«Басымдылық» мәселесі: Пифагор немесе Парменид? А. Сабо өзінің «Грек математикасының принциптері»

Диоген Лаэрцийдің зерттеуі бойынша, Демокрит математика бойынша бірқатар еңбектер жазды: «(заңды және заңсыз) ойдың айырмашылығы туралы немесе «Шеңбер мен шардың жанасуы туралы», «Өлшемсіз сызықтар мен денелер туралы», сонымен қатар «Геометрия» еңбегі. Өкінішке орай, бұл еңбектердің ешқайсысы бізге жеткен жоқ. Бірақ Демокрит ілімінің жалпы қағидаларына сүйенсек, ол шексіздік болмайтын математиканы құруға ұмтылды. Атомистикалық әдіснамаға сәйкес, Демокрит денелер атомдардан көп, бірақ шектеулі санынан тұрады деп есептесе керек. Осылайша, ол Плутарх хабарлағандай, конусты өте жұқа цилиндрлік пластиналардан тұрады деп ойлады, ал шарды беттерінің саны өте көп көпқырлы деп елестетті.

Осының арқасында Демокрит шексіз ұғымымен байланысты логикалық қайшылықтардан аулақ болды, бірақ одан әрі бөлінбейтін физикалық бөлшектердің шектеулі санына ғана мүмкіндік беретін оның математикасы ежелгі (және қазіргі заманғы қағидаларына қайшы келді. ) математика болып қала берді. Шындығында, қисық сызықтар, тіпті тұрақты фигуралар да болған жоқ. Ең бастысы, Демокриттің математикасы, мысалы, кесіндіні екіге бөлу сияқты қарапайым операцияларға жол бермеді, онсыз ешқандай геометриялық конструкциялар мен дәлелдеу мүмкін емес еді. Ол үздіксіз процестерді зерттеу үшін мүлдем жарамсыз болды.

Алайда, Демокрит математикасы кейбір көрнекі механикалық модельге сүйенді, ол қатаң математикалық ойлау үшін емес, эллинизм дәуірінің математиктері, соның ішінде Архимед, қолдана бастаған кейбір қосалқы механикалық процедураларды құру үшін жемісті болуы мүмкін. Алайда, Архимед өзінің осы механикалық әдістері мен дұрыс математикалық дәлелдемелер арасын әрқашан нақты ажыратып отырғанын айту керек. «...Механиканың көмегімен бұрын байқаған нәрселерімнің кейбірі кейінірек геометриялық тұрғыдан да дәлелденді, өйткені бұл (механикалық. - П.Г.) әдісті қолдану әлі дәлел бола алмайды; Дегенмен, бұл әдісті пайдаланып, зерттелетін нәрсе туралы алдын-ала түсінік алу, содан кейін дәлелді табу ештеңе білместен зерттеу жүргізуден әлдеқайда ыңғайлы. Сондықтан Евдокс бірінші болып дәлел тапқан « конус пен пирамида» туралы теоремаларға келсек, яғни әрбір конус цилиндрдің үштен бір бөлігін, ал пирамида призманың үштен бір бөлігін құрайды.Осы орайда, Демокриттің де осы бірдей негіз және бірдей биіктік туралы алғаш ойын білдіргенін айта кету керек.

Архимед «Эфодта» айтқан Демокриттің «механикалық әдісі» неден тұратыны да анық емес. Бұл туралы Архимедтің өзі түсініктеме бермейді, бірақ бұл жерде Демокрит жинақтау әдістеріне жүгінді деп болжауға болатын сияқты. Дегенмен, неміс математика тарихшысы Э.Хоппе катахониджья өрнегін Архимед қолданғанына назар аудара отырып, егер Демокрит қосындылау әдістерін қолданғанмен, Архимед оны қолдана алмас еді деп дәлелдейді. Хоппе Демокрит физик ретінде конус пен пирамиданың көлемін денелердің өздерін немесе оларға сәйкес келетін сұйықтықтардың көлемін өлшеп, тәжірибе жүзінде анықтады деп есептейді.» Мұндай болжам Архимедтің Демокрит туралы мәлімдемелеріне неліктен сенгенін толық түсіндіреді. Конус пен цилиндрмен бірге дәлелдер болмады, сондықтан қатаң математикалық емес, табиғатта механикалық болып қала берді. Дегенмен, Hoppe көзқарасының басқа растаулары болмағандықтан, katarova етістігінің филологиялық талдауын қоспағанда, оны қарастыру қиын. Архимед баяндаған Демокриттің механикалық әдістерінің табиғаты туралы мәселе

Бірақ егер Демокрит арнайы жинақтау әдісіне жүгінген болса, онда оның В.П. Зубов, Архимедтің «Эфодында» қолданылған әдістен айтарлықтай ерекшеленуі керек еді. Ол қазірдің өзінде айтылды. Зубовтың денелерді жазықтыққа, жазықтықты түзуге, түзуді нүктеге айналдыратын платондық-пифагор математиктерінен айырмашылығы, Демокрит үшін шамаларды бір ретті элементтерге (денелерді денелерге) ыдырату тән болды деп жазады. «Эфодта» Архимед бірінші емес, екінші әдісті қолданады. Оның әдісі элементтердің әрбір жұбы үшін ақиқат болатын нәрсе бір жиынның барлық элементтері үшін де екінші жиынның барлық элементтеріне «әрқайсысының әрқайсысына, барлығына бірдей» деген принципке негізделген. Егер
Aha B:b C:c = D:d т.б., онда
(A + B + C + D...): (a + b + c + d..) = A:a.
Аудандарды барлық сызықтардың жиыны, көлемдерді барлық облыстардың жиыны ретінде қарастыра отырып, Архимель бірқатар квадратураларды және кубураларды шығарады.Мысалы, призманың жоғарғы табанының шетінен және төменгі негіздердің ортасынан өтетін жазықтықпен кесілген квадрат табаны бар түзу призмаға іштей сызылған цилиндр бөлігінің көлемін анықтайды.
Мұндай дәлелдеудің айрықша ерекшелігі n-өлшемнің мәндері арасындағы қатынастан n+1 өлшемдердің мәндері арасындағы қатынасқа көшу болып табылады. Бұл «бөлінбейтін денелердің» шектеулі санынан денелерді құруға мүлдем ұқсамайды, тіпті егер бұл «бөлінбейтіндердің» саны өте көп болса, онда олар нүктелерден іс жүзінде айырмашылығы жоқ.

С.Я. Лури «Ежелгі атомистер арасындағы шексіз кішкентайлар теориясы» (Мәскеу; Ленинград, 1935) еңбегінде қайта өрлеу дәуірінде, бөлінбейтіндер мәселесіне, атап айтқанда Галилейдің еңбегіне айтарлықтай басқаша түсініктеме берілді. Бұл жерде белгілі бір мағынада, ежелгі ғылымға тән математикалық және физикалық бөлінбейтін «нүктелер» мен «сызықтар», бір жағынан, бөлінбейтін денелер, атомдар арасындағы айырмашылық өз мәнін жоғалтады.Бірақ бұл жаратылыстанудың бастапқы әдіснамалық принциптерінің түбегейлі өзгеруіне, ежелгі ғылымнан мұраға қалған ұғымдарды қайта қарауға байланысты болады. Сондықтан Галилео дәуірінде жасалған нәрсені грек ғылымына проекциялау мүмкін емес екендігі айтылды.

Қазіргі заманның ғылымы мен философиясы математика мен физиканың арақатынасының мүлде жаңа моделін құруда және осы жаңа үлгінің аясында ортағасырлық ғылымдағы ежелгі бағдарламалар кенеттен мүлде жаңа формаға ие болды.Бұл Пифагоршылар мен платоншылардың математикалық бағдарламасын, сондай-ақ Демокриттің физика бағдарламасын білдіреді.

Антикалық ғылымды, оның ішінде Демокрит ілімін жаңғыртудан аулақ болу үшін, шамасы, оны сол кездегі теориялық жағдайында өзінен бұрынғылар мен замандастары қойған сұрақтарды шешетін ойшыл ретінде қарастыру керек және біз емес және біздің қазіргі теориялық жағдайымыз емес, бұл мәселе басқа теориялық ұстанымдар мен ой мектептеріне де қатысты.

Демокриттің жауабы, ең алдымен, алдыңғы екі философиялық бағыт – Пифагоршылар мен Элеатизммен тұжырымдалған мәселелердің шешімі болғанын ұмытпасақ, атомистік теория тарихи тұрғыдан мынадай түрде пайда болады. Пифагордың «бірліктер», бөлінбейтін «монадалар» доктринасының физикалық түсіндірмесі. Бұл болжам Демокриттің Левкипптің шәкірті (және Левкипптің өзі Зенонның шәкірті) болуымен қатар Пифагоршылардың бірінде оқығаны туралы дәлелдермен де расталады. Сондықтан біз Э.Фрэнктің «бәрі де сан» деген пифагорлық тезисі (және сәйкесінше, бөлінбейтін «монада» туралы пифагорлық концепция) Демокриттен алынған туынды деген пікірімен келісе алмаймыз. ... «Барлығы сан» немесе «жалғыз объективті білім – математика» сияқты ұсыныстардың атомизм көзқарасынан тікелей шығатынын және соған қарап қана түсінуге болатынын байқау қиын емес»- деп жазады Фрэнк.- Өйткені, егер бәрі атом немесе атомдар жиынтығы болса, онда, әрине, бәрі тек сан.» Бұл жағдайда Франк Аристотельге сілтеме жасайды.

Франк келтірген Аристотельдің дәлелдерін қарастырайық. Міне, солардың бірі: «Бірліктер немесе кіші денелер (жан элементтері ретінде) туралы айтатынымыз маңызды емес сияқты көрінуі мүмкін. Шынында да, егер Демокриттің шарлары (өздерінің) санын сақтай отырып, нүктеге айналса, онда бұл (жиынтықта) үздіксіз, яғни қозғалатын да, қозғалмалы да болады, «Аристотель Демокриттің шарлары монға айналды деп айта ма?

Ол Демокриттің атомизмін сандардың «бөлінбейтін монадалары» туралы іліммен салыстырады.

Пифагоршылардың ойы бойынша, бұл екі ілім де ортақ алғышарттан шыққан. Олар бөлінбейтін элементтердің жиынтығы, тек Демокрит оларды физикалық деп түсінеді.

Аристотельдің тұжырымы бойынша, ол мұнда пифагоршылардың ілімін сынайды, «жанның өздігінен қозғалатын сан» екенін және ұғымының да жоқтығын көрсетеді .Тореандар да, атомистер ұғымдары да жанның табиғатын түсіндіруге сәйкес келмейді.

Осылайша, біз бұл үзіндіден тарихи тұрғыдан ой шығаруымыз керек.

Біздің ойымызша,сан ұғымы атом ұғымынан туындауы мүмкін емес.

Жалпы, Аристотель атомистерді пифагоршылармен жиі салыстырады, өйткені, шынында да, бөлінбейтін элементтерді мойындады, бірақ ол екі мектептің арасындағы айырмашылықты ешқашан атап өтпейді. Бөлінбейтін элементтер, Пифагоршылар мен атомистерді қоспағанда, Аристотель бойынша, Платонды мойындайды; сондықтан кейде Аристотель бөлінбейтіндер теориясын талқылауға байланысты оның барлық түрлері туралы, соның ішінде платондық түрі туралы айтады, бірақ әрқашан әр түрдің ерекше белгілерін де көрсетеді. Міне, бір мысал: «Ол (Платон) шамамен Левкиппен бірдей мағынада айтады, бірақ одан тек Левкипптің бөлінбейтін элементтері дене болып табылатындығымен ғана ерекшеленеді, ал Платонның жазықтықтарын Левкипп оның әрбір бөлінбейтін денесінің бір түрімен сипатталады деп мәлімдейді. Бұл - ерекше форма, ал бұл формалардың саны шексіз, ал Платон бойынша олардың саны шектеулі. Дегенмен, екеуі де элементтердің бөлінбейтіндігін және формасымен сипатталатынын бекітеді» (LD. CBV, 222).

Фрэнктің көзқарасы оның ертедегі пифагоризмнің ғылыммен нақты байланысы болмағаны және пифагоршылдықтың ғылыми мектебінің болуын тек Архитас заманына, яғни б.з.б. BC e. Мәселені осылайша тұжырымдау арқылы Левкипп – Демокрит атомизмі ,шын мәнінде, бұл тұжырымның қолдау таппағанына қарамастан, Фрэнк тұжырымға келетін бөлінбейтін элементтердің көптігі туралы ілімнің тарихи алғашқы формасы болып шығады. С.Я. Лури ежелгі авторлардың айғақтарында бұл мәселе бойынша Э.Фрэнктің көзқарасын: «Фрэнк,- деп жазады ол,- Пифагор монадаларында Демокрит атомдарының идеалистік модификациясын ғана көреді, сол мағынада Метафизикадағы Аристотельдің куәлігін түсінеді, онда оның дұрыстығына еш күмән келтірмейді.» (Аристо. Метаф. II. 5. П. 1002 a8) -