Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

37
Шешуі. 
p
-дискриманантты сызықтарын қарастырамыз:
2
2
2
2
0
,
.
y
xp
p
x
p
⎧ =
−
⎨
−
=
⎩
p
-ны жою нəтижесінде: 
2
,
x
y
x
p
=
=
параболасын ала-
мыз. Парабола 
2
x
y
=
теңдеудің шешімі емес, оның ерекше 
шешімі жоқ.
5-мысал.
Лагранж теңдеуінің ерекше шешімін табу керек:
2
3
4
8
9
27
.
x
y
y
y
− =
−
′
′
Шешуі. 
p
-дискриминантты сызықты анықтаймыз
2
3
2
4
8
9
27
8
8
0
9
9
,
.
x
y
p
p
p
p
⎧ − =
−
⎪⎪
⎨
⎪
−
=
⎪⎩
Екінші теңдеуден
0
=
p
немесе
;
1
=
p
онда
x
y
=
немесе
4
27
.
y
x
= −
Бұл шешімдердің екіншісі ғана 
4
27
y
x
= −
берілген
дифференциалдық теңдеудің шешімі.
Бұл шешімнің ерекше екендігін анықтау үшін теңдеудің жал-
пы шешімін табамыз
.
)
(
)
(
3
2
C
x
C
y
−
=
−
Онда түзу
4
27
y
x
= −
интегралдық сызықтар жиынтығының 
3
2
)
(
)
(
C
x
C
y
−
=
−
иіу ші-
сі екендігін көреміз, əрбір нүктесінен берілген бағытта екі инте -
гралдық сызық өтеді: түзу
4
27
y
x
= −
жəне түзуді жанайтын
жартылай куб парабола
.
)
(
)
(
3
2
C
x
C
y
−
=
−
(
4-сурет
).

38
Теңдеудің 
0
)
,
,
(
=
′
y
y
x
F
интегралдық сызықтарының жиын ты-
ғынан, иіушілерін табу жолымен ерекше шешімдерін анықтауға 
болады. Иіуші 
C
- дискриминантты сызықтар:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
Φ
∂
=
Φ
0
)
,
,
(
,
0
)
,
,
(
C
C
y
x
C
y
x
(12)
құрамынан ізделінеді. Мұнда 
0
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
y
x
болса, жүйе (12) қай-
та ланған (еселі) нүктелер жиынын береді. 
C
-дискриминант-
ты сызық иіуші болуы үшін, келесі қатынастардың орындалуы 
жеткілікті:
1) 
2
1
,
N
y
N
x
≤
∂
Φ
∂
≤
∂
Φ
∂
- модульдері бойынша шектеулі дербес-
туындылары бар болуы;
2) 
0
≠
∂
Φ
∂
x
немесе 
.
0
≠
∂
Φ
∂
y
Бұл шарттар жеткілікті ғана, əйтеуір біреуі орындалмайтын 
сызықтар да июші болуы мүмкін.
6-мысал.
Дифференциалдық теңдеудің интегралдық сызық-
тарының жиынтығы 
3
2
)
(
)
(
C
x
C
y
−
=
−
берілген. Теңдеудің ерекше шешімін табу керек.
4-сурет

39
Шешуі. 
С
- дискриминантты сызықты табамыз
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
=
−
.
)
(
3
)
(
2
,
)
(
)
(
2
3
2
C
x
C
y
C
x
C
y
Параметр
C
-ны жойсақ 
x
y
=
жəне 
4
0
27
x
y
− −
=
түзулерін
аламыз. Түзу 
4
27
y
x
= −
июші, себебі онда июші шарттары орын- 
далған. Функция 
x
y
=
теңдеуді қанағаттандырмайды.
7-мысал.
Теңдеудің интегралдық сызықтарының жиынтығы
0
5
1
=
+
−
C
x
y
берілген. Сол теңдеудің ерекше шешімін табу 
керек.
Шешуі. Жоғарыда берілген əдіспен қайшылықты теңдеу 1=0 
аламыз. Бұған қарап ерекше шешімі жоқ деуге болмайды, себебі
,
0
,
5
1
5
4
→
∞
→
=
∂
Φ
∂
−
y
y
y
демек 
0
=
y
сызықтар жиынты ғы- 
ның иіушісі болуы мүмкін.
Теңдеуді түрлендіріп 
0
)
(
5
,
)
(
4
5
=
−
−
=
C
x
C
x
y
қарас тыр-
сақ, 
C
-ны жою нəтижесінде 
0
=
y
иіуші екендігіне көз жеткіземіз
(
5-сурет
).
5-сурет

40
8-мысал.
Теңдеудің интегралдық сызықтарының жиынтығы
0
)
(
3
2
=
−
−
C
x
y
берілген. Сол теңдеудің ерекше шешімін табу 
керек.
Шешуі. 
C
- дискриминантты сызық:
⎩
⎨
⎧
=
−
=
−
−
0
,
0
)
(
3
2
C
x
C
x
y
теңдеулермен анықталады. 
C
-ны жою нəтижесінде 
0
=
y
түзуін 
аламыз. Бұл түзуде екі туынды да
y
x
∂
Φ
∂
∂
Φ
∂
,
нөлге айналады, 
демек бұл түзу 
0
=
y
интегралдық сызықтар жиынтығының 
қай таланған (еселі) нүктелерінің геометриялық орны. Бірақ бұл 
геометриялық орын сонымен бірге иіуші де.
6-суретте
жартылай кубтық параболалар жəне олардың иіу-
шісі 
0
=
y
көрсетілген.
6-сурет
Есептер, жаттығулар.
1. 
0
tgydx
ctgxdy
−
=
7. 
1
sin
cos
y
x
y
x
+
=
′
2. 
12
5
9
5
2
3
0
(
)
(
)
x
y
dx
x
y
dy
+
−
+
+
−
=
8. 
sin
dx
x
t
dt
= +
3. 
2
2
dy
x
y
x
y
dx
= +
+
9. 
x y
y
e
−
=
′
4. 
3
0
x y
y
x
⋅
+ +
=
′
10. 
0
(ln
ln )
x
x
y dy
ydx
−
−
=
5. 
2
ydx
xdy
x ydy
−
=
11. 
2
2
2
0
(
)
xy y
x
y y
xy
⋅
−
+
+
=
′
′
6. 
2
3
t
dx
x
e
dt
+
=
12. 
2
4
9
y
y
=
′

41
13. 
x
t
dx
x
e
dt
t
=
+
16. 
3
2
x
y
y
=
−
+
′
′
14. 
2
2
1
x
y
+
=
′
17. 
3
y
y
x
y
=
′
+
15. 
1
y
xy
y
=
+
′
′
18. 
4
3
2
y
y
y
=
−
−
′
′
19. 
xy
C
=
сызықтар жиынтығына ортогоналды траектория-
ларды табу керек, яғни көрсетілген сызықтар жиынтығын ортого-
налды қиятын сызықтарды табу керек.
20. Жанамасының астындағы жанасу нүктесінің абсциссасы-
нан екі есе үлкен болатын сызықты табу керек.
21. Жанамасының ордината осінен қиятын кесіндісі жанасу 
нүктесінің абсциссасына тең болатын сызықты табу керек.
22. Сызықтар жиынтығына 
2
2
2
x
y
ax
+
=
ортогонал болатын 
траекторияларды табу керек.
23. Дененің ауада салқындау жылдамдығы, дене мен ауа 
температураларының айырмасына пропорционал деп, келесі 
есепті шешу керек: егер ауаның температурасы 20°С-қа тең жəне 
20 минут ішінде дене 100°-тан 60°С-қа дейін салқындаса, қанша 
уақытта дене темпуратурасы 30°С-қа жетеді?
24. Моторлы қайық тыныш суда 10 км/сағ жылдамдығымен 
қозғалады. Толық жүрісі кезінде мотор өшірілгенде 20 сек. 
кейін жылдамдығы 
=
1
ϑ
6 км/сағ болсын. Судың кедергісі қайық 
қозғалысының жылдамдығына пропорционал дей отырып, мотор 
тоқтатылғаннан 2 мин. өткендегі қайық жылдамдығын анықтау 
керек.
25. Берілген нүктеден шығатын барлық сəулелерді, берілген 
бағытқа параллель шағылыстыратын айнаның формасын табу ке-
рек.
26. 
.
4
2
2
=
+
′
y
y
27. Осьтер арасындағы жанама кесіндісі жанасу нүктесінде 
қақ бөлінетін сызықты табу керек.
28. 
.
5
2
4
2
+
−
−
−
=
′
y
x
x
y
y
29. 
.
0
1
2
=
+
+
−
′
y
x
y
y

42
30. Теңдеуді сандық əдіспен интегралдау керек: 
2
,
y
x
y
= +
′
0
0
0 5
( )
. ( , )
y
y
=
мəнін 0,01 дəлдікпен табу қажет .
31. Сандық əдіспен интегралдап 
3
2
0
0
, ( )
,
y
xy
x
y
=
+
=
′
)
6
,
0
(
y
мəнін 0,01 дəлдікпен табу керек.
32. 
2
1 31
0 2
0
2
,
,
, ( )
.
y
x
y
y
=
−
=
′
y
-тің 15 мəнін 
0 02
,
h
=
қада-
мымен анықтау керек.
33. 
.
2
2
y
y
x
y
′
−
′
=
34. 
.
)
cos(
y
x
y
−
=
′
35. Изоклин əдісімен теңдеудің 
2
2
y
x
y
−
=
′
интегралдық сы-
зықтары жиынтығының жобасын тұрғызу керек.
36. 
2
2
1
2
0
(
)
(
)
x
y
dx
x
y
dy
+
−
+
+ −
=
37. 
.
0
2
3
=
′
−
′
x
e
y
y
38. Параболаларға 
2
2
2
y
ax
a
+
=
ортогонал траекторияларды 
табу керек.
39. Теңдеудің
2
5
y
y
x
y
′
−
′
=
ерекше шешімі бар ма?
40. Теңдеудің 
0
)
1
(
,
2
=
−
=
′
y
y
x
y
жуықтау əдісімен шешу ке-
рек. (
1
y
жəне 
2
y
-ні анықта)
41. 
2
1
x
y
y
x
dx
x
=
+
∫
42. Теңдеуді
2
5
3
+
−
=
′
y
x
y
ерекше шешімі бар ма?
43. 
2
0
(
)
.
x
y ydx
x dy
−
−
=
44. 
2
3
y
cx
=
жиынтығына ортогоналды траекторияларды 
анық тау керек.
45. 
5
10
2
1
2
, ( )
.
x
x
t
x
+
=
+
=
46. 
.
4
)
2
(
,
3
2
=
+
=
x
t
x
t
x
x
47. 
.
1
)
2
(
,
2
−
=
′
+
′
=
y
y
y
x
y
48. 
.
1
)
1
(
,
2
−
=
′
+
′
=
y
y
y
x
y
49. 
3
4
2
3
4
3
.
dy
x
y
dx
x
y
−
−
=
−
−

43
50. 
.
sin
4
t
xctgt
x
=
−
51. 
.
2
2
2
2
y
x
y
x
y
′
+
′
+
=
52. 
.
0
3
2
3
=
+
−
′
y
x
x
y
y
53. 
.
)
1
(
2
a
y
y
=
′
+
54. 
2
2 2
0
(
)
(
)
.
x
y dx
x y
x dy
−
+
+
=
55. Теңдеудің 
2
2
3
2
3
0
(
)
(
)
y
x dx
y y
x dy
−
+
−
=
интегралдауыш 
көбейткішін 
)
(
2
y
x
+
=
μ
μ
табу керек.
56. 
2
0
(
)
.
x
y ydx
x dy
−
−
=
57.
.
1
3
y
x
y
x
y
+
−
−
+
=
′
58. 
2
0
ln
.
xy
y
x
y
−
+ =
′
59. 
2
1
2
0
(
)
cos
.
x
y
xy
x
−
+
−
=
′
60. 
.
0
1
2
)
3
2
4
(
=
−
−
−
′
+
+
x
y
y
x
y
61. 
.
0
)
(
2
2
=
+
−
′
−
x
y
y
x
y
62. 
2
2
2
0
(
)
.
y
x y
xy
−
+
=
′
63. 
2
3
3
2
0
.
xy y
y
x
+
−
=
′
64. 
.
,
0
)
(
2
const
a
y
y
a
x
y
−
=
−
′
+
+
′
65. 
.
0
2
2
=
+
′
−
′
y
y
x
y
66. 
.
0
2
2
2
=
−
′
+
′
y
ctgx
y
y
y

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: