Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

174
Алайда  тұрақты коэффициенттері жəне арнайы оң жағы 
бар п-ретті СБЕД теңдеу үшін у
* 
дербес шешімін анықталмаған 
коэффициенттер əдісі бойынша табуға болады. Тұрақты Pi 
коэффициенттері жəне арнайы оң жағы бар 
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
у
р у
р у
р
y
р y
f x
1
2
1
2
1
...
−
−
−
+
+
+ +
′ +
=
теңдеуінің  у
* 
дербес шешімін таңдау əдісі, 23 параграфта п  = 2 
жағдайына көрсетілгендей, теңдеу реті п > 2 болғанда да өзгеріссіз 
қала береді.
Мысал. 
IV
у
y
x
2
− ′ =
 теңдеуін шешу керек.  
Шешімі. 
у
 -ті табамыз: 
(
)
(
)
k
k
k k
k
k
4
2
1
1
0,
− =
−
+ + =
k
k
k
i
1
2
3,4
1
3
0,
1,
;
2
2
=
=
= − ±
x
x
у
С
С e
e
С
x
С
x
1
2
1
2
3
4
3
3
cos
sin
.
2
2
−
=
+
+
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Енді у
*
 -ті табамыз: 
( )
x
f х
x
e
0
2 (
⋅
=
=
( )
(
)
(
)
P x
r
y
x Ax
B
Ax
Bx
*
2
1
),
1,
⋅
=
=
+
=
+
Осыдан 
( )
( )
( )
( )
IV
у
Ах
В
у
А
у
у
///
*
*
*
*
2
,
2 ,
0,
0
′
″
=
+
=
=
=
Сонда 
(
)
Ах
В
x
2
2 .
−
+
=
 Бұдан 
А
В
1,
0.
= −
=
 Демек 
у
x
*
2
= −
,
ал у жалпы шешімі 
x
x
у
у
у
С
С e
e
С
x
С
x
x
1
*
2
2
1
2
3
4
3
3
cos
sin
2
2
−
= +
=
+
+
+
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
түрінде жазылады.

175
§25. Дифференциалдық теңдеулер жүйелері. 
Негізгі ұғымдар
Математика, физика, техниканың (қисықсызықты қозғалу 
динамикасының есептері, бірнеше электр тізбегіне құрылған 
электротехниканың есептері, тізбекті түрде бірнеше бірінші ретті 
химиялық реакциялар жүргізілетін жүйенің құрамын анықтау, 
өрістің векторлық сызықтарын іздестіру) есептері бір емес, 
бірнеше функциялардың берілуін талап етеді. Осы функциялар-
ды іздестіріп табу жүйе құрайтын бірнеше дифференциалдық 
теңдеуге əкелуі мүмкін. Дифференциалдық  теңдеулер жүйесі 
деп əр теңдеуі тəуелсіз айнымалыны, ізделінді функциялар жəне 
олардың x бойынша алынған түрлі ретті туындыларын қамтитын 
дифференциалдық теңдеулер жиынтығын айтады.
Құрамында п ізделінді y
1
, y
2
, ..., y
n
 функциялары бар бірінші 
ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы түрі
(
)
(
)
п
п
n
п
п
F x у у
у у у
у
F x у у
у у у
у
1
1
2
1
2
1
2
1
2
, , ,..., ; , ,...,
0,
.................................................,
, , ,..., ; , ,...,
0.
′ ′
′ =
′ ′
′ =
Туындыға қатысты шешілген бірінші ретті дифференциалдық 
теңдеулер жүйесі, атап айтқанда
(
)
(
)
(
)
п
п
n
n
п
dу
f x у у
у
dx
dу
f
x у у
у
dx
dу
f
x у у
у
dx
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
, , ,...,
,
, , ,...,
,
.........................................
, , ,...,
=
=
=
⎧
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
                      (4.127)
түріндегі жүйені нормаль теңдеулер жүйесі дейді. Мұның өзінде 
теңдеу саны ізделінді функциялар санына тең болуы ұйғары лады.
Ескерту. Көптеген жағдайда теңдеулер жүйелері мен жоғары 
ретті теңдеулерді (4.127) түріндегі нормаль жүйеге келтіруге бо-
лады. 

176
Осылайша, кеңістіктегі нүктенің қозғалуын сипаттайтын екін-
ші ретті
(
)
(
)
(
)
d х
F x у z t x у z
dt
d y
F x у z t x у z
dt
d z
F x у z t x у z
dt
2
1
2
2
2
2
2
3
2
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , ,
=
′ ′ ′
=
′ ′ ′
=
′ ′ ′
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
теңдеулер жүйесі 
dх
dy
dz
и
v
w
dt
dt
dt
,
,
=
=
=
 жаңа айнымалыларын 
енгізу арқылы
(
)
(
)
(
)
dх
и
dt
dy
v
dt
dz
w
dt
du
F x у z t u v w
dt
dv
F x у z t u v w
dt
dw
F x у z t u v w
dt
1
2
3
,
,
,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , ,
=
=
=
=
=
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
түріндегі нормаль дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтірі-
леді. Үшінші ретті 
(
)
у
f x у у y
, , ,
′′′ =
′ ′′
 теңдеуі 
у
р y
р
q
,
′ =
′′ = ′ =
 
ауысымы арқасында
(
)
у
р
р
q
q
f x у p q
,
,
, , ,
′ =
′ =
′ =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
нормаль теңдеулер жүйесіне айналады. Жоғарыда айтылғаннан 

177
жүйелердің ішінде нормаль жүйелерді оқып-зерттеген тиімді 
екені туындайды. (4.127) жүйесінің шешімі деп осы жүйенің əр 
теңдеуін қанағаттандыратын 
у
1
, 
у
2
, ..., 
п
у
  функциялар жиын-
тығын айтады. (4.127) жүйесінің бастапқы шарттары 
( )
( )
( )
п
п
у х
у
у
х
у
у
х
у
0
0
0
1
0
1
2
0
2
0
,
, ...,
=
=
=
       (4.128)
түрінде жазылады. (4.127) жүйесіне қойылған Коши есебі тө-
мендегідей тұжырымдалады: (4.128) бастапқы шарттарын қана-
ғаттандыратын (4.127) жүйесінің шешімін анықтау талап етіледі.  
Коши есебі шешімінің бар болуы мен жалғыздығы шарттарын 
дəлелдеусіз келтірілетін келесі теорема сипаттайды.
Теорема 4.9. (Коши). Егер (4.127) жүйесіндегі барлық 
(
)
i
п
f x у у
у
1
2
, , , ...,
  функциялары өздерінің y
i
 бойынша алынған 
дербес туындыларымен бірге (п  + 1) өлшемді кеңістігінің 
кейбір  D  облысында үзіліссіз болса, онда осы облыстың əрбір 
(
)
п
М
х у у
у
0
0
0
0
0
1
2
, , , ...,
 нүктесінде (4.128) бастапқы шарттарын 
қанағаттандыратын, жүйенің жалғыз 
( )
x
y
ϕ
=
( )
( )
( )
п
п
у
x
у
x
у
x
1
1
2
2
,
, ...,
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
шешімі болады. 
D облысында M
0
 нүктесін (атап айтқанда, бастапқы шарттар-
ды) өзгерте отырып, п еркін тұрақтыларға тəуелді 
(
)
(
)
п
п
п
п
у
x С С
С
у
x С С
С
1
1
1
2
1
2
, , , ...,
,... ,
, , , ...,
ϕ
ϕ
=
=
     (4.129)
шешімі түрінде жазылған шексіз шешімдер жиынтығын шығарып 
аламыз. Егер (4.128) бастапқы шарттары бойынша 
(
)
(
)
(
)
п
п
п
п
п
x С С
С
у
x С С
С
у
x С С
С
у
0
1
1
2
1
0
2
1
2
2
0
1
2
, , , ...,
,
, , , ...,
,
......................................
, , , ...,
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
 
теңдеулер жүйесінен 
п
С С
С
1
2
, , ...,
 тұрақтылары анықталатын 
болса, онда (4.129) түріндегі шешімді жүйенің жалпы шешімі 
дейді. 
12–454

178
§26. Нормаль жүйелерді интегралдау
Дифференциалдық теңдеулердің нормаль жүйесін интеграл-
даудың негізгі əдістерінің бірі жүйені жоғары реті бар бір диф-
ференциалдық теңдеуге келтіру əдісі болып табылады. (Диф-
ференциалдық теңдеуден жүйеге көшу кері есебі жоғарыда 
мысал ретінде қарастырылған). Осы əдістің жүзеге асырылуын 
көрсетейік. (4.127) нормаль жүйесі берілсін. х бойынша кез кел-
ген, мəселен, бірінші теңдеуді дифференциалдаймыз: 
п
п
d y
f
f dу
f dу
f dу
dх
х
y dx
y dx
y dx
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
...
∂
∂
∂
∂
=
+
+
+ +
∂
∂
∂
∂
Осы теңдікке (4.127) жүйесінен алынған 
п
dу dу
dу
dx
dx
dx
1
2
,
, ...,
туындыларының мəндерін енгізіп, 
п
п
d y
f
f
f
f
f
f
f
dх
х
y
y
y
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
...
∂
∂
∂
∂
=
+
+
+ +
∂
∂
∂
∂
немесе қысқаша 
(
)
п
d y
F x у у
у
dх
2
1
2
1
2
2
, , , ...,
=
болуын табамыз. Осы шыққан теңдікті тағы бір дифференциалдап 
жəне 
п
dу dу
dу
dx
dx
dx
1
2
,
, ...,
 туындыларын,  олардың  (4.127)  теңдеуден 
алынған мəндерімен алмастырсақ 
(
)
п
d y
F x у у
у
dх
3
1
3
1
2
3
, , , ...,
=
теңдігі шығады. 
Осы процесті жалғастыра келе (дифференциалдау – енгізу - 
шығарып алу), нəтижесінде 

179
(
)
п
п
п
п
d y
F x у у
у
dх
1
1
2
, , , ...,
=
теңдеуіне келеміз. Осы теңдеулерді 
(
)
(
)
(
)
(
)
п
п
п
п
п
п
п
dу
f x у у
у
dx
d y
F x у у
у
dх
d y
F x у у
у
dх
d y
F x у у
у
dх
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
3
1
3
1
2
3
1
1
2
, , ,...,
,
, , , ...,
,
, , , ...,
,
..........................................
, , , ...,
=
=
=
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
                     (4.130)
жүйесіне біріктіреміз. (4.130) жүйесінің алғашқы п – 1 теңдеуінен 
у
2
, 
у
3
, ... , 
п
у
 функцияларын 
х у
1
,
 функциясы жəне оның 
у
1
′
, 
у
1
′′
, 
..., 
( )
п
у
1
1
−
 туындылары арқылы өрнектейік. Сонда 
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
п
п
п
n
n
у
 
x ,у у   ,у
 ...,  у
у
 
x ,у у   ,у
 ...,  у
у
 
x ,у у   ,у
 ...,  у
1
/
//
2
2
1
1
1
1
1
/
//
3
3
1
1
1
1
1
/
//
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
......................................................
,
,
ψ
ψ
ψ
−
−
−
=
=
=
                (4.131)
болатыны шығады. Табылған 
у
2
, 
у
3
, ... , 
п
у
 мəндерін (4.130) 
жүйесінің соңғы теңдеуіне енгіземіз. Онда ізделінді y
1
 функция-
сына қатысты п-ретті жалғыз 
( )
(
)
п
п
п
d y
Ф x ,у у , у
 ...,  у
dх
1
/
//
1
1
1
1
1
,
,
−
=
 
дифференциалдық теңдеуі шығады. Оның жалпы шешімі 
(
)
п
у
x С С
С
1
1
1
2
, , , ...,
ϕ
=
 болсын. Оны (п–1) рет дифференциал-
дап жəне 
( )
п
у   ,у
 ...,  у
1
/
//
1
1
1
,
−
 туындыларының мəндерін (4.131) 
жүйесінің теңдеулеріне енгізгеннен соң, 
у
2
, 
у
3
, ... , 
п
у
 функция-
ларын табамыз: 

180
(
)
(
)
п
п
п
п
у
x С С
С
у
x С С
С
2
2
1
2
1
2
, , , ...,
, ...,
, , , ...,
ϕ
ϕ
=
=
1-мысал. 
dу
y
z
dx
dz
y
z
dx
4
3 ,
2
3
=
−
=
−
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
 теңдеулер жүйесін шешу керек.  
Шешімі. 
Бірінші теңдеуді дифференциалдаймыз: 
y
y
z
4
3 .
′′ =
′ − ′
 Енді 
z
y
z
2
3
′ =
−
 мəнін алдында шыққан теңдікке 
енгіземіз: 
(
)
y
y
y
z
y
y
y
z
4
3 2
3
4
6
9 .
′′ =
′ −
−
⇒ ′′ −
′ +
=
Одан соң 
y
y
z
y
y
y
z
4
3 ,
4
6
9
′ =
−
′′ −
′ +
=
⎧
⎨
⎩
жүйесін құрамыз. Жүйенің бірінші теңдеуінен z-ті  y жəне 
y
′
 
арқылы өрнектейміз:
y
y
z
4
3
− ′
=
.                                 (4.132)
Осы мəнді соңғы жүйенің екінші теңдеуіне енгіземіз:
(
)
y
y
y
y
y
9 4
4
6
3
− ′
′′ −
′ +
=
атап айтқанда, екінші ретті 
y
y
y
6
0
′′ − ′ −
=
 сызықтық біртектес 
дифференциалдық теңдеуі шығып отыр. Оны шешкен күнде 
k
k
2
6 0,
− − =
 
k
k
1
2
2,
3
= −
=
 жəне теңдеудің жалпы шешімі 
x
x
у
С e
С e
2
3
1
2
−
=
+
 түрінде табылады. z  функциясын табайық. y 
жəне 
(
)
x
x
x
x
у
С e
С e
С e
С e
2
3
2
3
1
2
1
2
2
3
−
−
′
′ =
+
= −
+
мəндерін, y жəне 
y
′
 арқылы өрнектелген z-ті анықтайтын (4.132) 
формуласына енгіземіз. Сонда 

181
x
x
z
С e
С e
2
3
1
2
1
2
.
3
−
=
+
Сонымен,   берілген   теңдеулер    жүйесінің    жалпы   шешімі 
x
x
у
С e
С e
2
3
1
2
−
=
+
,  
x
x
z
С e
С e
2
3
1
2
1
2
.
3
−
=
+
түрінде табылады.
Ескерту. Кейбір жағдайда (4.127) теңдеулер жүйесін өзге ин-
тегралданатын комбинациялар əдісі деп аталатын əдіспен де 
шығаруға болады. Əдістің мəн-мағынасы арифметикалық амал-
дар арқылы берілген жүйе теңдеулерінен интегралданатын ком-
бинациялар, атап айтқанда, жаңа белгісіз функцияға қатысты қа-
рапайым интегралданатын теңдеулер құрылуында жатыр.
Осы əдістің іс жүзінде орындалуын көрсетейік.
2-мысал. 
dx
y
dt
dy
x
dt
1,
1
= +
= +
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
 теңдеулер жүйесін шешу талап етіледі.
Шешімі.  Берілген теңдеулерді мүшелеп қосайық: 
х
у
х
y
2,
′ + ′ = + +
 немесе 
(
) (
)
х
y
х
y
х
y
z
2.
′
+
=
+
+
+ =
 
белгілеуін енгізген күнде 
z
z
2
′ = +
 теңдеуіне келеміз. Оны 
шешейік, сонда 
(
)
t
t
dz
z
dt
z
C
t
e
z
C e
z
C
1
1
1
2
; ln
2 ln
,
,
2
2
+
=
+ −
= ⇒
=
+ =
+
немесе 
t
x
y
C e
1
2.
+ =
−
Осы шыққан өрнекті жүйенің бірінші интегралы дейді. Одан 
ізделінді функциялардың біреуін екіншісі арқылы өрнектеуге, де-
мек ізделінді функциялар санын бірге кемітуге болады. Мəселен, 
t
y
C e
x
1
2
.
=
− −
 Онда жүйенің бірінші теңдеуі 
t
х
C e
x
1
2
1,
′ =
− − +
 атап айтқанда 
t
х
х
C e
1
1
′ + =
−

182
түріне келеді. Одан (мəселен, 
x
uv
=
 ауыстырмасы көмегімен) 
х-ті тапсақ, у-те табылады.
Ескерту.  Берілген жүйе тағы бір 
х
у
у
х
,
′ − ′ = −
 атап 
айтқанда 
(
)
(
)
х
y
х
y
′
−
= − −
 интегралданатын комбинация құруға 
мүмкіндік береді. 
x
y
р
− =
 деп ұйғарсақ, 
р
р
′ = −
 немесе 
t
dр
dt
р
C
t р
C e
р
2
2
, ln
ln
,
−
= −
−
= −
=
 
немесе 
t
х
у
C e
2
.
−
− =
Жүйенің қос 
t
x
y
C e
1
2
+ =
−
 жəне 
t
х
у
C e
2
−
− =
 түріндегі 
бірінші интегралдарына ие болып, оларды қосу немесе азайту 
арқылы оп-оңай х пен у-ті табамыз:

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: