§ 1. Бірнеше айнымалды көпмүшелер сақинасы

Мысалдар.  3.–4x

1

x

2

2

x

3

3

x

5

  және  2x

1

x

2

x

3

14

x

4

  бімүшелерін  қарайық.  Бірінші  көрсеткіштер  тең,  ал  екінші 

көрсеткіштер үшін 2 > 1. Сондықтан –4x

1

x

2

2

x

3

3

x

5

 > 2x

1

x

2

x

3

14

x

4

. 

4.  f(x

1

,  x

2

,  x

3

)  =  x

2

4

  +  x

1

x

2

x

3

  +  3x

1

x

2

  –  x

2

x

3

  +  2x

2

x

3

2

  көпмүшесі  кемімелі  лексикографиялық  ретте  былай 

жазылады f(x

1

, x

2

, x

3

) = x

1

x

2

x

3

 + 3x

1

x

2

 + x

2

4

 + 2x

2

x

3

2

 – x

2

x

3

.  

Мысалдар.  5.  Берілген  көпмүшелердің  көбейтіндісінің  жоғарғы  мүшесін  табайық:  f(x)  =  24x

1

2

x

2

2

  + 

2x

1

3

x

2

 + 8x

1

3

x

3

3

 +7x

1

x

3

7

,  g(x) = 4x

1

2

x

2

3

 –x

1

3

x

3

2

 – 16x

2

2

x

3

10

, h(x) = 8x

1

2

x

2

2

 + 9x

1

2

x

3

11

. 

f(x) көпмүшесінің жоғарғы мүшесі 4x

1

2

x

2

3

, g(x) көпмүшесінің жоғарғы мүшесі –x

1

3

x

3

2

, h(x) көпмүшесінің 

жоғарғы  мүшесі  8x

1

2

x

2

2

  болады.  Көбейтіндінің  жоғарғы мүшесі  туралы  теорема  бойынша, f(x)

•g(x)•h(x) 

көбейтіндісінің жоғарғы мүшесі (4x

1

2

x

2

3

)( –x

1

3

x

3

2

)( 8x

1

2

x

2

2

) = –32 x

1

7

x

2

5

x

3

2

 болады. 

6. 5-мысалда берілген f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x)

•g(x) көпмүшелерін лексикографиялық ретте жазайық. 

f(x) + g(x) = 3x

1

2

 – x

2

2

x

3

2

 + 7x

2

x

3

 – 5x

3

, f(x) – g(x) = 3x

1

2

 – 13x

2

2

x

3

2

 – 3x

2

x

3

 + 7x

3

, f(x) 

• g(x) = 18x

1

2

6x

2

2

x

3

2

  + 

15x

1

2

x

2

x

3

  – 15x

1

2

x

3

 – 42x

2

4

x

3

4

 – 23x

2

3

x

3

3

 + 47x

2

2

x

3

3

 + 10x

2

2

x

3

2

   – 10x

3

2

.  

7. Z

5

 өрісіндегі f(x) = –4x

1

12

 + 3x

1

8

x

3

2

 + 7x

2

x

3

 – 5x

3

 көпмүшесіне пара-пар көпмүшені табайық.  

p  жай  сан  болса,  Ферма  теоремасы  бойынша,  кез  келген  a  саны  үшін  a

p

    a  (mod  p).  Сондықтан  Z

5

 

өрісінде x

5

 көпмүшесі x көпмүшесіне пара-пар болады. Осыдан –4x

12

 + 3x

18

 + 7x

9

 – 51x + 17  –4x

5

•

2 + 2

 + 

3x

5

•

3+3

 + 7x

5+4

 – (5

•10 + 1)x + (15 + 2)   –4x

5

•

2

x

2

 + 3x

5

•

3

x

3

 + 7x

5

x

4

 – 1

•x + 2  –4(x

5

)

2

x

2

 + 3(x

5

)

3

x

3

 + 7x

5

x

4

 – x + 

2   –4x

2

x

2

 + 3x

3

x

3

 + 7xx

4

 – x + 2  – 4x

4

 + 3x

6

 + 2x

5

 – x + 2  – 4x

4

 + 3x

5+1

 + 2x – x + 2   – 4x

4

 + 3x

5

x + x + 2 

 – 4x

4

 + 3x

2

 + x + 2  x

4

 + 3x

2

 + x + 2. 

8. Кез келген F өрісіндегі біртекті екі айнымалды f(x, y) = a

0

x

n

 + a

1

x

n–1

 +… + a

n–1

x + a

n

 көпмүшесіне бір x 

айнымалды f*(x, y) = a

0

x

n

 + a

1

x

n–1

 +… + a

n–1

x + a

n

 көпмүшесін сәйкес берейік, атап айтқанда f*(x, y) = f(x, 

1).  Онда    F[x]  сақинасының  көпмүшелерінің  және  F[x,  y]  сақинасының  біртекті  көпмүшелерінің 

арасындығы сәйкестік өзара-бірмәнді. 

Оған қоса, f*(x, y) = g*(x, y)h*(x, y) болғанда, тек сонда ғана f(x, y) = g(x, y)h(x, y). 

Осы қасиетті пайдаланып, біртекті екі айнымалды көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеуге болады.  

Айталық,  f(x,  y)  =  x

3

  –  4x

2

y  +  4xy

2

  –  3y

3

  біртекті  көпмүшесін  нақты  сандар  өрісінде  көбейткіштерге 

жіктейік. 

Ал  f*(x,  y)  =  f(x,  1)  =  x

3

  –  4x

2

  +  4x  –  3  =  (x  –  3)(x

2

  –  x  +  1)  және  x

2

  –  x  +  1  көпмүшесі  R  өрісінде 

жіктелмейді. Сондықтан f(x, y) = (x – 3y)(x

2

 – xy + y

2

). 

§ 3. Симметриялы көпмүшелер 

1 . Симметриялы көпмүшелердің қасиеттері 

Мысалы, x

1

2

x

2

2

 + x

2

2

x

3

2

 + x

3

2

x

1

2

 + 2x

1

 + 2x

2

 + 2x

3

 көпмүшесі симметриялы болады, ал x

1

2

x

2

3

 + x

2

2

x

3

2

 + x

1

 + 

2x

2

 + 2x

3

 көпмүшесі болмайды. 

Симметриялы  көпмүшелердің  қосындысы  және  көбейтіндісі  симметриялы  көпмүше  болатынын 

көрсетуге  болады.  Оған  қоса  біртұтастық  аймақтағы  симметриялы  көпмүшелер  біртұтастық  аймақ 

құрайтынын көрсетуге болады. 

Симметриялы  көпмүшенің  құрылымын  былай  түсінуге  болады.  1,  2,…,  n  сандарының  (i

1

,  i

2

,..,  i

n

) 

алмастыруы  берілсін.  Егер  симметриялы  көпмүшеде 

n

k

n

k

k

x

x

ax

...

2

1

2

1

  мүшесі  болса,  онда  көпмүшеде 

n

n

k

i

k

i

k

i

x

x

ax

...

2

2

1

1

 мүшесі де болу керек. 

Егер 

n

k

n

k

k

x

x

ax

...

2

1

2

1

  мүшесі  берілсе,  онда  S(

n

k

n

k

k

x

x

ax

...

2

1

2

1

)  деп 

n

k

n

k

k

x

x

ax

...

2

1

2

1

  мүшесінің  белгісіздеріне 

әртүрлі алмастыруларды қолданып жасалған мүшелердің қосындысы белгіленеді. Сондықтан кез келген 

симметриялы көпмүшесі S(

n

k

n

k

k

x

x

ax

...

2

1

2

1

) түріндегі көпмүшелердің сызықтық комбинациясы болады. 

Мысалы, n = 3 үшін S(x

1

) = x

1

 + x

2

 + x

3

, S(x

1

x

2

) = x

1

x

2

 + x

1

x

3

 + x

2

x

3

, S(x

1

2

) = x

1

2

 + x

2

2

 + x

3

2

, S(x

1

2

x

2

) = x

1

2

x

2

 + 

x

1

2

x

3

 + x

1

x

2

2

 + x

1

x

3

2

 + x

2

2

x

3

 + x

2

x

3

2

. 

Келесі көпмүшелер элементар симметриялы көпмүшелер деп аталады: 



1

 = x

1

 + x

2

 + …+ x

n

, мұндағы x-тер бір-бірден алынған, бұл S(x

1

), 



2

 = x

1

x

2

 + x

1

x

3

 +…+ x

n–1

x

n

, мұндағы x-тердің екі-екіден алынған көбейтінділері, бұл S(x

1

x

2

), 



3

 = x

1

x

2

x

3

 + …+ x

n–2

x

n–1

x

n

, мұнда x-тердің үш-үштен алынған көбейтінділері, бұл S(x

1

x

2

x

3

), 

.     .     .   .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .     .     .   .     .   .   .    



n

 = x

1

x

2

…x

n

, мұнда барлық x-тердің көбейтіндісі алынған, бұл S(x

1

x

2

...x

n

). 

Сөйтіп, 



k

 көпмүшесі x-тердің k бойынша алынған барлық көбейтінділерінің қосындысы болады. Оны 

S(x

1

x

2

…x

k

) деп те беруге болады. 

Элементар симметриялы көпмүшелермен бірге дәрежелік қосындылар да қаралады: s

k

 = S(x

1

k

) = x

1

k

 + x

2

k

 

+…+ x

n

k

. Мысалы, s

0

 = x

1

0

 + x

2

0

 +…+ x

n

0

 = 1 + 1 +…+1 = n, s

1

 = x

1

 + x

2

 +…+ x

n

 = 



1

, s

2

 = x

1

2

 + …+ x

n

2

, …. 

2. Симметриялы көпмүшелер туралы негізгі теорема 

жүктеу/скачать 1,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: