§2. Жинақталатын қатардың негізгі қасиеттері

54
Бұл теореманың дəлелдемесі тікелей 
N
N
n
n
n
n
ba
b
a
1
1
=
=
=
∑
∑
 теңдігінде 
N
→ ∞
 ұмтылуында шекке көшкеннен шығады.
3.2-анықтама: 
n
n
a
1
∞
=
∑
 жəне 
n
n
b
1
∞
=
∑
 қатарларының қосындысы 
(айырымы) деп 
(
)
n
n
n
a
b
1
∞
=
±
∑
 түріндегі қатарды айтамыз.
Теорема 3.2. Жинақталатын екі қатардың қосындысы (айы-
рымы) жинақталған қатар болады; сонымен бірге 
(
)
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
1
1
1
∞
∞
∞
=
=
=
±
=
±
∑
∑
∑
.                              (3.7)
Шынында, кез келген соңғы N үшін 
(
)
N
N
N
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
1
1
1
=
=
=
±
=
±
∑
∑
∑
 
болғандықтан, 
N
→ ∞
 ұмтылуында, шегінде (3.7) теңдігіне 
келеміз.
3.3-анықтама. Берілген 
n
n
a
1
∞
=
∑
 қатарының алдыңғы m 
мү шесін алып тастағаннан шығатын 
т
т
т k
n
n т
a
a
a
a
1
2
1
...
...
∞
+
+
+
= +
+
+ +
+ =
∑
                  (3.8)
қатары 
n
n
a
1
∞
=
∑
 қатарының m-ші қалдығы деп аталады. 
Теорема 3.3. Егер (3.1) қатары жинақты болса, онда 
оның  (3.7) қалдықтарының кез келгені жинақты болады жəне 
керісінше  (3.7) қалдығының жинақтылығынан бастапқы (3.1) 
қатарының да жинақтылығы туындайды. Басқаша айтқанда, 
қатардың бастапқы бірнеше мүшесін алып тастағаннан не оның 
алдыңғы жағына бірнеше мүше қосып жазғаннан ол қатардың 
жинақталу немесе жинақталмаушылық қасиеттері өзгермейді.
Теорема 3.4. Егер (3.1) қатары жинақталса, онда 
m
→ ∞
, 
оның (3.8) қалдығы нөлге ұмтылады.
Дəлелдеме: Қатар жинақталатын болғандықтан, 
m
m
S
S
r
=
+
 тең дігі орындалады. (Мұндағы 
m
m
m
r
a
a
1
2
...
+
+
=
+
+
) 
жəне 
n
n
S
S
lim
→∞
=
 болатыны айқын. Олай болса 

55
(
)
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
S
r
S
r
S
r
S
r
lim
lim
lim
lim
lim
0
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
+
=
+
= +
= ⇒
=
.
Теорема 3.5. (Қатар жинақтылығының қажетті шар-
ты). Егер (3.1) қатары жинақталса, онда 
n
→ ∞
, оның жалпы 
мүшесі 
n
a
→ ∞
. Атап айтқанда 
n
n
a
lim
0
→∞
=
.                                                 (3.9)
Дəлелдеме: Қатар жинақталатын болғандықтан, 
n
n
S
S
lim
→∞
=
 
жəне 
n
n
S
S
1
lim
−
→∞
=
 болатыны айқын. Осы қатардың екі ішінара 
қосындысын құрайық:
n
n
n
S
a
a
a
a
a
1
1
2
3
2
1
...
,
−
−
−
= + + + +
+
 
