Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

25
U ( A )
δ
 маңайымен бірге осы жиынның ішінде жатса, А нүктесі 
М жиынының ішкі нүктесі деп аталады.
2.5-анықтама. Егер жазықтықтағы нүктелерден кұралған М 
жиынының кез келген нүктесі жиынның ішкі нүктесі болса, М 
ашық жиын деп аталады. Яғни, тек ішкі нүктелерден құралған 
жиынды ашық жиын дейді.
2.6-анықтама. Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған М 
байламды ашық жиын болса, онда оны облыс деп атайды.
2.7-анықтама. Егер В нүктесінің кез келген 
U В
( )
δ
 маңайында 
М жиынының нүктелерімен бірге ол жиынның кұрамында жоқ 
нүктелер де жатса, онда В нүктесі М жиынының шекара нүктесі 
деп аталады. Шекара нүктелердің жиыны сол жиынның шека-
расын кұрайды (11-сурет).
2.8-анықтама. Егер М жиынының барлық шекара нүктелері 
сол жиынның құрамына кіретін болса, ондай жиынды тұйық 
жиын деп атайды.
Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған М жиыны тұта-
сымен қандай да бір дөңгелекке енсе, ол шектелген жиын деп 
аталады.
§3. Көп айнымалыға тəуелді фунцияның шегі
Бізге ХОY жазықтығының Q облысында анықталған z = f(x, y)
функциясы берілсін жəне (x
0
, y
0
) осы облыстың бекіген бір нүктесі 
болсын. 
2.9-анықтама. Егер z = f(x, y) функциясы (x
0
, y
0
) нүктесінің 
10-сурет.                                          11-сурет.

26
кейбір маңайында анықталып, (x
0
,  y
0
)-ге ұмтылатын қандай да 
болмасын (x
k
, y
k
) нүктелер тізбегі үшін
k
0
k
0
k
k
x
x ,
y
y
lim f ( x , y )
A
→
→
=
шегі бар болса (жазылуы 
)
,
(
)
,
(
0
0
y
x
y
x
→
 ұмтылуында f(x, y)
А
→
), онда f(x,y) функциясы (x
0
,  y
0
) нүктесінде 
0
0
x
x
y
y
lim f ( x, y )
A
→
→
=
 
түрінде белгіленетін жəне А санына тең шекке ие болады.
2.10-анықтама.  z = f(x, y) функциясы М
0
(x
0
,  y
0
) нүктесінің 
кейбір маңайында анықталған болсын (бірақ М
0
(x
0
, y
0
) нүктесінің 
өзінде анықталмауы да мүмкін) деп ұйғарайық. Егер 
0
ε
∀ >
 
саны бойынша 
0
δ
>
 саны табылып, 
(
)
0
0
M , M
ρ
δ
<
<
теңсіздігін 
қанағаттандыратын М(x, y) нүктелері үшін 
( )
f x, y
A
ε
− <
 тең-
сіздігі орындалатын болса, онда А санын 
( )
y
x
f
,
 функциясының 
0
0
x
x , y
y
→
→
 ұмтылуындағы (немесе 
( )
(
)
0
0
0
M x, y
M
x , y
→
-ге 
ұмтылуындағы) шегі деп атайды жəне оны былай жазады:
( )
(
)
(
)
М
М
x
x
y
y
f x y
A немесе
f x y
A
M
M x y
Q
M
M
x y
Q
0
0
0
0
0
0
0
lim ( , )
lim ( , )
,
,
,
,
.
→
→
→
=
=
=
∈
=
∈
Бұл екі анықтама өзара эквивалентті анықтамалар.
Бір аргументті функциялардың шектері жəне оларды есептеу 
əдістері түгелдей көп аргументті функцияларға да қолданылады.
Үш, төрт жəне одан да көп айнымалы функциялардың шек-
терін жəне оларды есептеу дəл осылайша анықталады.
Көп айнымалы функциялардың үзіліссіздігі де бір айнымалы 
функцияның үзіліссіздігіндей анықталады.
§4. Көп айнымалыға тəуелді функцияның үзіліссіздігі
Айталық, 
z
f ( x, y )
=
 функциясы Q облысында анықталған 
болсын жəне 
0
0
0
М ( x , y )
 нүктесі Q жиынында жатқан осы 
жиынның шекара нүктесі болсын.
2.11-анықтама.  Егер 
z
f ( М )
=
 функциясының 
0
М
М
→
 
нүктесіне ұмтылғандағы шегі оның 
0
М
 нүктесіндегі 
0
f ( М )
 
мəніне тең, яғни 
0
0
М
М
lim f ( М )
f ( М )
→
=
 болса, онда 
f ( М )
 функ-

27
циясы 
0
М
 нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады.  Мұндайда
0
0
М
М
lim f ( M )
f ( M )
→
=
 немесе 
0
0
0
0
x
x ,
y
y
lim f ( x, y )
f ( x , y )
→
→
=
 деп жазатын 
боламыз. Мұндағы 
( )
M x, y
Q
∈
 жəне 
(
)
0
0
0
M
x , y
Q
∈
. Қысқаша, 
егер 
0
0
0
0
x
x
у
у
lim f ( x )
f ( x ; y )
→
→
=
 болса, онда у=f(x) функциясы М
0
(х
0
;у
0
) 
нүктесінде үзіліссіз функция делінеді. 
Функция шегінің анықтамасын еске алсақ, функцияның М
0
 
нүктесіндегі үзіліссіздігінің тағы да бір мынадай анықтамасын 
келтіруге болады:
2.12-анықтама.  Егер 
0
ε
∀ >
 санына сəйкес 
( )
0
δ δ ε
=
>
саны табылып, 
(
)
0
0
M , M
ρ
δ
<
<
  теңсіздігін қанағаттандыратын 
М нүктелері үшін 
( )
( )
0
f М
f М
ε
−
<
 теңсіздігі орындалса, 
U
f М
( )
=
 функциясы  М
0
 нүктесінде үзіліссіз функция деп ата-
лады.
Мына 
0
0
х
x
х, у
y
у
Δ
Δ
−
=
−
=
 шамаларының əрқайсысы 
берілген 
z
f ( x, y )
=
 функциясының х, у аргументтерінің сəйкес 
өсімшелері, ал 
( )
(
)
0
0
f x, y
f x , y
−
 айырымы – функцияның 
өсімшесі, яғни 
( )
( )
(
)
0
0
z
f x, y
f x, y
f x , y
Δ
Δ
=
=
−
 екенін ескер-
сек, функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің жоғарыда берілген 
анықтамасын былайша тұжырымдауға болады: егер аргу мент-
тердің ақырсыз кіші өсімшелеріне берілген функцияның да 
ақырсыз кіші өсімшесі сəйкес келсе, онда функция 
0
0
0
М ( x , y )
 
нүктесінде үзіліссіз деп аталады. Демек, егер 
z
f ( x, y )
=
 функ-
циясы 
0
М
 нүктесінде үзіліссіз болса, 
( )
0
0
М
М
М
М
lim
z
lim
f x, y
0
Δ
Δ
→
→
=
=
 
болады.
Егер 
z
f ( x, y )
=
 функциясы Q облысының əрбір нүктесінде 
үзіліссіз болса, онда бұл функцияны Q облысында үзіліссіз функ-
ция деп атайды.
Енді  ХОY жазықтығының кейбір Q облысында үзіліссіз бо-
латын 
z
f ( x, y )
=
 функциясының қасиеттеріне тоқтайлық. Олар 
аралықта үзіліссіз болатын бір айнымалыға тəуелді функцияның 
қасиеттеріне ұқсас. 
1) Егер 
z
f ( М )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста үзіліссіз 
болса, онда ол осы облыста шектелген функция болады. Демек: 

28
K : f ( x, y )
K .
∃
<
 
2) Егер 
z
f ( М )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста 
үзіліссіз болса, онда ол осы облыста өзінің дəл төменгі жəне 
жоғары мəніне жете алады.
3) Егер 
z
f ( x, y )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста 
үзіліссіз болса, ол сол облыста бірқалыпты үзіліссіз болады.
§5. Бірнеше айнымалыға тəуелді функциялардың дербес 
туындылары мен дербес дифференциалдары
5.1. Үш айнымалыға тəуелді функцияның дербес туындылары
Бізге кеңістіктің Q облысында анықталған үзіліссіз 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясы берілсін. Осы облыстан 
М x y z
0
0
0
0
( , , )
нүктесін аламыз.
Егер y пен z-ке тұрақты y
0
 мен z
0 
мəндерін беріп, x-ті өзгертетін 
болсақ, онда 
U
f ( x, y, z )
=
 бір айнымалы x-тің (x
0
 төңірегінде) 
функциясы болады. Енді 
х
x
0
=
 мəніне 
х
Δ
 өсімшесін берсек, 
онда функция 
x
x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
f ( x , y , z )
f ( x
x, y , z )
f ( x , y , z )
Δ
Δ
Δ
=
=
+
−
өсімшесін иемденеді, мұны функцияның x бойынша алынған дер-
бес өсімшесі деп атайды. Ал мына
x
0
0
0
0
0
0
x
0
x
0
U
f ( x
x, y , z )
f ( x , y , z )
lim
lim
x
x
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
→
→
+
−
=
шегін 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесінде x 
бойынша алынған дербес туындысы деп атайды да
/
/
0
0
0
x
х
0
0
0
f ( x , y , z )
U
,
, U , f ( x , y , z ).
x
x
∂
∂
∂
∂
өрнектерінің бірімен белгілейді.
Бұл символдардың төменгі жағында тұрған əріп туындының 
қандай айнымалы бойынша алынатынын көрсетеді.

29
Сондай-ақ x-пен  z -ті тұрақты, ал y-ті айнымалы деп санап,
у
0
0
0
0
0
0
у
0
у
0
U
f ( x , y
у, z )
f ( x , y , z )
lim
lim
у
у
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
→
→
+
−
=
шегін қарастыруға болады. 
Бұл шекті 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 
нүкте сіндегі  y бойынша алынған дербес туындысы деп атайды.
Бeрілген 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының z бойынша алынған 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесіндегі дербес туындысы да осылай анық-
талады. Дербес туындыны есептеудің жай туындыны есептеуден 
айтарлықтай айырмашылығы жоқ.
Мысалдар: 1) 
z
x
xy
y
2
2
3
2
=
−
+
 функциясы берілсін. Онда 
бұл функцияның дербес туындылары
z
z
x
y
xy
y
x
y
2
2
2
2 ,
4
3 .
∂
∂
=
−
= −
+
∂
∂
Бұлардың біріншісі  
const
y
=
 болғандағы, ал екіншісі
const
x
=
 болғандағы дəрежелік функцияның туындысы.
2) Егер 
x
z
arctg
y
=
 болса, онда 
z
y
z
xy
y
x
x
y
y
2
2
2
,
4
3
∂
∂
=
= −
+
∂
+
∂
 
3) 
x
U
x
y
z
2
2
2
=
+
+
 функциясы үшін
(
)
(
)
(
)
U
x
y
z
U
xy
U
xz
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
∂
− +
+
∂
−
∂
−
=
=
=
∂
∂
∂
+
+
+
+
+
+
 
5.2. Екі айнымалыға тəуелді функцияның дербес 
туындыларының геометриялық мағынасы
z
f ( x, y )
=
 функция графигі кейбір бет болып табыла-
тыны белгілі. 
0
z
f ( x, y )
=
 функция графигі осы 
z
f ( x, y )
=
 
бетінің 
0
у
y
=
 жазықтығымен қиылысу сызығы болып 
келеді. Бір айнымалыға тəуелді функция туындысының 

30
геометриялық мағынасына сүйене, 
/
х
0
0
f ( x , y )
tg
α
=
 екенін 
тұжырымдаймыз, мұндағы 
α
 - 
Ох
 осі мен 
0
z
f ( x, y )
=
 қисығына 
(
)
0
0
0
0
0
М
x , y f ( x , y )
 нүктесінде жүргізілген жанама арасындағы 
бұрыш (12-сурет). Сол сияқты 
/
y
0
0
f ( x , y )
tg
β
=
.
12-сурет.                                 13-сурет.
5.3. Дербес дифференциалдар
Бeрілген 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының кез келген бір 
аргументі бойынша нүктедегі дербес туындысы мен сол 
аргументтің өсімшесінің көбейтіндісі функцияның дербес диф-
ференциалы деп аталады жəне былай белгіленеді: 
x
z
U
U
d U
x, d U
z
x
z
Δ
Δ
∂
∂
=
=
∂
∂
Егер тəуелсіз айнымалы х-тің  dx дифференциалын 
x
Δ
 
өсімшесі деп түсінетін болсақ, онда 
x
U
d U
dx,
x
∂
=
∂
  сол сияқты 
y
z
U
U
d U
dy, d U
dz
y
z
∂
∂
=
=
∂
∂
 түрінде жазылады.

31
§6. Көп айнымалыға тəуелді функцияның толық өсімшесі, 
толық дифференциалы жəне дифференциалдану шарты
Егер тəуелсіз айнымалылардың 
0
0
0
х
x , у
y , z
z
=
=
=
 мəн-
деріне сəйкес 
x,
у,
z
Δ Δ Δ
 өсімшелерін берсек, онда 
U
f ( x, y, z )
=
 
функциясы да 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
f ( x , y , z )
f ( x
x, y
у, z
z )
f ( x , y , z )
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
=
=
+
+
+
−
 (2.1)
түріндегі өсімшеге ие болады. Берілген функцияның осы өсім-
шесін оның толық өсімшесі деп атайды.
Теорема  2.1.  Егер 
/
/
/
х
y
z
f ( x, y, z ), f ( x, y, z ), f ( x, y, z )
 дер-
бес туындылар 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесі мен оның кейбір 
0
U ( М )
δ
 
маңайында бар болып жəне осы нүктеде (
x, y, z
-тің функ-
циясы ретінде) үзіліссіз болса, онда берілген 
U
f ( x, y, z )
=
 
функциясының толық өсімшесі 
/
/
/
х
0
0
0
y
0
0
0
z
0
0
0
U
f ( x , y , z ) х
f ( x , y , z ) у
f ( x , y , z ) z
х
у
z
Δ
Δ
Δ
Δ
αΔ
βΔ
γΔ
=
+
+
+
+
+
түрінде жазылады. Мұндағы 
,
,
α β γ
 шамалары 
х, у, z
Δ Δ Δ
 
өсімшелеріне тəуелді жəне 
х
0, у
0, z
0
Δ
Δ
Δ
→
→
→
-да 
,
,
α β γ
 
шамалары да 0-ге ұмтылады.
Теорема  2.2. Егер Q облысында берілген 
U
f ( x, y, z )
=
 
функциясының сол облыстағы 
(
)
0
0
0
x , y , z
Q
∈
 мен 
0
0
0
( x
x, y
у, z
z )
Q
Δ
Δ
Δ
+
+
+
∈
 нүктелері үшін толық өсімшесі
0
0
0
U
f ( x , y , z )
Δ
Δ
=
= Аdх Вdy Сdz 0( )
ρ
+
+
+
                   (2.2)
түрінде жазылатын болса, (A, B, C - тұрақтылар, 
2
2
2
x
y
z
ρ
Δ
Δ
Δ
=
+
+
) берілген функцияның 
0
0
0
( x , y , z )
 
нүктесінде дербес туындылары бар болады.
2.13-анықтама.  Егер 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының толық 
өсімшесі (2.1) немесе (2.2) формулаларының бірімен өрнектелетін 
болса, ол функция 
0
0
0
( x , y , z )
 нүктесінде дифференциалдана-
тын функция деп аталады. Сонымен, бірге берілген функцияның 
толық өсімшесінің 
/
/
/
х
y
z
U
х
U
у
U
z
Δ
Δ
Δ
+
+
түріндегі басты сызықты бөлігі оның толық дифференциалы 
деп аталады да, du немесе 
0
0
0
df ( x , y , z )
 түрінде белгіленеді.

32
Сонымен, үзіліссіз дербес туындылары бар кез келген көп 
аргументті функциялар дифференциалданатын функция бо ла ды.
x, y, z аргументтерінің өсімшелері олар үшін əрі дифферен-
циалдар болатынын ескерсек, 
f ( x, y, z )
 функциясының толық 
дифференциалы 
/
/
/
х
y
z
dU
U dх
U dу
U dz
=
+
+
немесе 
/
/
/
0
0
0
х
0
0
0
y
0
0
0
z
0
0
0
df ( x , y , z )
f ( x , y , z )dх
f ( x , y , z )dу
f ( x , y , z )dz
=
+
+
түрінде жазылады. Яғни, көп аргументті функцияның толық диф-
ференциалы оның дербес дифференциалдарының қосынды сына 
тең.
Екі айнымалыға тəуелді 
z
f ( x, y )
=
 функциясының толық 
дифференциалы айтқанға сəйкес 
z
z
dz
dx
dy
х
y
∂
∂
=
+
∂
∂
                                 (2.3)
түріндегідей жазылады.
1-мысал. Берілген 
xy
z
е
=
 функциясының толық дифференци-
алы 
dz
-ті табу керек болсын. Бұл функцияның дербес туындыла-
ры 
/
xy
/
xy
х
у
z
у е , z
x е .
= ⋅
= ⋅
 Демек 
xy
xy
dz
у е dx
x е dy.
= ⋅
+ ⋅
2-мысал. 
x
z
ln tg
y
=
 функциясының толық дифференциалын 
табайық.
Шешімі:
z
z
x
x
x
x
x
x
x
x
х
y
y
y
tg
y
tg
y
y
y
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
,
2
2
cos
sin
cos
sin
⎛
⎞
∂
∂
=
⋅
⋅ =
=
⋅
⋅ −
= −
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
болғандықтан, 
x
dz
dx
dy
x
x
y
y
y
y
2
2
2
2
2
sin
sin
=
−
.
Теорема  2.3.  Егер 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясы Q ашық 
облысының кез келген нүктесінде дифференциалданатын, ал 

33
x
( t ), y
( t ), z
( t ),
ϕ
ψ
θ
=
=
=
 
( )
t
a,b
∈
 функцияларының мəндері Q 
облысында жататын жəне олар t аргументі бойынша дифферен-
циалданатын болса, онда 
U
f ( ( t ),
( t ), ( t ))
ϕ
ψ
θ
=
 күрделі функ-
циясы t аргументi бойынша дифференциалданады жəне оның ту-
ындысы 
dU
U dx
U dy
U dz
dt
х dt
y dt
z dt
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
                  (2.4)
формуласымен анықталады.
Дəлелдеу.  t тəуелсіз айнымалыға өсімше берсек, онда x, y 
жəне z –те сəйкес 
х, у
Δ Δ
 жəне 
z
Δ
 өсімшелерін, ал u функциясы 
u
Δ
 өсімшесін иемденеді. Сондықтан 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясы 
М ( x, y, z )
 нүктесінде дифференциалданатын болғандықтан,
/
/
/
х
y
z
dU
U
х
U
у
U
z
х
у
z
Δ
Δ
Δ
αΔ
βΔ
γΔ
=
+
+
+
+
+
кескінделуі орынды. Мұнда 
х, у, z
0
Δ Δ Δ
→
 жағдайында 
, ,
0.
α β γ →
 Тендіктің екі жағын 
t
Δ
-ға бөліп, онан соң 
t
0
Δ
→
-да 
шекке көшсек,
х
y
z
t
t
t
t
U
x
y
z
U
U
U
t
t
t
t
/
/
/
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
Δ →
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
Δ
Δ
Δ
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
Δ
Δ
Δ
Δ
t
t
t
x
y
z
t
t
t
0
0
0
lim
lim
lim
.
α
β
γ
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
Δ
Δ
+
⋅
+
⋅
+
⋅
Δ
Δ
Δ
Ал бұдан
dU
U dx
U dy
U dz
dt
х dt
y dt
z dt
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
себебі
t
t
t
x
dx
y
dy
z
dz
t
dt
t
dt
t
dt
0
0
0
lim
, lim
, lim
.
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
Δ
Δ
=
=
=
Δ
Δ
Δ
Сонымен бірге, 
( t ),
( t ), ( t )
ϕ
ψ
θ
 функциялары t нүктесінде 
дифференциалданатын функциялар болғандықтан, бұл нүктеде 
олар үзіліссіз, демек 
t
0
Δ
→
 –да 
х,
у,
z
0
Δ Δ Δ
→
. Сондықтан 
t
0
Δ
→
-да 
х,
у,
z
0.
αΔ βΔ γΔ
→
 
Мысал. 
2
x
z
x sin
, x
1 3t, y
1 t
y
=
= +
=
+
 болсын.
3–454

34
Сонда 
2
2
2
dz
z dx
z dy
x
x
x
x
t
x
3 sin
cos
cos
.
dt
х dt
y dt
y
y
y
y
y
1 t
∂
∂
=
+
=
+
−
∂
∂
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Егер 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының 
x, y, z
 аргументтері 
өз алдына 
t,
θ
 екі айнымалыға тəуелді болып жəне осы 
( )
( )
( )
х
х t,
, у
у t,
, z
z t,
θ
θ
θ
=
=
=
 функцияларының 
t,
θ
 
аргументтері бойынша алынған туындылары бар деп 
ұйғарсақ, онда 
( )
( ) ( ) ( )
U
f t,
f ( x t,
, у t,
, z t,
)
θ
θ
θ
θ
=
=
 күрделі 
функциясының 
t
 жəне 
θ
 тəуелсіз айнымалылары бойынша 
алынған дербес туындылары 
U
U
x
U
y
U
z
U
U
x
U
y
U
z
;
t
х
t
y
t
z
t
х
y
z
θ
θ
θ
θ
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
+
+
=
+
+
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
  (2.5)
түріндегідей өрнектеледі:
1-мысал. 
2
2
u
z
x y , x
u
v, y
.
v
=
= +
=
 Сонда алдыңғы форму-
лалар бойынша
2
2
2
2
2
z
z x
z y
1
z
z x
z y
u
2xy
2 yx
,
2xy
2 yx
.
u
х u
y u
v
v
х v
y v
v
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
=
+
=
+
⋅
=
+
=
+
⋅ −
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
2-мысал. Егер 
2
2
z
x
y , x
u cos v, y
и sin v
=
−
=
=
болса, онда 
(2.5) формулалары бойынша
z
z
2x cos v
2 y sin v,
2xи sin v
2 yu cos v.
u
v
∂
∂
=
−
= −
−
∂
∂

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: