталаған қажет.
Ескерту. Егер функция [0, π] кесіндісінде анықталған болса, 
онда 
f(-x) = f(x),     x > 0
деп ұйғарып, мұндайда шығатын жұп функцияны [-π, π] кесін-
дісіндегі функцияға дейін жалғастыруға болады. Сол сияқты
f(-x) = -f(x),     x > 0
деп ұйғарып, мұндайда шығатын тақ функцияны [-π, π] кесін-
дісіндегі функцияға дейін жалғастыруға болады. Демек [0, π] 
кесіндісінде анықталған бірден-бір функцияны Фурье қатарына 
косинустар бойынша да, синустар бойынша да жіктеуге болады.

90
18.5. Кез келген функциялардың ортогональ жүйесі 
бойынша алынған Фурье қатары
[a, b] кесіндісінде үзіліссіз 
п
х
х
х
1
2
( ), ( ),..., ( )
ϕ
ϕ
ϕ
                           (3.60)
функциялар тізбегі қос-қостан ортогональ болатын, атап айтқанда
b
i
j
a
х
х dх
i
j
( ) ( )
0; (
)
ϕ
ϕ
=
≠
∫
теңдігін қанағаттандыратын [a, b] кесіндісінде үзіліссіз 
п
х
х
х
1
2
( ), ( ),..., ( )
ϕ
ϕ
ϕ
 функциялар тізбегін осы кесіндідегі функ-
циялардың ортогональ жүйесі деп атайды. Осыған қосымша [a, 
b] кесіндісінде 
b
i
j
a
i
j
х
х dх
i
j
0,
,
( ) ( )
1,
ϕ
ϕ
≠
=
=
⎧
⎨
⎩
∫
шарты орындалуында жүйе ортогональ жəне  мөлшерленген 
(ортонормаланған) деп аталады.
Енді f(x) - [a, b] кесіндісінде үзіліссіз кез келген функция бол-
сын. Мұндай f(x) функциясының [a, b] кесіндісінде ортогональ 
жүйе бойынша алынған Фурье қатары деп коэффициенттері
[
]
b
n
a
b
n
a
f х
х dх
n
х
dх
2
( ) ( )
;
1,2,...
( )
ϕ
ϕ
=
∫
∫
теңдігімен анықталатын 
n
п
n
а
х
1
( )
ϕ
∞
=
∑
 қатарын айтады. Егер [a, b]
кесіндісіндегі функциялардың ортогональ жүйесі ортонор-
маланған болса, онда 
b
n
n
a
а
f х
х dх
n
( ) ( ) ;
1,2,...
ϕ
=
=
∫

91
Енді  f(x) - [a, b]-да үзіліссіз, немесе шектеулі саны бар 
1-текті үзіліс нүктелерге ие кез келген функция болсын. Мұндай 
функцияның [a, b] кесіндісінде ортогональ жүйе  бойынша 
алынған Фурье қатары деп 
n
п
n
а
х
1
( )
ϕ
∞
=
∑
қатарын айтады. Егер f(x) функциясының (3.60) жүйесі бойынша 
алынған Фурье қатары f(x) функциясының [a, b] кесіндісіне тиіс 
əрбір үзіліссіз нүктесінде f(x) функциясына жинақталатын бол-
са, f(x) функциясын [a, b] кесіндісінде (3.60) ортогональ жүйесі 
бойынша қатарға жіктеледі дейді.
18.6. Фурье қатарының комплексті кескіні
i nx
l
n
с e
π
+∞
−∞
∑
өрнегі, 
n
c
 коэффициенттерінің 
l
i nx
l
n
l
с
f х e
dх
n
l
1
( )
;
0, 1, 2,...
2
π
−
−
=
= ± ±
∫
теңдігімен анықталуында f(x) функциясына жазылған Фурье 
қатарының комплексті кескіні деп аталады. Комплексті кескінді 
Фурье қатарынан нақты кескінді Фурье қатарына көшу жəне 
керісінше  нақты кескінді Фурье қатарынан комплексті кескінді 
Фурье қатарына көшу
l
n
n
n
l
а
ib
а
c
c
f х dх
l
0
0
1
,
( ) ;
2
2
2
−
−
=
=
=
∫
n
n
n
n
а
c
b
c
n
2 Re ,
2 Im ,
1,2,...
=
=
=
формулалары көмегімен жүзеге асады.

