Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

233
0
)
,...,
,
(
1
1
=
−
n
F
ψ
ψ
ψ
(14)
Бірінші интегралдар 
ψ
1
(
x
1
, ..., 
x
n
)=
c
i
i
=1, 
n
–1 тəуелсіз, онда,
Якобианның 
)
,...,
,
(
)
,...,
,
,
(
2
1
1
2
1
n
n
x
x
x
D
D
−
ψ
ψ
ψ
ψ
кемінде бір (
n
–1)-ретті миноры 
.
0
)
,...,
,
(
)
,...,
,
,
(
1
2
1
1
2
1
≠
−
−
n
x
x
x
D
D
n
α
α
α
ψ
ψ
ψ
ψ
Демек, теңдеуді (14) мына түрде деп түсінуге болады 
1
2
1
( , ,...,
).
n
ψ
ψ ψ
ψ
−
= Φ
5-мысал
. Теңдеуді интегралдау керек 
∑
=
=
∂
∂
n
i
i
i
x
z
x
1
.
0
Шешуі. Сипаттамаларды анықтайтын теңдеулер жүйесі: 
1
2
1
2
...
.
n
n
dx
dx
dx
x
x
x
=
= =
Тəуелсіз бірінші интегралдары:
1
1
2
2
1
1
,...,
,
−
−
=
=
=
n
n
n
n
n
c
x
x
c
x
x
c
x
x
болғандықтан, берілген теңдеудің жалпы шешімі: 
1
1
2
, ,...,
,
n
n
n
n
x
x
x
z
x
x
x
−
⎛
⎞
= Φ⎜
⎟
⎝
⎠
Φ кез келген нөл өлшемді біртекті функция.
Бұл есеп арқылы Эйлер теоремасы дəлелденді: дифферен-
циалданатын 
k
-өлшемді біртекті функция 
f
(
tx
1
, 
tx
2
, ..., 
tx
n
)=
=
t
k
f
(
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
n
) үшін келесі теңдік орынды 
1
2
1
1
1
2
( )
( )
( )
...
( ,..., ),
( ,..., ).
n
n
n
n
f x
f x
f x
x
x
x
kf x
x
x
x
x
x
x
x
∂
∂
∂
+
+ +
=
=
∂
∂
∂
Біртекті емес
16–684

234
)
,
,...,
(
)
,
,...,
(
1
1
1
z
x
x
Z
x
z
z
x
x
n
i
n
n
i
i
=
∂
∂
Χ
∑
=
(15)
теңдеуінің шешімі 
0
)
,
,...,
(
1
=
z
x
x
u
n
(16) 
түрінде іздестіріледі. Мұндағы 
X
i
(
x,z
)
, Z
(
x, z
) ункциялары қа-
растырылып отырған аумақта үзіліссіз, 
0
≠
∂
∂
z
u
деп алынады.
Функция 
z
=
z(x
1
, ..., 
x
n
) теңдеуден (16) анықталды десек, 
u
(
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
n
,
 z
(
x
1
, 
x
2
, ..., 
x
n
))≡0
тепе-теңдігінің көмегімен 
1
2
1
2
1
( , ,..., , )
( , ,..., , )
0
n
i
n
n
i
i
u
u
x x
x z
x x
x z
x
z
=
∂
∂
Χ
+ Ζ
=
∂
∂
∑
(17)
біртекті теңдеуін аламыз. Ал біртекті теңдеуді шешу жолы белгілі.
Сипаттамалар жүйесін құрамыз
1
2
1
2
...
,
( , )
( , )
( , )
( , )
n
n
dx
dx
dx
dz
x z
x z
x z
x z
=
= =
=
Χ
Χ
Χ
Ζ
(18)
n
тəуелсіз бірінші интегралдарын анықтаймыз:
.
)
,
,...,
(
..
..........
..........
..........
,
)
,
,...,
(
,
)
,
,...,
(
1
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
c
z
x
x
c
z
x
x
c
z
x
x
=
=
=
ψ
ψ
ψ
Онда теңдеудің (17) жалпы шешімі 
u
=Φ(
ψ
1
, 
ψ
2
, ..., 
ψ
n
)
Φ-кез келген функция.
Теңдеудің (15) кез келген функциядан тəуелді шешімі 
Z
келесі 
теңдеулерден 
u=
(
x
1
, ..., 
x
n
,
 z
)=0
 
немесе Φ(
ψ
1
, 
ψ
2
, ..., 
ψ
n
)=0 анықталады.
Бұдан басқа да арнайы деп аталатын шешімдері табылуы 
мүмкін.
Нақты есептерде (15) теңдеудің бастапқы шарттарды орын-
дайтын шешімдері іздестерілетін жағдайлар да кездеседі. 

235
§28. Пфаффа теңдеулері
Үзіліссіз векторлық өрістерді
( , , )
( , , )
( , , )
F
P x y z i
Q x y z j
R x y z k
=
+
+
зерттегенде векторлық сызықтар жəне векторлық беттерді ға-
на тауып қоймай, векторлық сызықтарға ортогонал беттерді
U
(
x, y, z
) =
c
табу есебі де кездеседі. Бұндай беттердің теңдеуі мына 
түрде беріледі 
0
=
⋅
t
F
, 
t
-ізделінді беттерге жанама жазықтықта 
жататын вектор: 
t
idx
jdy
kdz
=
+
+
. Ашып жазсақ,
P
(
x, y, z
)
dx+Q
(
x, y, z
)
dy+R
(
x, y, z
)
dz
=0 (1)
Пфаффа теңдеулерін аламыз.
Өріс потенциалды болса, 
F=gradU
немесе
P
(
x, y, z
)=
( , , ) ,
U x y z
x
∂
∂
,
)
,
,
(
)
,
,
(
,
)
,
,
(
)
,
,
(
z
z
y
x
U
z
y
x
R
y
z
y
x
U
z
y
x
Q
∂
∂
=
∂
∂
=
ізделінді беттер 
U
(
x, y, z
) =
c
осы потенциалды функцияның 
U 
деңгейлік беттері. Бұл жағдайда ізделінді беттер оңай табылады:
.
)
,
,
(
)
,
,
(
0
0
0
∫
+
+
=
z
y
x
z
y
x
Rdz
Qdy
Pdx
U
Сызықтық интеграл (
x
0
, y
0
, z
0
) жəне (
x, y, z
) нүктелерін 
қосатын кез келген сызықтың бойымен интегралданады.
Өріс потенциалды емес болса, кейде скалярлы 
μ
(
x, y, z
) көбейт-
кішінің көмегімен потенциалды ету мүмкіндіктері кездеседі.
Мұндай көбейткіш бар десек, 
gradU
F
=
μ
немесе 
,
,
,
z
U
R
y
U
Q
x
U
P
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
μ
μ
μ
ал бұдан 
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
z
P
x
R
y
R
z
Q
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
μ
μ
μ
μ
μ
μ
немесе 

236
.
1
,
1
,
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
x
R
z
P
z
P
x
R
z
Q
y
R
y
R
z
Q
y
P
x
Q
x
Q
y
P
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
Бұл тепе-теңдіктердің біріншісін 
R
-ге, екіншісін 
P
-ға, үшін -
шісін 
Q
-ге көбейтіп қосу нəтижесінде интегралдауыш 
μ
кө бейіт-
кішінің бар болуы белгісін аламыз:
0
P
Q
Q
R
R
P
R
P
Q
y
x
z
y
x
z
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
−
+
−
+
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
немесе 
,
0
=
⋅
rotF
F
мұндағы, 
.
R
Q
P
R
Q
P
rotF
i
j
k
y
z
z
x
x
y
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
=
−
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
Теңдеудің (1) толық интегралдануы белгісі аталатын бұл шарт 
орындалмаса, өрістің 
F
(
x, y, z
) векторлық сызықтарына ортогонал 
беттер 
U
(
x, y, z
) =
c
тобы жоқ.
Сонымен, 
F 
векторлық өрісінің векторлық сызықтарына ор-
тогонал беттер тобы 
U
(
x, y, z
) =
c
бар болуы үшін, 
F 
жəне 
rotF
векторларының ортогоналды, яғни 
0
≡
⋅
rotF
F
болуы қажет.
Бұл шарт 
,
0
≡
⋅
rotF
F
кейде Пфаффа теңдеулерінің 
Pdx+Qdy+Rdz=
0 бір қатынаспен 
U
(
x, y, z
) =
c
интегралданғыш-
тық белгісі деп те аталады.
Кейде векторлық өріске ортогонал беттің орнына ортогонал 
сызықтар тобын анықтау талап етіледі, яғни айтқанда, Пфаффа 
теңдеуін екі қатынаспен
U
1
(
x, y, z
)=
c
жəне
U
2
(
x, y, z
) =
c
(2) 

237
интегралдауға тура келеді. Бұл сызықтарды табу үшін (2) тең-
деулердің біреуін кез келген түрде беріп: 
U
1
(
x, y, z
)=0 (3)
осы теңдеудің көмегімен (1) теңдеудің бір айнымалысын, мысалы 
z
-ті, жоюмен алынған 
M
(
x, y
)
dx
+
N
(
x, y
)
dy
=0 теңдеуін шешеміз. 
Нəтижесінде 
U
1
(
x, y, z
)=
c
бетінде жататын ізделінді сызықтар-
ды табамыз.
Векторлық сызықтарға ортогонал беттердің бар болуы үшін 
,
0
≡
⋅
rotF
F
шартының орындалуы қажетті ғана емес, жеткілікті 
екендігіне де көзжеткізе аламыз.
Ізделінді 
U
(
x, y, z
)=
c
беттерінде 
P
(
x, y, z
)
dx+Q
(
x, y, z
)
dy+
+R
(
x, y, z
)
dz
≡0 немесе осы бетте жататын кез келген 
L 
сызығы 
бойынша 
∫
=
+
+
L
Rdz
Qdy
Pdx
0
(4)
болуы керек.
Өрістің 
rotF
векторлық беттерін қарастырсақ, Стокс теоремасы 
бойынша 
,
C
D
Fdr
rotF nd
δ
=
⋅
∫
∫∫
,
dr
idx
jdy
kdz
=
+
+
кез келген тұйық сызық бойынша интеграл 
(4) нөлге тең. Құйындық беттер ішінен тұйықталмаған сызықтар 
бойынша да интегралдары 
∫
∫
+
+
=
L
L
Rdz
Qdy
Pdx
Fdr
нөлге айналатындарын алуға болады. Бұндай 
M
(
x
0
, y
0
, z
0
)нүк-
тесінен өтетін бетті, осы нүктеден өрістің 
F
векторлық сызық-
тарына ортогонал болатындай сызықты жүргізу арқылы құрамыз. 
Бұл сызықтар 
0
=
+
+
Rdz
Qdy
Pdx
(1)
теңдеуі жəне 
M
нүктесінен өтетін кез келген 
Z
=
f
(
x, y
) бетімен 
анықталады, көбіне бет 
Z
=
f
1
(
x
) немесе 
Z
=
f
1
(
y
), кейде 
Z
=
a
түрінде 
алынады.
Z
=(
x, y
)-ті теңдеуге (1) қойып, алынған 

238
M
(
x, y
)
dx+N
(
x, y
)
dy
=0 
теңдеуін 
y
(
x
0
)=
y
0
бастапқы шартымен интегралдасақ, 
M
(
x
0
, y
0
, z
0
)
нүктесінен өрістің векторлық сызықтарына ортогонал болып 
өтетін, ізделінді 
l 
сызығын табамыз. 

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: