Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012
Ізделінді функцияның ең жоғарғы туындысы (дифференциа- лы) теңдеудің реті
жүктеу/скачать 1,36 Mb. Pdf көрінісі
|
kolekeev-differencialdyk
| 4
Ізделінді функцияның ең жоғарғы туындысы (дифференциа- лы) теңдеудің реті деп аталады. Келтірілген екінші, үшінші мы салдардағы теңдеулер екінші ретті. Теңдеуді қанағаттандыратын, яғни тепе-теңдікке айналдыра- тын функция теңдеудің шешімі деп аталады. Мысалы, радиоактивтік ыдырау теңдеуінің: ( ) ( ) dx t kx t dt = − (1) шешімі ( ) kt x t Ce − = . (2) С – кез келген тұрақты. Əрине, теңдеу (1) радиоактивті ыды- рау процесін толық анықтамайды. Оны толық анықтау үшін бас- тапқы t 0 моментіндегі ыдыраушы заттың х 0 мөлшерін білуіміз ке- рек. Егер ( ) o o x t x = белгілі болса, радиоактивті ыдырау заңын ( ) o k t t o x x e − − = табамыз. Теңдеудің шешімін табуды, дифференциалдық теңдеуді интегралдау деп атайды. Дифференциалдық теңдеуге келтіретін есепті қарастырайық. Массасы m материалдық нүкте салмағының əсерімен құлайды. Ауа кедергісін ескермей, нүктенің қозғалыс заңын табу керек. Шешуі. Нүкте құлайтын О нүктесінен төмен бағытта верти- кал осьті анықтасақ, t - уақытында нүкте ) ( t y орнында болады. Нүкте салмақ күші əсерімен құлайтындықтан, Ньютонның екінші заңы бойынша ma mg = екендігі белгілі. Мұндағы, үдеу 2 2 , d y a g dt = = онда 2 2 d y m mg dt = теңдеуі нүкте нің қозғалыс заңын анықтайды. Теңдеуді түрлендіріп g, екі рет интегралдау нəтижесінде ше- шімін аламыз. Бұл формула нүктенің қозғалыс заңын береді, бі- рақ екі тұрақты 2 1 , C C бар. Тұрақтыларды 2 1 , C C нүктенің қозғалыс заңын толық анықтау үшін қажетті қосымша шарттардың көмегімен нақтылаймыз. 5 Құлайтын нүктенің, О нүктесіне қарағанда, бастапқы орны 0 ) 0 ( y y = жəне бастапқы жылдамдығы 0 ) 0 ( ϑ ϑ = белгілі болуы керек. Қозғалыс жылдамдығы ( ) ( ) dy t t dt ϑ = болғандықтан 0 1 ϑ = C , 0 2 y C = . Сонымен, нүктенің қозғалыс заңын беретін функция 2 0 0 2 gt y t y ϑ = + + . Бұл, біркелкі үдемелі қозғалыстағы нүктенің жүріп өткен жолы екендігі белгілі. Процестің өтуі туралы толық мағұлмат белгілі болғанда, оның математикалық моделін құруға əрекет жа- салынады. Көп жағдайда, модель дифференциалдық теңдеумен жазылады да, оның бір шешімі процестің функционалдық сипат- таушысы болады. Математикалық ғылым, дифференциалдық теңдеулер теория- сы, процестердің математикалық моделдерін құрып, сипаттаушы функционалдық тəуелділіктерін табумен айналысады. |