92
18.7. Фурье интегралы
f(x) функциясы əрбір [-l, l] (l – кез келген сан) кесіндісінде 
бөлшекті-тегіс немесе бөлшекті-бірсарынды, оның үстіне 
абсолютті интегралданатын, атап айтқанда 
f х dх
( )
∞
−∞
∫
 меншіксіз
интегралы жинақталатындай болсын. Онда f(x) функциясы 
( )
n
n
n
a
п
п
f x
a
х
b
х
l
l
0
1
cos
sin
2
π
π
∞
=
=
+
+
∑
Фурье қатарына жіктеледі, мұнда 
l
п
l
п
а
f t
tdt
n
l
l
1
( )cos
;
0,1,2,...
π
−
=
=
∫
l
п
l
п
b
f t
tdt
n
l
l
1
( )sin
;
1,2,...
π
−
=
=
∫
Егер коэффициенттерді f(x) функциясы үшін жазылған фор-
мулаға қойсақ,
( )
l
l
l
n
l
l
l
п
п
п
п
f x
f t dt
f t
tdt
х
f t
tdt
х
l
l
l
l
l
l
1
1
1
( )
( )cos
cos
( )sin
sin
2
π
π
π
π
∞
=
−
−
−
=
+
+
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∫
∫
∫
(
)
l
l
n
l
l
п
f t dt
f t
t
х dt
l
l
l
1
1
1
( )
( )cos
2
π
∞
=
−
−
=
+
−
∑
∫
∫
теңдігіне келеміз.
Əрі қарай 
l
→ ∞
 да шекке көшсек 
l
l
l
f t dt
l
1
lim
( )
0
2
→∞
−
=
∫
жəне 
(
)
l
l
n
l
п
f х
f t
t
х dt
l
l
1
1
( ) lim
( )cos
π
∞
→∞
= −
=
−
∑ ∫
орынды екенін дəлелдеуге болады. 

93
Төмендегідей
n
п
n
n
n
u
п
и
u
u
u
l
l
l
1
1
;
;
π
π
π
+
Δ
=
Δ =
−
=
=
белгілеулерін енгізейік.
l
→ ∞
 да 
n
u
0
Δ →
 жəне 
(
)
l
n
n
l
n
l
f х
u
f t
u t
х dt
1
1
( )
lim
( )cos
π
∞
→∞
=
−
=
Δ
−
∑ ∫
болатыны шығады. Теңдіктің оң жағындағы қосындының шегі
(
)
du
f t
u t
х dt
0
( )cos
∞
∞
−∞
−
∫ ∫
интегралына тең екендігін дəлелдеуге болады. Онда
(
)
f х
du
f t
u t
х dt
0
1
( )
( )cos
π
∞
∞
−∞
=
−
∫ ∫
түріндегі интегралды екі еселі Фурье интегралы дейді. Ең 
соңында f(x) функциясының
[
]
f х
a и
их
b и
их du
0
( )
( )cos
( )sin
∞
=
+
∫
түріндегі Фурье интегралымен кескінделуін шығарып аламыз, 
мұнда
a и
f t
utdt
b и
f t
иtdt
1
1
( )
( )cos
, ( )
( )sin
.
π
π
∞
∞
−∞
−∞
=
=
∫
∫
18.8. Екі еселі Фурье интегралының комплексті кескіні. 
Фурье түрлендіруі
Екі  еселі  Фурье   интегралының   комплексті  кескіні
( )
iи x t
f х
du
f t e
dt
0
1
( )
( )
2
π
∞
∞
−
−∞
=
∫ ∫
 түріндегідей.

94
3.5-анықтама. Егер f(x) функциясы тұтас сандық осьте абсо-
лютты интегралданатын, үзіліссіз немесе əр кесіндіде шектеулі 
саны бар 1-текті үзіліс нүктелерді иеленсе, онда
iиx
F u
f x e
dx
( )
( )
∞
−
−∞
=
∫
функциясы f(x) функциясының Фурье түрлендіруі деп аталады. 
)
(u
F
 функциясы f(x) функциясының спектрлі сипаттамасы 
деп те аталынады. 
Егер f(x) Фурье интегралымен кескінделетін функция болса, 
онда
iиx
f x
F u e dи
1
( )
( )
2
π
∞
−∞
=
∫
деп жазуға болады. Осы теңдікті кері Фурье түрлендіруі дейді.
F u
f x
uхdх
0
2
( )
( )cos
π
∞
=
∫
 жəне 
F u
f x
uхdх
0
2
( )
( )sin
π
∞
=
∫
интегралдарын сəйкесінше Фурье косинус түрлендіруі жəне 
Фурье синус түрлендіруі дейді. Фурье косинус түрлендіруі 
жұп  функциялар үшін Фурье түрлендіруі болып, Фурье синус 
түрлендіруі  тақ  функциялар үшін Фурье түрлендіруі болып та-
былады.
Фурье түрлендіруі функционалды анализде, гармониялық 
ана лизде, операциялық есептеуде, сызықтық жүйелер теориясын-
да кең қолданыс табады. 
18.9. Мысалдар
1-мысал. 
х
f х
( )
2
π
−
=
 функциясын [0, 2π] кесіндісінде Фурье 
қатарына жіктеу талап етіледі.
Шешімі. Тізбекті түрде
х
а
dх
2
0
0
1
0,
2
2
π
π
π
−
=
=
∫

95
(
)
п
х
пх
а
пхdх
х
пхdх
n
n
2
2
2
0
0
0
1
1
sin
1
cos
sin
0,
2
2
2
2
π
π
π
π
π
π
π
π
−
=
=
−
+
=
∫
∫
(
)
п
х
пх
b
пхdх
х
пхdх
n
n
n
2
2
2
0
0
0
1
1
cos
1
1
sin
cos
2
2
2
2
π
π
π
π
π
π
π
π
−
=
= −
−
−
=
∫
∫
коэффициенттерін анықтаймыз. Сонымен
n
х
пх
x
п
1
sin , 0
2 .
2
π
π
∞
=
− =
< <
∑
                     (3.61)
2-мысал. Алдыңғы мысалда х-ті 2х-ке алмастырып, шыққан 
теңдіктің екі жағын екіге бөлсек
n
х
пх
x
п
1
sin2 , 0
4 2
2
π
π
∞
=
− =
< <
∑
                     (3.62)
жіктемесіне келеміз. 
Енді (3.61) теңдігінен (3.62) теңдігін шегеріп, 
(
)
n
п
х
x
п
1
sin 2
1
, 0
4
2
1
π
π
∞
=
−
=
< <
−
∑
                   (3.63)
теңдігін шығарып аламыз. Дербес жағдайда, 
х
2
π
=
 болуында 
белгілі
1 1 1
1
...
4
3 5 7
π
= − + − +
Лейбниц қатары алынады.
3-мысал. 
х
х
f х
2
( )
4
2
π
=
−
 функциясын қарастырайық та, оны 
[0, π] кесіндісінде косинустар бойынша жіктейік. 
Шешімі. Фурье коэффициенттерін
х
х
а
dх
2
0
0
1
,
4
2
π
π
π
=
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
п
х
х
а
пхdх
2
0
2
cos
4
2
π
π
π
=
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
формулалары бойынша есептеп,

96
 
n
х
х
соsпх
п
2
2
2
1
4
2
6
π
π
∞
=
−
= −
+
∑
теңдігін шығарып аламыз. Дербес жағдайда, 
х
0
=
 болғанда
n
п
2
2
1
1
6
π
∞
=
=
∑
түріндегі əйгілі Эйлер қатары шығады.

97
ІV тарау. 
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: