Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

134
( )
dр
х
р
dx
0
ψ
+ ′
=
⎡
⎤
⎣
⎦
 болатынын шығарып аламыз. Бұдан
dр
dx
0
=
немесе 
( )
х
р
0.
ψ
+ ′
=
                                          (4.81)
dр
dx
0
=
 теңдеуінен 
р
С
=
 болады. (4.80) теңдеуден р-ны  С-мен 
алмастырғанда Клеро теңдеуінің 
( )
y
Сх
С
ψ
=
+
                                  (4.82)
жалпы шешімін аламыз. Бұл шешім геометриялық тұрғыда 
түзулер жиынтығын кескіндейді. (4.81) теңдеуі (4.80) мен бірігіп, 
Клеро теңдеуінің тағы бір шешімін, яғни параметрлік түрдегі
( )
( )
( )
х
р
y
р р
р
,
ψ
ψ
ψ
⎧ = − ′
⎪
⎨
= −
+
′
⎪⎩
шешімін береді. Расында, осы теңдеулерден
( )
( )
( )
( )
( )
dх
р dp
dy
р р
р
р
dp
р рdp
,
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
⎧ = − ′′
⎪
⎨
⎡
⎤
= −
−
+
= −
′′
′
′
′′
⎪
⎣
⎦
⎩
болғанда 
dу
р
dx
=
 болатыны шығады. Осыны Клеро теңдеуіне 
енгізген шақта
( )
( )
( )
( )
р р
р
р р
р
ψ
ψ
ψ
ψ
− ′
+
≡ − ′
+
тепе-теңдігіне келеміз. Жүйенің қос теңдеуіндегі р параметрінен 
құтылып, (4.79) теңдеуінің 
( )
Ф x у
,
0
=
 түріндегі жалпы интегра-
лын шығарып аламыз. Бұл интегралда С  болмайтындықтан, ол 
жалпы интеграл бола алмайды жəне жалпы интегралдан С-ның 
ешбір мəнінде алынуы мүмкін емес, өйткені ол сызықтық емес 
функция. Бұл ерекше интеграл деп аталатын интеграл болады.

135
Мысал. 
y
рх
р
1
=
+
 теңдеуінің (мұнда  у
/ 
= р) жалпы жəне 
ерекше шешімін табу талап етіледі.
Шешімі. Жалпы шешімді, р-ны С-мен алмастырғаннан кейін, 
теңдеуден тікелей табамыз: 
y
Сх
С
1 .
=
+
Ерекше шешімді табу үшін 
( )
р
р
2
1/
ψ
′
= −
 өрнегін тауып ала-
мыз.
х
р
у
р
2
1 ,
2
=
=
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
теңдеулер жүйесі параметрлік түрде кескінделген ерекше шешім 
болып табылады. Теңдеулердегі р  параметрінен құтылайық. 
Ол үшін екінші теңдеудің екі жағын квадраттап, бірінші 
теңдеудің сəйкес жақтарына бөлеміз; сонда 
у
х
2
/
4,
=
 ал бұдан
0
у
х
2
4 .
=
 Геометриялық тұрғыда жалпы шешім 
y
Сх
С
1
=
+
 
теңдеуімен берілген бірпараметрлі түзулер жиынтығын кес-
кіндейтін болса, ерекше интеграл парабола болады (18-сурет). 
Геометриялық тұрғыда ерекше интеграл (парабола), жалпы ше-
шіммен анықталатын интегралдық сызықтардың (түзулердің) 
қор шаушысы болатыны суреттен тікелей байқалып отыр.
Ерекше шешімдердің бар болу мүмкіндігі Коши теорема-
сы шарттарының бұзылуына байланысты. Осы шарттардың 
орындалуы шешімнің бар болуы мен жалғыздығын қамтамасыз 
ететіндігін жақсы білеміз – бірден-бір бастапқы шартты қа-
нағаттандыратын түрлі екі шешімнің бар болуы мүмкін емес. §9-
да бұл шарттардың жекелеген ерекше нүктелерде бұзылатыны 
жете қарастырылған болатын. Əйтсе де жалғыздық шарттары 

136
жекелеген ерекше нүктелерде емес, кейбір сызықтың бойындағы 
барлық нүктелерінде бұзылуы мүмкін жəне мұндай сызықтың өзі 
де теңдеу шешімі болады екен. Осы ерекшелігінен оны ерекше 
шешім дейді.
Сонымен,  дифференциалдық теңдеудің ерекше шешімі 
деп өзінің барлық нүктелерінде Коши мағынасындағы жал-
ғыздық қасиетін қанағаттандырмайтын шешімді айтады, 
атап айтқанда ерекше шешімнің əрбір нүктесінің кез кел-
ген маңайында осы нүкте арқылы өтетін, кем дегенде, екі 
интегралдық сызық болады. Айта кету керек, параметрлік əдісті 
х-ке қатысты сызықтық емес, атап айтқанда Лагранж немесе Кле-
ро теңдеулері болмайтын 
( )
y
х y
,
ψ
=
′
түріндегі жəне сол сияқты өзге де теңдеулерді интегралдағанда 
қолдануға болады. Мұндайда  у
/ 
= р деп ұйғарып, 
( )
y
х р
,
ψ
=
 
теңдеуін шығарып аламыз да, оны х бойынша дифференциалдау 
арқылы
( )
( )
х
р
dp
х р
р
х р
dx
/
/
,
,
0
ψ
ψ
−
+
=
⎡
⎤
⎣
⎦
теңдеуіне келтіреміз. Егер осы теңдеудің 
(
)
Ф x р C
, ,
0
=
 жал-
пы интегралына қол жеткізсек, онда 
( )
y
х р
,
ψ
=
 теңдеуімен 
бірлесе, ол бастапқы теңдеудің параметрлік нұсқада кескіндел-
ген жалпы интегралын береді. Олардағы р  параметрінен 
құтылып, 
(
)
Ф x у C
1
, ,
0
=
 нұсқалы жалпы интегралды шығарып 
аламыз. 
18-сурет                              19-сурет                          20-сурет

137
§14. Жазық сызықтар жиынтығының қоршаушысы
 Анықтама бойынша С  параметріне тəуелді 
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
 
сызықтар жиынтығының қоршаушысы  деп өзінің əрбір 
нүктесінде жиынтықтың сызығымен жанасатын, ал түрлі 
нүктелерінде жиынтықтың түрлі сызықтарымен жанасатын 
сызықты айтады (19-сурет). 
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
 сызықтар жиынтығы 
(
)
F x у y
, ,
0
′ =
 диффе-
ренциалдық теңдеуінің қоршаушыға ие болатын интегралдық 
сызықтар жиынтығы болсын. Егер жиынтық сызықтарының 
бірінде жатқан М(х,у) нүктесін алсақ, онда осы нүктеде х, у жəне 
y
′
 теңдеуді қанағаттандырады. Алайда қоршаушы үшін де М(х,у) 
нүктесіндегі  х, у жəне 
y
′
 мəндері дəл сондай болады. Демек 
қоршаушы да интегралдық сызық болып табылады, оның үстіне 
ол ерекше интегралдық сызық, өйткені қоршаушының əрбір 
нүктесі арқылы бір бағытта қос интегралдық сызық өтеді: біреуі 
- қоршаушының өзі болса, екіншісі - интегралдық сызықтардың 
бірі. Сонымен, қоршаушының əрбір нүктесінде жалғыздық 
бұзылады. Ерекше интегралды жалпы интегралдан шығарып 
алу үшін бірпараметрлік 
(
)
Ф x у C
, ,
0
=
 сызықтар жиынтығының 
қоршаушысын табу ережесін пайдалануға болады. Осы ережеге 
сəйкес жиынтық теңдеуін одан С бойынша дербес дифференци-
алдау арқылы табылған тағы бір теңдеумен жүйеге біріктіреміз: 
(
)
(
)
Ф x у C
Ф x у C
С
, ,
0,
, ,
0
=
∂
=
∂
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
                                (4.83)
Осы теңдеулер жүйесі (шешімнің бар болуында) теңдеудің 
ерекше интегралы болып табылады. Бұл теңдеулер жүйесі ешбір 
қисықты анықтамауы да мүмкін екендігін естен шығармау ке-
рек; онда теңдеу ерекше интегралға ие болмайды. (4.83) жүйесі 
қисықты (дискриминантты қисықты) анықтағанның өзінде ол 
қоршаушы болмай, жиынтық қисықтарының ерекше нүктелері-
нің геометриялық орны болып, сонда да ерекше интеграл болу-
дан қалады. Интегралдық сызық жəне қоршаушының, олардың 
ортақ нүктесіндегі жанамаларының бұрыштық коэффициент-
тері беттесуін тексеру талап етіледі. Тек осы жағдайда ғана 

138
дифференциалдық теңдеудің параметрлік теңдеулері (4.83) жү-
йесімен кескінделген ерекше интегралы болады. Осы жүйедегі 
С параметрінен құтылып, ерекше интегралды 
( )
x у
,
0
ϕ
=
 түрінде 
шығарып аламыз.
Клеро теңдеуіне қатысты осы ереже бойынша
( )
( )
х
С
y
Сх
С
0,
ψ
ψ
+ ′
=
=
+
⎧
⎨
⎩
теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл жүйе жоғарыда шығарылған 
Клеро теңдеуінің ерекше интегралын кескіндейтін параметр-
лік теңдеулерімен  С параметрінің р параметріне алмасуында 
беттеседі.
Шешімі.'>Мысал. 
( ) ( )
y
х y
y
2
2
=
′ + ′
 теңдеуінің ерекше интегралын табу 
талап етіледі.
Шешімі. Теңдеудің жалпы интегралы алдыңғы мысалдардың 
бірінде (Лагранж теңдеуіне келтірілген мысалда) 
(
)
y
х
С
2
1
=
+ −
түрінде табылған. С бойынша дифференциалдап, 
(
)
х
С
2
1
0
−
+ −
=
теңдеуін аламыз. Соңғы екі теңдеудегі С  параметрінен құ-
тылайық. Ол үшін 2-теңдеуден табылған 
С
х
1
=
+
 мəнін 1-тең-
деуге енгіземіз. Сонда 
y
0
=
 болады. 
y
0
=
 функциясы тең деуді 
қанағаттандырады, демек оның ерекше шешімі болады. Кейбір 
жағдайда ерекше интегралды жалпы интегралды білмей-ақ табуға 
болады. Интегралдау барысында кей кезде теңдеудің мəндестігін 
бұзатын амалдар жүргізуге тура келеді (мəселен, айнымалыны 
қамтитын өрнекке бөлу). Мұндай жағдайда ерекше интеграл бо-
латын шешімдердің жоғалып кетпеуін əрдайым қадағалап отыру 
керек.
Мысал. 
( )
(
)
у
у
y
а
а
2
2
2
2
0
+
′ =
≠
 теңдеуінің жалпы жəне ерек-
ше интегралын есептеп табу талап етіледі.
Шешімі. Теңдеуді у
/
-ке қатысты шешіп,

139
а
у
у
у
2
2
−
′ = ±
болатынын шығарып аламыз. Мұның өзінде у-ке бөлгендіктен, 
y
0
=
 функциясы жоғалтып алған шешім болмас па екен, соны 
тексерген жөн. 
y
y
0,
0
=
′ =
 мəндерін теңдеуге қойғанда, 
y
0
=
 
функциясы бастапқы теңдеуді қанағаттандырмайтынын, ал олай 
болса шешімі болмайтынын көрсетеді.
Түрленген теңдеу айнымалылары айырылған теңдеу болып 
табылады. Айнымалыларды айыруды 
а
у
2
2
−
-қа бөліп, ydx-қа 
көбейту арқылы орындап, теңдеуді 
ydy
dx
а
у
2
2
= ±
−
түріне келтіреміз. Бұдан 
(
)
а
у
х
С
2
2
−
= ± +
 жəне жалпы ин
теграл 
(
)
х
С
у
а
2
2
2
+
+
=
 түрінде кескінделеді. Бұл шеңберлер 
жиынтығы. 
а
у
2
2
−
-қа бөлгенде шешімдерді жоғалтып 
алма  дық па, соны тексерейік. Бастапқы теңдеуге 
y
а
= ±
 мен 
y
0
′ =
 мəндерін енгізген күнде, 
y
а
= ±
 функциялары теңдеуді 
қанағаттандыратынын, ал олай болса шешімдері болатынын 
көреміз. Оның үстіне олар ерекше шешімдер, өйткені түзулер 
бола тұра, жалпы интегралды құрайтын шеңберлерге қосыла ал-
майды.
Айта кетер жайт: дəл осы нəтижеге жалпы интегралды С бой-
ынша дифференциалдау арқылы да қол жеткізуге болар еді. Диф-
ференциалдау нəтижесінде 
(
)
х
С
2
0,
+
=
 одан шыққан 
С
х
= −
 
мəнін жалпы интегралға қойып 
y
а
= ±
 шешімдерін шығарып 
аламыз. Осылайша Лагранж теңдеуінің де ерекше интегралы 
болуын оп-оңай тексеруге болады. Айталық, 
( )
р
p
ϕ
−
 айыры-
мы р-ның кейбір 
р
р
0
=
 мəнінде нөлге айналады деп ұйғарайық. 
Онда 
р
р
0
=
 мəні (4.76) теңдеуін қанағаттандырады. 
р
р
0
=
 
мəнін (4.74) Лагранж теңдеуіне енгізіп, оның түзуді кескіндейтін 
( )
( )
y
р х
р
0
0
ϕ
ψ
=
+
 ерекше шешімін шығарып аламыз. 

140
Лагранж теңдеуіне келтірген есепке қайта оралып, ол үшін 
( )
p
р
2
ϕ
=
 болатынын жəне 
р
р
2
0
−
=
 теңдеуі 
р
р
1
2
0,
1
=
=
 
түбірлерін беретінін байқаймыз. Бірінші шешім 
у
0
=
 ерекше 
шешімге келтіретін болса, екіншісі 
у
х
1
= +
 шешіміне келтіреді. 
Бұл дербес шешім, өйткені ол 
(
)
y
х
С
2
1
=
+ −
 жалпы шешімінен 
С = 0 болғанда алынады.
§15. Изогональ траекториялар жөніндегі есеп
Туындысына қатысты шешілмеген теңдеулерге көбінесе 
геометриялық есептер келтіреді. Ондай есепке, мəселен, изо-
гональ траекториялар жөніндегі есепті жатқызуға болады. Егер 
бірпараметрлі қисықтар жиынтығы
(
)
F x у а
, ,
0
=
                                   (4.84)
теңдеуімен берілсе (мұнда а – параметр), онда оның изогональ 
траекториялары деп (4.84) жиынтығының қисықтарын бірден-
бір j бұрышымен қиятын екінші қисықтар жиынтығын айтады. 
Дербес жағдайда j = p/2 болса, онда траекториялар ортогоналды 
деп аталады. 
Берілген (4.84) қисықтар жиынтығының дифференциалдық 
теңдеуін құрайық. Ол үшін (4.84) теңдеуін х бойынша дифферен-
циалдаймыз: 
F
F
y
x
y
0
∂
∂
+
⋅ ′ =
∂
∂
                                 (4.85)
(4.84) жəне (4.85) теңдеулеріндегі а  параметрінен құтылайық. 
Осының нəтижесінде (4.84) қисықтар жиынтығының диффе-
ренциалдық теңдеуі 
( )
y
f x у
,
′ =
                                   (4.86)
түріне келеді деп ұйғарайық. Екі қисық арасындағы бұрыш деп 
олардың қиылысу нүктесіндегі сол қисықтарға жүргізілген жа-
намалар арасындағы бұрышты айтатынымыз белгілі (20-сурет). 
Егер a  арқылы Ох осімен (4.84) қисықтар жиынтығына тиіс L
1
 

141
қисығының  М  нүктесіндегі жанамасы арасындағы бұрышын 
белгілеп,  b  арқылы  Ох  осімен (4.84) ізделінді жиынтыққа тиіс 
L
2
 қисығының сол нүктедегі жанамасы арасындағы бұрышты 
белгілесек, онда j = ± (b -a)   немесе b  = a ± j  болады. Бұдан 
tg
tg
tg
tg tg
.
1
α
ϕ
β
α ϕ
±
=
∓
tg
ϕ
 берілген шама, оны k арқылы белгілейік; ал 
( )
tg
у
f x у
, ;
α
= ′ =
 
сондықтан
( )
( )
f x у
k
tg
kf x у
,
1
,
β
±
=
∓
Осымен изогональ траекторияға тиіс кез келген нүкте коор-
динаталарын сол нүктедегі жанаманың бұрыштық коэффициенті-
мен байланыстыратын қатынасты, атaп айтқанда, траекториялар 
жиынтығының дифференциалдық теңдеуін шығарып отырмыз. 
tg
β
-ны 
y
′
 арқылы белгілейік, сонда
( )
( )
f x у
k
у
kf x у
,
1
,
±
′ =
∓
                                (4.87)
Осы дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы (4.84) 
жиынтығы қисықтары үшін анықталған изогональ траекто-
рия  ларының теңдеуі болып табылады; олар (4.84) қисықтарын 
бірден-бір j  бұрыш жасап қияды. Егер траекториялар ортогональ 
болса, онда 
j = p/2 , b  = a ± p/2, 
( )
tg
сtg
tg
f x у
1
1
,
β
α
α
= −
= −
= −
жəне ортогональ траекториялар жиынтығының дифференциал-
дық теңдеуі  
( )
у
f x у
1
,
′ = −
 немесе 
( )
f x у
у
1
,
−
=
′
               (4.88)
Осыдан туындайтын ереже: (4.84) қисықтар жиынтығы үшін 
анықталатын изогональ траекториялары жиынтығының диф фе-

142
ренциалдық теңдеуін табу үшін, осы жиынтықтың (4.86) диф -
ференциалдық теңдеуінде 
y
′
-ті 
у
k
kу
1
′
± ′
∓
 шамасына алмастыру 
керек, мұндағы k - қисықтар жəне оларды қиятын траекториялар 
арасындағы бұрыш тангенсі. Дербес жағдайда, ортогональ траек-
ториялар үшін 
y
′
-ті 
у
1
−
′
 шамасына алмастыру керек. 
§16.  Жоғары ретті теңдеулер
Дəрежесі бірден жоғары барлық дифференциалдық теңдеу-
лерді жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер дейді. п-ретті 
теңдеу міндетті түрде енген y
(n)
 туындысымен бірге төменгі ретті 
туындыларды қамтуы мүмкін, демек мұндай теңдеудің жалпы 
түрі
F(x, y, y
/
, y
//
,…, y
(n)
) = 0,                          (4.89)
немесе мүмкіндігінше  жоғары туындысына қатысты шешілген-
дегі түрі.
y
(n)
 = f(x, y, y
/
, y
//
,…,yy
(n-1)
).                         (4.90)
Бірінші ретті теңдеудегідей, жалпы шешім еркін тұрақтыларға 
тəуелді болады. Сондықтан жалпы шешімнен дербес шешімді 
бөліп алу үшін, дифференциалдық теңдеумен бірге, еркін 
тұрақтыларды анықтауға мүмкіндік беретін қосымша шарт-
тар берілуі қажет. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу үшін 
мұндай қосымша шарт 
х х
у
у
0
0
=
=
 мəнінің берілуі, атaп айтқанда 
интегралдық сызық өтетін нүкте координаталарының берілуі бо-
лып табылады. Жоғары ретті теңдеулер үшін мұндай шарттарды 
түрлі тəсілдермен беруге болады. Мəселен, екінші ретті теңдеу 
үшін жалпы шешім екі еркін тұрақтыға тəуелді. Оларды табу үшін 
екі шарт берілгені жеткілікті. Олар ізделінді функция мəндерін 
екі нүктеде беру арқылы немесе бір нүктеде есептелген функция 
жəне оның туындысының мəндері арқылы табылады.
Екінші тəсіл механиканың есептері келтіретін дифферен-
циалдық теңдеулерді шешуде кең тараған. Расында, егер меха-

143
ника ұғымдарын пайдаланса, нүктенің бастапқы орны (функция 
мəні) жəне оның бастапқы жылдамдығы (бірінші ретті туынды) 
берілуінде қозғалу заңын анықтау жөнінде сөз етіледі. Сондықтан 
функция жəне оның бірінші туындысының кейбір нүктесіндегі 
мəндері бойынша, жалпы шешімнен дербес шешімді бөліп алу 
есебін бастапқы шарттары бар есеп дейді. 
п-ретті теңдеу үшін бастапқы шарттар ретінде кейбір нүктеде 
функцияның жəне оның бірінші ретті туындысынан бастап (п - 
1)-ші туындысын қоса есептегендегі барлық туындыларының 
мəндері, атaп айтқанда, x=x
0
 болғанда
у
у
0
,
=
у
у
0
,
′ = ′
                                       (4.91)
( )
( )
п
п
у
у
1
1
0
−
−
=
мəндері беріледі. (4.91) сандар жүйесін бастапқы шарттар 
жүйесі дейді. (4.91) бастапқы шарттарын қанағаттандыратын 
берілген (4.90) дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін 
табу есебін Коши  есебі дейді. Шешімнің бар болуы жəне жал-
ғыздығы жөніндегі теореманы бірінші болып Коши дəлелдеп, 
төмендегідей тұжырымдама жасады. 
Теорема  4.1.  (4.90) дифференциалдық теңдеуі мен (4.91) 
бастапқы шарттар жүйесі берілсін. Егер f(x, y, y
/
, y
//
,…, 
y
(n-1)
 функциясы бастапқы шарттар  маңайында үзіліссіз бо-
лып,  y, y
/
, y
//
,…, y
)
1
( −
n
 аргументтері бойынша үзіліссіз дербес 
туындыларға ие болса, онда, х
0 
-ді қамтитын кейбір интервалда 
анықталған əрі үзіліссіз жəне берілген бастапқы шарттар жүйесін 
қанағаттандыратын шешім жалғыз  болады. 
4.1-анықтама. (4.89) дифференциалдық теңдеудің жал-
пы шешімі деп осы теңдеу ретіне тең саны бар с
1
,  c
2
, …, 
c
n
 тұрақтыларын қамтитын жəне төмендегідей шарттарды 
қанағаттандыратын 
(
)
п
y
x c c c
c
1
2
3
, , , ,...,
ϕ
=
 функциясын айтады. 
Ол шарттар: 
1. 
(
)
п
y
x c c c
c
1
2
3
, , , ,...,
ϕ
=
 функциясы 
п
c c c
c
1
2
3
, , ,...,
 тұрақты ла-
рының кез келген мəнінде (4.89) дифференциалдық теңдеуінің 
шешімі болады; 

144
2. Дифференциалдық теңдеудің шешімін болдыратын кез келген 
( )
п
х у у
у
1
/
0
0
0
0
, , ,...,
−
  бастапқы  мəндері  үшін  
(
)
п
x c c
c
у
0
1
2
0
, , ,...,
,
ϕ
=
  
(
)
п
x c c
c
у
0
1
2
0
, , ,...,
,
ϕ
=
′
′
 
(
)
п
x c c
c
у
0
1
2
0
, , ,...,
,
ϕ
=
′′
′′
 ... ,
 
( )
(
)
( )
п
п
п
x c c
c
у
1
1
0
1
2
0
, , ,...,
ϕ
−
−
=
 бастапқы шарттары орындала тын-
дай 
п
п
c
c c
c c
c
c
c
1
1
2
2
3
3
,
,
,...,
=
=
=
=
 тұрақтылары табылады.
Айқындалмаған түрде берілген теңдеу шешімін оның жалпы 
интегралы дейді. Егер (4.89) дифференциалдық теңдеудің жал-
пы шешімін кескіндейтін 
(
)
п
y
x c c c
c
1
2
3
, , , ,...,
ϕ
=
 функциясындағы 
п
c c c
c
1
2
3
, , ,...,
 тұрақтыларының орнына сандық мəндер қоятын 
болсақ, ондай (4.89) теңдеуінің шешімдерін теңдеудің дербес 
шешімдері деп айтады. 
Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдау 
есебі бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдау 
есебіне қарағанда анағұрлым күрделі жəне көптеген жағдайда 
ондай теңдеуге келтіріле бермейді. Сонда да 13 - 19 пара-
графтар аралығында қарастырылатын сызықтық теңдеулерді 
есепке алмағанда, жоғары ретті теңдеулердің өзге түрлерін 
интегралдаудың негізгі əдісі болып теңдеу ретін төмендету 
əдісі, атап айтқанда, айнымалыларды ауыстыру арқасында 
берілген теңдеуді реті төмен теңдеуге келтіру əдісі табылады. 
Теңдеу ретін төмендету тіпті ақырлы түрде интегралданбайтын 
бірінші ретті теңдеуге келтіретін жағдайда немесе реті бірден 
жоғары теңдеуге келтіретін жағдайда да тиімді. Алайда теңдеу 
ретін төмендету қашан да жүзеге аса бермейді. Төменде ретін 
төмендетуді мүмкін ететін кейбір теңдеу түрлері қарастырылады.

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: