Қазақстан Республикасының ғылым және білім министрлігі
жүктеу/скачать 1,18 Mb. Pdf көрінісі
|
Мысалдар. 1) s 2 = x 1 2 + x 2 2 +…+ x n 2 = (x 1 + x 2 +…+ x n ) 2 – 2(x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n ) =
1 2 – 2 2 . 2) Кез келген үшінші дәрежелі симметриялы f көпмүшесі S(x 1
2
3 ), S(x 1 2
2 ) және S(x 1 3 ) көпмүшелерінің сызықтық комбинациясы болады. Осы көпмүшелердің жоғарғы мүшелері x 1
2
3 , x 1 2
2 және x 1 3 болады, олардың дәреже көрсеткіштеріне сәйкесінше лексикографиялық өспелі ретте (1, 1, 1), (2, 1, 0) және (3, 0, 0). Ең төменгісі (1, 1, 1) көрсеткіштеріне сәйкес S(x 1
2
3 ) көпмүшесі өзі элементар симметриялы көпмүше болады: S(x 1
2
3 ) = 3 . Енді жоғарғы мүшесінің көрсеткіштер векторы (2, 1, 0) болатын S(x 1 2 x 2 ) көпмүшесін элементар симметриялы көпмүшелер арқылы өрнектейік. 1-Теорема бойынша, S(x 1 2 x 2 ) және 1 2–1 2 1–0 3 0 ... n 0
көпмүшелерінің жоғарғы мүшелері тең болады, сондықтан f 1 = S(x 1 2
2 ) –
1 2–1 2 1–0 3 0 ... n 0 көпмүшесінің жоғарғы мүшесінің көрсеткіштер векторы (1, 1, 1) болады. Сөйтіп, f 1 = S(x 1 2
2 ) –
1 1 2 1 = S(x 1 2 x 2 ) – (x 1 +
x 2 +…+ x n )( x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n ). Ал (x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n ) көбейтіндісі S(x 1
2
3 ) және
S(x 1 2 x 2 ) көпмүшелерінің сызықтық комбинациясы болады: (x 1 + x 2 +…+ x n )( x 1
2 + x 1 x 2 +…+ x n–1 x n ) =
S(x 1 2 x 2 ) + S(x 1 x 2
3 ) = k(x 1 2
2 + x 1 2
3 +…) + m(x 1 x 2
3 +…). Ал k = 1 болатыны жоғары айтылған, өйткені S(x 1 2 x 2 ) – 1 1 2 1 және S(x 1 2 x 2 ) көпмүшелерінің жоғарғы мүшелері тең. Екі (x 1 + x 2 +…+ x n )( x 1
2 + x 1 x 2
+…+ x n–1 x n ) жақшаны көбейткенде x 1
2
3 мүшесі 3 жолмен шығады: бірінші жақшада x 1 қосындысын екінші жақшадағы x 2
3 қосындысын, бірінші жақшада x 2 қосындысын екінші жақшадағы x 1
3
қосындысын және бірінші жақшада x 3 қосындысын екінші жақшадағы x 1 x 2 қосындысына көбейткенде. Сондықтан осы екі жақшаны көбейткенде x 1
2
3 көбейтісінің коэффициенті 3-ке тең: m = 3. Осыдан f 1 =
(x 1 + x 2 +…+ x n )( x 1
2 + x 1 x 2 +…+ x n–1 x n ) = (x 1 2
2 + x 1 2
3 +…) + 3(x 1
2
3 +…), S(x 1 2
2 ) –
1
2 = S(x 1 2
2 ) –
[(x 1 2 x 2 + x 1 2
3 +…) + 3(x 1 x 2
3 +…)], S(x 1 2
2 ) –
1
2 = – 3(x 1 x 2
3 +…). Онда S(x 1 2
2 ) =
1
2 – 3(x 1 x 2
3 +…) =
1
2 – 3 3 . Осыдан S(x 1 2
2 ) =
1
2 – 3 3 . Енді S(x 1 3 ) көпмүшесін қарайық. f 2 = S(x 1 3 ) – 1 3–0 2 0–0 3 0 ... n 0 = S(x 1 3 ) – 1 3 = S(x 1 3 ) – (x 1 + x 2 +…+ x n ) 3 . Ал (x 1 + x 2 +…+ x n ) 3 дәрежесі S(x 1
2
3 ), S(x 1 2
2 ) және S(x 1 3 ) көпмүшелерінің сызықтық комбинациясы болады: (x 1 + x 2 +…+ x n ) 3 = S(x 1 3 ) + kS(x 1 2 x 2 ) + mS(x 1 x 2
3 ). Үш (x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1 + x 2
+…+ x n ) жақшаны көбейткенде x 1 2
2 мүшесі 3 жолмен табылады:
1 x 2
x 1
x 1
2 x 1
x 2
x 1
3 x 1
x 1
x 2
Сондықтан k = 3. Ал осы үш жақшаны көбейткенде x 1
2
3 көбейтіндісі 6 рет шығады:
1-жақша 2-жақша 3-жақша 1 x 1
x 2
x 3
2 x 1
x 3
x 2
3 x 2
x 1
x 3
4 x 2
x 3
x 1
5
3
x 1
x 2
6
3
x 2
x 1
Сондықтан m = 6. Сөйтіп, (x 1 + x 2 +…+ x n ) 3 = S(x 1 3 ) + 3S(x 1 2 x 2 ) + 6S(x 1 x 2
3 ). Осыдан S(x 1 3 ) – 1 3 = S(x 1 3 ) – [S(x 1 3
1 2
2 ) + 6(x 1 x 2
3 )], S(x 1 3 ) – 1 3 = –3S(x 1 2 x 2 ) – 6(x 1 x 2
3 ), S(x 1 3 ) = 1 3 –3S(x 1 2 x 2 ) – 6(x 1 x 2
3 ). Ал
S(x 1 2 x 2 ) = 1
2 – 3 2 , сондықтан S(x 1 3 ) = 1 3 –3( 1
2 – 3 3 )– 6(x 1 x 2
3 ) =
1 3 –3 1
2 + 3 3 . 3) 4-дәрежелі симметриялы көпмүше S(x 1
2
3
4 ), S(x 1 2
2
3 ), S(x 1 2
2 2
1 3
2 ) және S(x 1 4 ) көпмүшелерінің сызықтық комбинациясы болады. Осы көпмүшелерді элементар симметриялы көпмүшелер арқылы өрнектейік. а) S(x 1
2
3
4 ) көпмүшесі өзі элементар симметриялы көпмүше болады: S(x 1 x 2
3
4 ) = 4 . ә) S(x 1 2 x 2
3 ) –
1 2–1 2 1–1 3 1–0 4 0 ... n 0 = S(x 1 2
2
3 ) – 1
3 = S(x 1 2
2
3 ) – (x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1
2
3 + …+ x n–2 x n– 1
n ). Соңғы екі жақшаның көбейтіндісі S(x 1
2
3
4 ), S(x 1 2
2
3 ) көпмүшелерінің сызықтық комбинациясы болады: (x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1
2
3 + …+ x n–2 x n–1 x n ) = kS(x 1 2
2 x 3 ) + mS(x 1 x 2
3
4 ). Жақшаларды көбейткенде x 1 2 x 2
3 мүшесі бір-ақ рет шығады: бірінші жақшадағы x 1 мүшесін екінші жақшадағы x 1
2
3 мүшесіне көбейткенде. Сондықтан k = 1. Ал x 1
2
3
4 көбейтіндісі 4 рет шығады:
1-жақша 2-жақша 1 x 1
x 2
3
4
2 x 2
x 1
3
4
3 x 3
x 1
2
4
4 x 4
x 1
2
3
Сондықтан m = 4. Осыдан (x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1
2
3 + …+ x n–2 x n–1 x n ) = S(x 1 2
2 x 3 ) + 4S(x 1 x 2
3
4 ) және S(x 1 2
2
3 ) – 1
3 = S(x 1 2
2
3 ) – [S(x 1 2
2
3 ) + 4S(x 1 x 2
3
4 )], S(x 1 2
2
3 ) – 1 1 3 1 = –4S(x 1
2
3
4 ), S(x 1 2
2
3 ) = 1
3 –
1 x 2
3
4 ) = 1
3 – 4
4 . б) S(x 1 2 x 2 2 ) – 1 2–2 2 2–0 3 0 ... n 0 = S(x 1 2
2 2
2 2 = S(x 1 2 x 2 2 ) – (x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n )(x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n– 1
n ). Соңғы екі жақшаның көбейтіндісі S(x 1 2
2 2 ), S(x 1 2
2
3 ), S(x 1 x 2
3
4 ) көпмүшелерінің сызықтық комбинациясы болады: (x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n )(x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n ) = S(x 1 2
2 2 ) + kS(x 1 2
2
3 ) + mS(x 1
2
3
4 ). Ал осы екі жақшаны көбейткенде x 1 2
2
3 көбейтіндісі 2 рет шығады: 1-жақшадағы x 1
2 мүшесін 2-жақшадағы x 1 x 3 мүшесіне және 1-жақшадағы x 1 x 3 мүшесін 2-жақшадағы x 1
2 мүшесіне көбейткенде. Сондықтан k = 2. Ал x 1
2
3
4 көбейтіндісі 6 рет шығады:
1-жақша 2-жақша 1 x 1
2
3 x 4
2 x 1
3
2 x 4
3 x 1
4
2 x 3
4 x 2
3
1
4
5
2
4
x 1
3
6
3
4
x 1
2
Сондықтан m = 6. Осыдан S(x 1 2
2 2
2 2 3 = S(x 1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2
3 ) + 6S(x 1 x 2
3
4 )] = –2S(x 1 2
2
3 ) – 6S(x 1
2
3
4 ). Сөйтіп S(x 1 2
2 2
2 2 3 = –2S(x 1 2
2
3 ) – 6S(x 1 x 2
3
4 ), S(x 1 2
2 2
2 2 3 –2S(x 1 2
2
3 ) – 6S(x 1
2
3
4 ). Енді S(x 1 2
2
3 ) көпмүшесіне табылған формулаы пайдаланамыз: S(x 1 2
2 2
2 2 –2( 1
3 – 4
4 ) – 6 4 = 2 2 –2 1
3 + 2
4 . в) S(x 1 3 x 2 ) – 1 3–1 2 1–0 3 0 ... n 0 = S(x 1 3
2 ) –
1 2 2 = S(x 1 3
2 ) – [(x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1
2 + x 1 x 3
+…+ x n–1 x n )]. Квадрат жақшадағы үш жақшаның көбейтіндісі болады: S(x 1 3
2 ), S(x 1 2
2 2 ), S(x 1 2
2
3 ), S(x 1
2
3
4 ) көпмүшелерінің сызықтық комбинациясы болады: (x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1
2 + x 1 x 3
+…+ x n–1 x n ) = S(x 1 3
2 ) + tS(x 1 2
2 2 ) + kS(x 1 2
2
3 ) + mS(x 1 x 2
3
4 ). Осы жақшаларды көбейткенде x 1 2 x 2 2 көбейтіндісі 2 рет шығады: 1-жақшадағы x 1 мүшесін, 2-жақшадағы x 2 мүшесін және 3-жақшадағы x 1
2 мүшесін және 1-жақшадағы x 2 мүшесін, 2-жақшадағы x 1 мүшесін және 3-жақшадағы x 1
2 мүшесін көбейткенде. Сондықтан t = 2. Ал x 1 2 x 2
3 көбейтіндісі 5 рет шығады:
1-жақша 2-жақша 3-жақша 1 x 1
x 1
x 2
3
x 1
x 2
x 1
3
x 2
x 1
x 1
3
x 1
x 3
x 1
3
5
3
1
x 1
3
Сондықтан k = 5. x 1
2
3
4 көбейтіндісі 12 рет шығады:
1-жақша 2-жақша 3-жақша 1 x 1
x 2
x 3
4
x 2
x 1
x 3
4
x 1
x 3
x 2
4
4 x 3
x 1
x 2
4
5
1
4
x 2
3
6
4
1
x 2
3
7
2
3
1
4
8 x 3
x 2
x 1
4
x 2
x 4
x 1
3
x 4
x 2
x 1
3
11
x 3
x 4
x 1
2
12
x 4
x 3
x 1
2
Осыдан m = 12. Сөйтіп, (x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1 + x 2 +…+ x n )(x 1
2 + x 1 x 3 +…+ x n–1 x n ) = S(x 1 3
2 ) + 2S(x 1 2
2 2 ) + 5S(x 1 2 x 2
3 ) + 12S(x 1 x 2
3
4 ). Осыдан S(x 1 3
2 ) –
1 2 2 = S(x 1 3
2 ) – [S(x 1 3
2 ) + 2S(x 1 2
2 2
1 2
2
3 ) + 12S(x 1
2
3
4 )] = –2S(x 1 2
2 2
1 2
2
3 ) – 12S(x 1 x 2
3
4 ) және S(x 1 3
2 ) =
1 2 2 –2S(x 1 2
2 2
1 2
2
3 ) – 12S(x 1
2
3
4 ) =
1 2 2 – 2( 2 2 –2 1
3 + 2
4 ) – 5[ 1
3 – 4
4 ] – 12 4 = 1 2 2 – 2 2 2 – 1
3 + 4
4 . г) S(x 1 4 ) – 1 4–0 2 0–0 ... n 0 = S(x 1 4 ) – 1 4 = S(x 1 4 ) – (x 1 + x 2 +…+ x n ) 4 = S(x 1 4 ) – [S(x 1 4 ) + kS(x 1 3 x 2 ) + ℓ S(x 1 2
2 2
+ mS(x 1 2 x 2
3 ) + tS(x 1 x 2
3
4 )]. (x 1 + x 2 +…+ x n ) жақшасын өз-өзіне төрт рет көбейткенде x 1 3
2 көбейтіндісі 4 рет шығады:
1-жақша 2-жақша 3-жақша 4-жақша 1 x 1
x 1
x 1
x 2
2
1
x 1
x 2
x 1
3
1
x 2
x 1
x 1
4
2
x 1
x 1
x 1
Ал x 1 2 x 2 2 көбейтіндісі 6 рет шығады:
1-жақша 2-жақша 3-жақша 4-жақша 1 x 1
x 1
x 2
x 2
2
1
x 2
x 1
x 2
3
1
x 2
x 2
x 1
4
2
x 1
x 1
x 2
5
2
x 1
x 2
x 1
6
2
x 2
x 1
x 1
Сондықтан ℓ = 6. x 1 2 x 2
3 көбейтіндісі 12 рет шығады:
1-жақша 2-жақша 3-жақша 4-жақша 1 x 1
x 1
x 2
x 3
2
1
x 1
x 3
x 2
3
1
x 2
x 1
x 3
4
1
x 2
x 3
x 1
5
1
x 3
x 1
x 2
6
1
x 3
x 2
x 1
7
2
x 1
x 1
x 3
8
2
x 1
x 3
x 1
9
2
x 3
x 1
x 1
10
3
x 1
x 1
x 2
11
3
x 1
x 2
x 1
12
4
x 2
x 1
x 1
x 1
2
3
4 көбейтіндісі 24 рет шығады, атап айтқанда, көбейтіндіні әртүрлі жақшадан әртүрлі x i
көбейтіндіні алу керек: бірінші жақшадан 1 i x -ді, екінші жақшадан 2
-ні, үшіншіден 3
-ті және төртіншіден 4
x -ті. Мұндай таңдаулар 4-ретті аламастыруларға сәйкес. Ал 4-ретті алмастырулардың саны 4!-ға тең. Сондықтан t = 24.
Осыдан S(x 1 4 ) – 1 4 = S(x 1 4 ) – [S(x 1 4 ) + 4S(x 1 3 x 2 ) + 6S(x 1 2
2 2
1 2
2
3 ) + 24S(x 1 x 2
3
4 )], S(x 1 4 ) = 1 4 – 4S(x 1 3
2 ) – 6S(x 1 2
2 2 ) – 12S(x 1 2
2
3 ) – 24S(x 1 x 2
3
4 ). Енді табылған S(x 1 3
2 ), S(x 1 2
2 2
1 2
2
3 ), S(x 1 x 2
3
4 ) көпмүшелерінің мәндері қойғанда S(x 1 4 ) шығады. 6) Енді симметриялы f(x 1 , x 1 , x 1 ) = (x 1 x 2 + x 3 ) (x 1
3 + x 2 ) (x 2
3 + x 1 ) көпмүшесін қарайық. Жақшаларды ашып, мүшелерді дәрежелер бойынша кемімелі ретте және тең дәрежелі мүшелерді лексикографиялық ретте жазамыз: f = x 1 2
2 2
3 2
1 3
2
3 + x 1 x 2 3 x 3 + x 1 x 2
3 3
1 2
2 2
1 2
3 2
2 2
3 2
1 x 2
3 =
3 2 + x 1
2
3 (x 1 2
+ x 2 2 + x 3 2 ) + S(x 1 2 x 2 2 ) + 3 = 3 2 + 3
1 2
1 2
2 2
3 . Ал бұрын біз есептегеміз S(x 1 2 ) = s 2 =
1 2 – 2 2
және S(x 1 2 x 2 2 ) = 2 1
3 +
2 2 . Осыдан f = 3 2 + 3 ( 1 2 – 2 2 ) + (2 1
3 +
2 2 ) + 3 = 3 2 + 1 2 3 – 2 2
3 +
2 1
3 +
2 2 + 3 . 1) S(x 1 2 ) = 1 2 – 2 2 ; 2) S(x 1 3 ) = 1 3 – 3 1
2 + 3
3 ; 3) S(x 1 2
2
3 ) = 1
3 – 4
4 ; 4) S(x 1 2
2 2
2 2 – 1
3 – 4
4 ; 5) S(x 1 3 x 2 ) = 1 2 2 – 1
3 – 2
2 2 + 4 4 ; 6) S(x 1 4 ) = 1 4 – 4 1 2 2 + 4 1
3 + 2
2 2 – 4 4 ; 7) S(x 1 2
2 2
3 ) =
2
3 –
3 1
4 + 5
5 ; 8) S(x 1 3
2
3 ) = 1 2 3 – 2 2
3 –
1
4 + 5
5 ; 9) S(x 1 3
2 \
1
2 2
1 2 3 – 2
3 – 5
1
4 – 5
5 ; 1-Кесте. Кейбір S(x 1
x 2
…) симметриялы көпмүшелерінің формулалары 1
1 2
1 2 – 2 2
2 S(x 1 2 x 2 ) = 1
2 – 3 3
3
1 3 ) = 1 3 – 3 1
2 + 3
3 . 4 S(x 1 2 x 2
3 ) =
1
3 – 4
4
5
1 2 x 2 2 ) = 2 2 – 2 1
3 – 2
4
6
1 3 x 2 ) = 1 2 2 – 1
3 – 2
2 2 + 4 4
7
1 4 ) = 1 4 – 4 1 2 2 + 4 1
3 + 2
2 2 – 4 4
8
1 2 x 2
3
4 ) = 2
3 – 3
1
4 + 5
5
9
1 2 x 2 2 x 3 ) = 2
3 – 3
1
4 + 5
5
10 S(x 1 3 x 2
3 ) =
1 2 3 – 2 2
3 –
1
4 + 5
5
11 S(x 1 3 x 2 2 ) = 1
2 2
1 2 3 – 2
3 + 5
1
4 – 5
5
12 S(x 1 4 x 2 ) = 1 3 2 – 3 1
2 2
1 2 3 + 5 2
3 +
1
4 – 5
5
13 S(x 1 5 ) = 1 5 – 5 1 3 2 + 5 1
2 2
1 2 3 – 5 2
3 – 5
1
4 + 5
5
14 S(x 1 2 x 2
3
4
5 ) =
1
5 – 6
6
15 S(x 1 2 x 2 2 x 3
4 ) =
2
4 – 4
1
5 – 2
6
16 S(x 1 2 x 2 2 x 3 2 ) = 3 2 – 2 2
4 + 2
1
5 – 2
6
17 S(x 1 3 x 2
3
4 ) = 1 2 4 – 2 2
4 –
1
5 + 6
6
18 S(x 1 3 x 2 2 x 3 ) = 1
2
3 – 3 1 2 4 – 3 3 2 + 4 2
4 + 7
1
5 – 12
6
19 S(x 1 4 x 2 2 ) = 1 2 2 2 – 2 1 3 3 – 2 2 3 + 4 1
2
3 + 2 1 2 4 – 3 3 2 + 2 2
4 – 6
1
5 + 6
6
20 S(x 1 4 x 2
3 ) =
1 3 3 – 3 1
2
3 – 1 2 4 + 3 2 3 + 2 2
4 +
1
5 – 6
6
21 S(x 1 5 x 2 ) = 1 4 2 – 4 1 2 2 2 – 1 3 3 + 2 2 3 + 7 1
2
3 – 1 2 4 – 3 3 2 – 6 2
4 –
1
5 + 6
6
22 S(x 1 6 ) = 1 6 – 6 1 4 2 + 9 1 2 2 2 + 6 1 3 3 – 2 2 3 – 12 2
2
3 – 6 1 2 4 + 3 3 2 + 6 2
4 + 6
1
5 – 5
6
Осы формулаларда n < k болғанда k = 0 деп алу керек. Қосымша тағы бір формуланы берейік: s
=
1
k–1 –
2
k–2 +
3
k–3 – … + (–1) k–1 k k . Оны k бойынша индукциямен дәлелдеуге болады.
жүктеу/скачать 1,18 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|