§ 31. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері

258
2
2
sin
cos
)
cos(
ω
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
+
−
→
+
p
p
t
. (14)
3.
,
2
t
t
e
e
sh t
ω
ω
ω
−
−
=
2
t
t
e
e
ch t
ω
ω
ω
−
+
=
.
2
2
,
sh t
p
ω
ω
ω
→
−
2
2
p
ch t
p
ω
ω
→
−
. (15)
2.
Ұқсастық теоремасы
λ
∀
-тұрақтысында
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
λ
λ
λ
p
F
t
f
1
)
(
(16) 
Дəлелдеуі. 
0
( )
( )
pt
f
t
f
t e
dt
λ
λ
∞
−
→
∫
. Интегралда алмастыру 
енгізсек
1
1
1
,
t
t
dt
dt
λ
λ
=
=
1
1
1
1
0
1
1
( )
( )
p
t
p
f
t
f t e
dt
F
λ
λ
λ
λ
λ
∞
−
⎛ ⎞
→
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
.
Мысалы 
1
1
sin
2
+
→
p
t
. Онда
2
2
2
1
1
1
sin
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
p
p
t
.
3. Өшу теоремасы.
Кез келген нақты немесе комплекс 
a
саны үшін: 
( )
(
)
at
e f t
F p
a
→
−
. (17)
Дəлелдеуі
(
)
0
0
( )
( )
( )
at
at
pt
p a t
e f t
e f t e
dt
f t e
dt
∞
∞
−
− −
→
=
=
∫
∫
F
(
p – a
).
Мысалдар. 
(
)
2
2
sin
at
e
t
p
a
ω
ω
ω
→
−
+
,

259
(
)
2
2
cos
at
p
a
e
t
p
a
ω
ω
−
→
−
+
,
(
)
2
2
at
e sh t
p
a
ω
ω
ω
→
−
−
,
(
)
2
2
at
p
a
e ch t
p
a
ω
ω
−
→
−
−
.
Жоғарыда айтылған теоремалардан келесі формулаларды қо-
рытуға болады
[
]
1
( )cos
(
)
(
) ,
2
f t
t
F p
i
F p
i
ω
ω
ω
→
−
+
+
[
]
1
( )sin
(
)
(
) .
2
f t
t
F p
i
F p
i
i
ω
ω
ω
→
−
−
+
4. Кешігу теоремасы
0
>
∀
τ
тұрақтысы үшін
)
(
)
(
p
F
e
t
f
p
τ
τ
−
→
−
. (18)
Дəлелдеуі. 
0
(
)
(
)
(
)
pt
pt
f t
f t
e
dt
f t
e
dt
τ
τ
τ
τ
∞
∞
−
−
− →
−
=
−
∫
∫
, се-
бебі 
)
,
0
(
τ
аралығында 
0
)
(
=
−
τ
t
f
. Алмастыру 
1
t
t
=
−
τ
жасасақ,
1
1
(
)
1
1
1
1
0
0
(
)
( )
( )
.
p t
pt
pt
p
f t
e
dt
f t e
dt
e
f t e
dt
τ
τ
τ
τ
∞
∞
∞
−
+
−
−
−
−
=
=
∫
∫
∫
Сирек болса да озу теоремасы да қолданылады:
0
(
)
( )
( )
.
p
pt
f t
e
F p
f t e
dt
τ
τ
τ
−
⎡
⎤
+ ↔
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(19)
Параметрден тəуелді түпнұсқа функциялар да қарастырыла-
ды. Функция 
)
,
(
x
t
f
белгілі 
x
мəндерінде түпнұсқа десек, оның 
бейнесі:
0
( , )
( , )
.
pt
F p x
f t x e
dt
∞
−
=
∫
(20)

260
Параметрден тəуелді интеграл (20) интеграл астында диффе-
ренциалдану шартын орындаса,
0
( , )
( , )
.
pt
F p x
f t x
e
dt
x
x
∞
−
∂
∂
=
∂
∂
∫
5. Параметр бойынша дифференциалдау теоремасы.
Егер 
x
∀
мəнінде 
)
,
(
x
t
f
түпнұсқасына 
)
,
(
x
p
F
бейнесі 
сəйкестендірілсе, онда:
x
x
p
F
x
x
t
f
∂
∂
→
∂
∂
)
,
(
)
,
(
. (21)
Теореманың қолданыстарына тоқталайық.
1
at
e
p
a
→
−
белгі формасында параметр 
a
бойынша диф-
ференциалдасақ ,
(
)
2
1
.
at
te
p
a
→
−
Бірнеше рет диференциалдасақ,
(
)
(
)
(
)
2
3
3
4
1
2
3!
!
,
,
,
at
at
n
at
n
n
t e
t e
t e
p
a
p
a
p
a
+
→
→
→
−
−
−
…
.
Егер 
a
= 0 десек 
1
3
2
2
!
,
,
2
,
1
+
→
→
→
n
n
p
n
t
p
t
p
t
…
.
Дəл осылайша 
ω
параметрі бойынша дифференциалдау нəти-
жесінде 
2
2
2
2
sin
, cos
p
t
t
p
p
ω
ω
ω
ω
ω
→
→
+
+
. формулаларынан 
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
, sin
.
p
p
t
t
t
t
p
p
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
→
→
+
+
Түпнұсқа 
t
= 0 нүктесінде үзілісті болатын жағдайлар да 
кездеседі. Онда
)
(
lim
)
0
(
0
0
t
f
f
t
t
>
→
=
(22)
деп түсінеміз. Осы сияқты туындысы да үзілісті кезінде

261
)
('
lim
)
0
('
0
0
t
f
f
t
t
>
→
=
(23)
деп қабылдаймыз. 
6. Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы 
Егер 
)
(
)
(
p
F
t
f
→
болса, онда: 
'( )
( )
(0).
f t
pF p
f
→
−
(24)
Дербес 
0
)
0
(
=
f
жағдайда,
'( )
( ).
f t
pF p
→
(25)
Дəлелдеуі. 
0
'( )
'( )
pt
f t
f t e
dt
∞
−
→
∫
, 
0
,
'( )
'( ) ,
( )
pt
pt
pt
u
e
du
pe
dt
f t e
dt
d
f t dt
f t
ϑ
ϑ
∞
−
−
−
=
= −
=
=
=
=
∫
0
( )
( )
0
pt
pt
f t e
p f t e
dt
∞
−
−
∞
=
+
∫
.
Түпнұсқаның 
( )
t
f t
Me
α
≤
теңсіздігіне байланысты, егер 
Re
p
>
α
болса, онда
(
)
Re
( )
0,
.
p t
pt
f t e
Me
t
α −
−
<
→
→ ∞
Демек 
'( )
( )
(0)
f t
pF p
f
→
−
.
Теореманы бірнеше рет қайталап қолдансақ,
[
]
2
''( )
( )
(0)
'(0)
( )
(0)
'(0),
f
t
p pF p
f
f
p F p
pf
f
→
−
−
=
−
−
2
3
2
'''( )
( )
(0)
'(0)
''(0)
( )
(0)
f
t
p p F p
pf
f
f
p F p
p f
⎡
⎤
→
−
−
−
=
−
−
⎣
⎦
'(0)
''(0),
pf
f
−
−
… … … … … … … … … … … … … … … … … …
)
0
(
)
0
('
)
0
(
)
(
)
(
)
1
(
2
1
)
(
−
−
−
−
−
−
−
→
n
n
n
n
n
f
f
p
f
p
p
F
p
t
f
…
. (26) 
Бастапқы шарттар 
0
)
0
(
)
0
('
)
0
(
)
1
(
=
=
=
=
−
n
f
f
f
…
болғанда,
)
(
)
(
)
(
p
F
p
t
f
n
n
→
. (27)

262
Дифференциалдау операциясынан екі маңызды салдар туын-
дайды.
1. Егер 
f
′(
t
) түпнұсқа, ал 
F
(
p
) шексіздікте аналитикалық функ-
ция болса, онда: 
lim
( )
(0).
p
pF p
f
→∞
=
(28)
Дəл осылайша егер 
f
′′(
t
) түпнұсқа болса, онда:
2
lim
( )
(0)
'(0)
p
p F p
pf
f
→∞
⎡
⎤
−
=
⎣
⎦
.
Формуланы (28) жəй мысалдарда тексерейік:
2
2
sin
t
p
ω
ω
ω
→
+
онда:
0
sin
0
lim
2
2
=
=
+
∞
→
ω
ω
p
p
p
,
2
2
cos
p
t
p
ω
ω
→
+
онда:
0
cos
1
lim
2
2
=
=
+
∞
→
ω
p
p
p
p
.
2. Егер
f
′(
t
) түпнұсқа болып,
f
(
t
) функциясының 
t→∞
шегі 
бар болса, онда:
0
lim
( ) lim ( )
( ).
p
t
pF p
f t
f
→
→∞
=
=
∞
(29)
Егер 
F
(
p
) функциясы үшін 
p
= 0 дұрыс нүкте болса, онда 
0
)
(
lim
0
=
→
p
F
p
. Осы себепті формула (29) қызықты, егер 
p
= 0 бей-
не үшін 
F
(
p
) ерекше нүкте болса. 
Салдарды ерекше сақтықпен қолдану керек. Алдын ала 
)
(
)
(
lim
∞
=
∞
→
f
t
f
t
шегі бар екендігіне көз жеткізбесек дұрыс емес 
нəтижелер алуымыз мүмкін.
2
2
sin
t
p
ω
ω
ω
→
+
жəне
0
lim
2
2
0
=
+
→
ω
ω
p
p
p
,
ал мұнда 
limsin
t
t
ω
→∞
шегі жоқ, демек (29) формула қолданылмайды.
Бірлік 
η
(
t
) функцияның 
1
)
(
lim
=
∞
→
t
t
η
екендігі белгілі, демек 
формуланы (29) қолдануға болады:
1
1
lim
0
=
→
p
p
p
.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: