Екіөлшемді СП есептерін геометриялық әдіспен шешу

Екіөлшемді СП есебін қарастырайық.

Тікбұрышты декарттық координаталық X₁ОХ₂ жүйеде төмендегі түзулерді саламыз.

a_i x₁ + b_i x₂ = c_i , a_j x₁ + b_j x₂ = c_j

Кез келген ax₁ + bx₂ = c түзу жазықтықты екіге – екі жартыжазықтыққа бөледі. n = (a, b) векторы осы түзудің нормаль векторы деп аталады. Ол осы түзуге перпендикуляр вектор. Егер оның бастапқы нүктесін түзу бойына орналастырсақ, онда n векторы жоғарыда аталған екі жарты жазықтықтардың тек бірінде ғана жатады. Сол вектор жатқан жарты жазықтық нүктелерінде теңсіздік, ал екінші жарты жазықтықта қарама-қарсы теңсіздік орындалады. Түзулер және есептің теңсіздіктері бойынша жарты жазықтықтарды анықтасақ, онда олардың қиылысуы дөңес көпбұрышты береді. Оның төбелерінің координаталарын A_k(g_k, h_k) деп белгілеп, f(x) функцияның осы нүктелердегі мәндерін есептейміз және оларды салыстырып экстремум мәндерін анықтаймыз.

ОМ₁М₂М₃М₄О көпбұрыштың төбелерінің координаталарын былайша анықтаймыз. (3) түзумен ОХ₂ өсінің қиылысуы – М₁(0, 3) нүктені анықтайды. М₂ нүктенің координатасын анықтау үшін (1) және (3) теңдеулерді шешеміз:

М₃ нүктенің координаталарын (1) және (2) теңдеулерді шешу арқылы анықтаймыз:

Қалған төбелердің коор-динаталары O(0;0), М₄(2;0). Осыдан

f(М₁) =3; f(М₂) = 23/5; f(М₃) = 22/3; f(М₄) = 4; f(O) = 0;

f_min = f(O) = 0; f_max = f(М₃) = 22/3;