n
n
n
S
a
a
a
a
a
1
2
3
1
...
−
= + + + +
+
.
Сонда 
n
n
n
a
S
S
1
−
=
−
. Енді осы теңдікте шекке көшкеннен
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
S
S
S
S
1
1
lim
lim
lim
lim
0.
−
−
→∞
→∞
→∞
→∞
=
−
=
−
= − =
Демек 
n
n
a
lim
0.
→∞
=
 Теорема дəлелденді.
Айта кететін жайт - (3.9) теңдігі қатар жинақтылығының 
қажетті шарты ғана болып келеді. Мүмкін (3.9) теңдігі 
жинақтылық үшін жеткілікті де болар? Осы сұраққа жауап беру 
үшін
n
n
n
1
1
1
1
1
1
...
...
2
3
∞
=
= +
+
+ +
+
∑
                  (3.10)
қатарын қарастырайық. (3.9) теңдігі бұл қатар үшін орындалады, 
өйткені 
n
n
n
a
n
1
lim
lim
0
→∞
→∞
=
=
.
Енді оның n-ші ішінара қосындысын бағалайық:
n
S
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
...
...
,
2
= +
+ +
>
+
+ +
= ⋅
=
∀
.
Бұл жерде əрбір мүшені одан артпайтын  
n
1
 санымен ауыс-
тырдық. Сонымен, кез келген n үшін 
n
S
n
>
  теңсіздігі шығып 

56
отыр. 
n
→ ∞
 болғанда, теңсіздіктің оң жағы 
∞ −
ке ұмтылады, 
демек, 
n
S
→ ∞
. Олай болса (3.10) қатары жинақталмаған. Бұл 
мысал (3.9) теңдігі қатардың жинақтылығы үшін қажетті шарт 
қана, бірақ жеткілікті емес екендігін көрсетеді. 
§3. Оң мүшелі қатарлар
Əрбір мүшесі теріс болмайтын 
n
n
n
a
a
a
a
a
1
2
3
1
...
...
∞
=
+ + + + + =
∑
                            (3.11)
қатары  оң мүшелі қатар делінеді. Берілген (3.11) қатарының 
мүшелерін оң деп алып, оның ішінара қосындыларының 
{ }
n
S
 
тізбегін қарастырайық: 
S
a
1
1
,
=
S
a
a
2
1
2
,
= +
 
S
a
a
a
3
1
2
3
,...,
= + +
 
n
n
S
a
a
a
1
2
...
,..,
= + + +
.
Сонда 
n
n
n
n
S
S
a
S
1
1
+
+
=
+
≥
 болатыны айқын. Демек (3.11) 
қатарының ішінара қосындыларының 
{ }
n
S
 тізбегі өспелі айны-
малы болады. Монотонды айнымалының шегі туралы теоремаға 
сүйенсек, біз бірден қатарлар теорияcындағы мына негізгі 
теоремаға келеміз:
Теорема 3.6. Оң қатар жинақты болу үшін оның ішінара қо сын-
дылар тізбегі жоғарыдан шектелген болуы қажет жəне жет кілікті. 
Егер оң қатары жинақты болса, онда барлық n үшін 
n
S
S
<
                                         (3.12)
теңсіздігі орындалатыны айқын. Бұл теорема - қатардың жинақты 
болуының қажетті жəне жеткілікті шарты. Сонымен бірге, бұл 
теореманы іс жүзінде қолдану өте қолайсыз. Өйткені ішінара 
қосындылар тізбегінің жоғарыдан шектелгендігін көрсету көп 
жағдайларда мүмкін емес. 
Сондықтан, əрі қарай мүшелері оң қатарлардың қандай жағ-
дайда жинақты жəне қандай жағдайда жинақсыз болатындығын 
көрсететін жеткілікті белгілерді баяндаймыз. 
§4. Қатарларды салыстыру белгілері
Көптеген жағдайда қандай да бір оң қатардың жинақты-
жинақсыз екендігін анықтау үшін берілген қатармен салысты-

57
ратын жəне жинақтылығы (немесе жинақсыздығы) күні-бұрын 
белгілі тағы бір қатар болуы керек. 
Теорема 3.7. Оң мүшелі 
n
n
а
1
∞
=
∑
                                                  (3.13)
жəне 
n
n
b
1
∞
=
∑
                                                 (3.14)
қатарларының мүшелері белгілі бір n > N-нен бастап a
n 
≤ b
n
 шар-
тын қанағаттандырса, (3.13) қатарының жинақты болмауынан 
(3.14) қатарының жинақталмайтындығы немесе (3.14) қатарының 
жинақты болуынан (3.13) қатарының жинақталмағандығы 
шығады.
Теорема 3.8. Оң мүшелі (3.13) жəне (3.14) қатарларының a
n 
жəне b
n
 жалпы мүшелері үшін 
n
n
n
a
с
b
lim
0
→∞
≠
=
 немесе 
n
n
n
a
k
b
lim
0
→∞
≠
=
  
ақырлы шектері бар болса, онда (3.13) жəне (3.14) қатарларының 
екеуі бірдей жинақталған не екеуі де жинақталмаған қатарлар бо-
лады.
Дəлелдеме. Теореманың шарты бойынша 
n
n
n
a
с
b
lim
0
→∞
≠
=
, демек 
n
n
a
n
N
с
b
0,
:
ε
ε
∀ > ∃ >
− <
немесе 
n
n
a
c
c
b
ε
ε
− <
< +
, яғни     
(
)
(
)
n
n
n
c
b
a
c
b
.
ε
ε
−
<
< +
Егер (3.13) қатары жинақталатын болса, онда 
(
)
n
n
c
b
a
ε
−
<
 
болуы себепті 3.7-теоремаға сүйеніп, 
(
)
n
n
c
b
1
ε
∞
=
−
∑
 қатарының 
жинақты болатынын көреміз. Онда сол теорема бойынша 
(3.14) қатары да жинақты. Енді (3.14) қатары жинақты болса, 

58
(
)
n
n
a
c
b
.
ε
< +
 Бұдан (3.13) қатарының жинақталған қатар екенін 
көреміз. 
1-мысал. 
n
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
4
+
+
+
+ +
+
…
…
                    (3.15)
қатарын қарастырайық. Оның бірінші мүшесін алып тастап, §l, 
2-мысалдағы жинақты
( )
n n
1
1
1
1
1
1 2 2 3 3 4 4 5
1
+
+
+
+ +
⋅
⋅
⋅
⋅
+
…
 +...
қатарымен салыстырайық. Сонда 
(
)
(
)
n n
n
2
2
2
1
1
1
1
1
1
,
, ,
2
1 2 3
2 3
1
1
<
<
<
⋅
⋅
+
+
…
айқын теңсіздіктерге келеміз. Бұдан §2, 3.3-теоремаға жəне 
салыстыру белгісіне сүйеніп, (3.15) қатарының жинақты бола-
тынына көз жеткіземіз. Əрі қарай, (3.15) қатарымен салыстырудан 
p > 2 болуында 
р
р
р
р
1
1
1
1
1
2
3
4
+
+
+
+…
қатарының жинақтылығы туындайды. Осы соңғы қатар p  > l 
болуында жинақталатынын, ал p ≤ l үшін жинақты болмайтынын 
дəлелдеуге болады.
2-мысал. 
n
n
n
2
1
1
∞
=
+
∑
 қатарының жинақты немесе жинақталмаған 
екендігін тексеру талап етіледі. 
Шешімі. 
n
n
n
n
n
n
2
3
1
1
+
+
>
≥
 теңсіздігі орынды. Ал жалпы 
мүшесі 
n
1
-ге тең болатын қатар жинақталмайды (§2-дегі мы-
сал). Олай болса қарастырылып отырған қатар да жинақталмайды 
(3.7-теореманы қараңыз).

59
3-мысал. 
n
n
n
3
1
3
2
∞
=
−
∑
 қатарының жинақталу-жинақталмауын 
зерттеңіз.
Шешімі. 
=
x
n
n
3
3
2
−
 < 
n
n
n
3
2
3
3
=
 теңсіздігі айқын. Ал 
n
n
2
1
3
∞
=
∑
 
қатары жинақты. Олай болса 3.7-теоремаға сəйкес зерттеліп 
отырған қатар да жинақты болады.
4-мысал. 
n
n
n
3
1
4
3
∞
=
+
+
∑
 қатарының жинақты-жинақсыз болуын 
зерттеңіз.
Шешімі: Берілген қатардың жалпы мүшесі 
n
n
3
4
3
+
+
, 
n
→ ∞
 
нөлге ұмтылады. Бұл қатарды жинақталатын 
n
n
2
1
1
∞
=
∑
 қатарымен 
салыстырамыз. Сонда 
n
n
n
a
b
lim
→∞
= 
n
n
n
n
n
n
n
n
2
3
3
2
3
lim
lim
4
1
4
:
1 0
3
3
→∞
→∞
+
+
=
= ≠
+
+
.
Демек, 3.8-теоремаға сəйкес берілген қатар жинақты.
5-мысал. 
n
n
1
3
ln 1
∞
=
+
∑
 қатарының жинақты–жинақсыз болуын 
зерттеңіз.
Шешімі: Қатардың жалпы мүшесі үшін 
n
n
lim
3
ln 1
0
→∞
+
=
⎡
⎤
⎛
⎞
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
. 
Қатарды  əрі  қарай  зерттейміз.  Ол  үшін  оны  жинақталмайтын 
n
n
1
3
∞
=
∑
 қатарымен салыстырамыз. Сонда 
n
n
n
n
n
a
n
n n
b
n
3
ln 1
3 3
ln 1
:
1 0
lim
lim
lim
3
→∞
→∞
→∞
+
=
+
=
= ≠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎡
⎤
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
.
Сондықтан берілген қатар жинақталмайды (3.8-теорема).

60
§5. Қатар жинақталуының кейбір белгілері
Қатар мүшелерінің сипаты бойынша оның жинақты-жи нақ-
сыз болуы жөнінде кесім жасауға мүмкіндік беретін қатар жи-
нақтылығының көптеген белгілері бар. Солардың кейбіреуіне 
тоқталайық.
5.1. Жинақталудың Даламбер белгісі
n
n
a
1
∞
=
∑
 қатарының мүшелері оң болып, п-нің шектеусіз өсуінде, 
оның п +1 мүшесінің алдыңғы, п мүшесіне алынған қатынасының 
шегі бар болып, ол D-ға тең болсын, атап айтқанда 
n
n
n
D
a
a
1
lim
+
→∞
=
 
болсын. Онда:
1. 
D
1
<
 болса, қатар жинақталады;
2. 
D
1
>
 болса, қатар жинақталмайды;
3. 
D
1
=
 болуында, қатардың жинақты болу-болмауы жөнін-
де белгі тиянақты тұжырым бере алмайды, атап айтқанда, бұл 
жағдайда қатар жинақты да, жинақсыз да болуы мүмкін.
6-мысал. 
n
n
n
n
1
!
∞
=
∑
 қатарын жинақты-жинақсыздыққа зерттеңіз.
Шешімі: 
n
n
n
n
a
!
=
, 
(
)
(
)
n
n
n
n
a
1
1
1
1 !
+
+
+
=
+
 болғандықтан, 
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
е
n
a
n
n
n
1
1
1
!
1
1
lim
1
1.
lim
lim
lim
1 !
+
→∞
→∞
→∞
→∞
+
⋅
+
+ =
=
=
+
= >
⋅ +
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Демек қатар жинақталмайды.
7-мысал. 
( )
n
n
n
3
1
1 !
∞
=
+
∑
 қатарын жинақты-жинақсыздыққа зерт-
теңіз.
Шешімі. 
(
)
n
n
a
n
3
1 !
=
+
, 
(
)
(
)
n
n
a
n
3
1
1
1 !
+
+
=
+
 болғандықтан, 
(
)
(
) (
)
n
n
n
n
n
n
a
n
n
a
n
n
n
n
3
3
3
1
1
1
1
:
0 1
2 !
1 !
2
lim
lim
lim
+
→∞
→∞
→∞
+
+
=
=
⋅
= <
+
+
+
⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦

61
Олай болса қатар жинақталады.
8-мысал. 
n
n
n
n
2
2
1
1
3
2
−
∞
=
∑
 қатарының жинақты-жинақсыз екендігін 
анықтаныз.
Шешімі. 
n
n
n
a
n
2
2
1
3
2
−
=
 жəне 
( )
( )
n
n
n
a
n
2
2
1
1
1
1
3
2
1
+
−
+
+
=
+
 
болғандықтан,
( )
.
1
1
1
2
3
lim
1
3
2
2
3
lim
lim
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
∞
=
+
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
∞
→
−
+
+
∞
→
+
∞
→
ï
n
n
a
a
n
n
n
n
n
ï
n
n
n
n
n
Ендеше қатар жинақталмайды.
5.2.  Коши белгісі
Оң мүшелі
n
n
n
a
a
a
a
a
1
2
3
1
...
...
∞
=
+ + + + + =
∑
қатары үшін 
n
n
n
a
К
lim
→∞
=
                                           (3.16)
шегі бар болса, онда K < 1 болғанда қатар жинақталады, ал K >1 
болуында жинақталмайды.
Дəлелдеме.  Егер  K < 1 болса, онда K + ε < 1 болатындай 
кіші ε > 0 саны табылады. Онда (3.16)-дан 
n
n
a
К
ε
−
<
 немесе 
n
n
К
a
К
ε
ε
− <
< +
, n > N. Бұдан жалпы мүшесі 
(
)
п
К
ε
+
 болатын 
қатар (кемімелі геометриялық прогрессия ретінде) жинақталады. 
Олай болса салыстыру теоремасы бойынша (3.7-теорема) берілген 
қатар жинақты болады 
(
)
(
)
п
n
a
К
.
ε
<
+
 
Енді K >1 болса, онда қандай да бір N–нен бастап, кез келген 
n > N үшін 
n
n
a
1.
>
 Демек қатардың жинақты болуының қажетті 
шарты орындалмайды. Олай болса, қатар жинақталмайды. Теоре-
ма дəлелденді.

62
9-мысал. 
п
n
п
п
1
2
1
∞
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
қатарының жинақты болу-болмауын тексеріңіз.
Шешімі. 
п
n
n
n
n
n
n
п
п
a
п
п
1 1.
2
1
2
1 2
lim
lim
lim
→∞
→∞
→∞
=
=
= <
+
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Олай болса Коши белгісі бойынша қатар жинақталады.
10-мысал. 
п
n
п
п
1
6
4
3
5
∞
=
−
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
қатарының жинақты болуы–болмау-
ын зерттеңіз.
Шешімі. 
п
п
п
a
п
6
4
3
5
−
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
, 
n
п
n
n
n
a
n
6
4 2 1.
3
5
lim
lim
→∞
→∞
−
=
= >
+
Олай болса Коши белгісі бойынша қатар жинақталмайды.
Ескерту.  1.  D = 1 болғанда Даламбер белгісі бойынша, ал 
K = 1 болғанда Коши белгісі бойынша қатардың жинақтылығы 
жөнінде тиянақты қорытынды жасау мүмкін емес. 
2. Егер қатардың жинақты болу–болмауы  Даламбер белгісі бой-
ынша анықталса, онда ол Коши белгісі бойынша да анықталады. 
Ал кері пікір дұрыс емес, атап айтқанда, қатарды зерттеуде Да-
ламбер белгісі қолданылмайтын жағдайда оған Коши белгісі де 
қолданылмайды деуге болмайды. Осы жайтқа байланысты кейде 
Коши белгісі Даламбер белгісінен күштірек деп айтылады. 
5.3. Кошидің интегралдық белгісі
Егер 
п
n
a
1
∞
=
∑
 қатары беріліп, онымен бірге 
x
х
0
≥
 мəндерінде 
анықталған, үзіліссіз, оң жəне монотонды кемімелі 
( )
f x
 функ-
циясы үшін кейбір 
п
N
≥
 нөмірінен бастап, 
п
a
=
( )
f п
 теңдігі 
орындалып,  
( )
x
f x dx
0
∞
∫
  меншіксіз  интегралы  жинақталса,  онда 
берілген қатар да жинақталады, ал егер интеграл жинақталмаса, 
онда қатар да жинақталмайды. 

63
11-мысал. 
(
)
n
п
1
1 ,
0
α
α
∞
=
≥
∑
 қатарының жинақты болу-болмауын 
зерттеңіз. 
Шешімі: 
( )
f x
x
1
α
=
, 
x
1
≥
, 
( )
(
)
В
B
B
B
B
dx
f x dx
x
B
x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
lim
lim
lim
α
α
α
α
α
α
∞
−
−
→∞
→∞
→∞
=
=
=
− =
−
−
−
∫
∫
 
егер α – 1 > 0, демек α > 1 болғанда қатар жинақталады (1-мысал). 

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: