Тақырыбы Векторлар. Векторлардың скаляр, векторлық және аралас көбейтінділері

Еркін вектордың әртүрлі анықтамалары. Еркін векторларға қолданылатын сызықтық амалдар және олардың қасиеттері. Векторлардың сызықтық тәуелділігі және тәуелсіздігі; векторлардың сызықтық тәуелділігінің геометриялық мағынасы. Вектордың түзуге және жазықтыққа проекциясы. Аффиндік және декарт координаталар жүйелері. Координаталарды жазықтықта және кеңістікте түрлендіру. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері. Векторлардың скаляр көбейтіндісі, оның қасиеттері. Кеңістіктің бағытталынуы. Векторлардың векторлық көбейтіндісі, оның қасиеттері. Векторлардың аралас көбейтіндісі, оның қасиеттері. Поляр, цилиндрлік және сфералық координаталар.

Егер кесіндінің ұзындығымен қоса бағытыда берілген болса, онда оны вектор деп атайды.

Егер 2 вектордың ұзындығымен қоса бағыттас болса, олар тең.

Егер О нүктесі А және В нүктелерінің арасында орналасса, онда а және в қарама –қарсы бағытталған деп аталады. (а↑↓в)

Егер О нүктесі А және В нүктелерінің арасыда орналасса, онда а және в бағыттас. (а↑↑в)

Екі вектордың қосындысы a + b векторы деп, b векторының басы a векторының ұшымен түйістірілген жағдайда, басы a векторының басымен, ұшы b векторының ұшымен сəйкес келетін векторды айтамыз. Анықтамаға сəйкес a жəне b қосылғыштары мен олардың қосындысы a + b үшбұрыш құрады. Сондықтан екі векторды қосу ережесі “үшбұрыш ережесі” деп аталады.

Векторларды қосу амалы келесі қасиеттерге ие:

1. 
   а) a + b = b + a (коммутативтілік);
   

2) (a + b ) + c = a + (b + c ) (ассоциативтілік);

3) Кез келген a векторы үшін

бас нүктесімен ұшы беттесетін вектор нөлдік. Бағыты анықталмаған, ұзындығы -0. а = АВ; ВВ = θ ; АВ + ВВ = АВ, а + θ = а;

4) а + в = в + а = θ

ВА + АВ = ВВ = θ в = -а

Кез келген a векторына a + a₁ = 0 болатындай, қарама -қарсы вектор a₁ табылады ( a₁ векторын алу ұшын a векторыының басы мен ауыстыру жеткілікті) a векторына қарама - қарсы векторды (−a) арқылы белгілейміз.

а векторының λ нақты санына көбейтіндісі λ >0 жағдайда ↑↑ aλ бағыттас, λ < 0 жағдайда aλ ↑↓ бағытталған және ұзындыығы | λ |*|а| тең веторды айтамыз.

Векторды санға көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:

1) λ(μa) = (λμ)a (көбейткіштердің ассоциативтілік қасиеті);

2) λ(a + b) = aλ + bλ

(λ + μ)a = aλ + aμ (дистрибутивтілік қасиет).

3) 1*а = а

4) (α*β) = α*(β

Егер Ө-ны а₁,а₂,…a_n векторлары арқылы ең болмағанда коэффициеттерінің біреуі нөлден өзгеше болатындай етіп сызықтық өрнектеледі: Ө = α ₁a + α ₂a₂+ … + α_na_n, онда а₁,а₂….а_n векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады.