Если λ >0, то точка М лежит внутри отрезка АВ, если λ < 0, то вне отрезка, если λ =1, то М - середина отрезка АВ.
В декартовой системе координат заданы точки
Найти координаты точки M(x,y,z), делящей отрезок AB в отношении λ:
Векторы
Решение.
и
коллинеарны, сонаправлены,
отношение их длин равно λ.
Тогда
Переходя к равенству соответствующих координат, получим:
Выражая отсюда x,y,z, получим для координат точки M:
3) Отрезок, ограниченный точками А(-1; 8; -3) и В(9; -7; 2), разделен точками М1, М2, М3, М4 на пять равных частей. Найдите координаты точек М1 и М3.
Коллективная работа
Ответ:М1(1; 5; -2), М3(5; -1; 0)
4) Определите координаты концов А и В отрезка, который точками С(2; 0; 2) и D(5; -2; 0) разделен на три равные части.
Коллективная работа
Ответ: А(-1; 2; 4), В(8; -4; -2)
№
Дескрипторы
+/-
1
Находит местоположение точек.
2
Использует формулу деления отрезка в заданном отношении в пространстве.
3
Находит координаты определяемых точек.
Оценивание
Работа в парах
5) Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, считая от точки А, если А(11; 1; 0) и В(-9; 2; -4).
Ответ:
№
Дескрипторы
+/-
1
Находит местоположение точки.
2
Использует формулу деления отрезка в заданном отношении в пространстве.
3
Находит координаты определяемой точки.
Оценивание
Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.
Известно, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан (обозначим ее как М), а каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Поэтому, если нам известны координаты точек, которые являются концами медианы, то мы можем найти координаты точки, делящей медиану в отношении два к одному.
Центр тяжести треугольника
Работа в парах
6) Найдите координаты центра тяжести треугольника АВС, если известны координаты его вершин А(2; 3; 1), В(4; 1; -2), С(-5; -4; 8).
Ответ:
Пусть АD – медиана треугольника АВС, тогда D – середина ВС и λ = 1, находим ее координаты:
Точка М является точкой пересечения медиан треугольника АВС, следовательно, точка М делит отрезок AD в отношении два к одному, то есть λ = 2, находим ее координаты:
№
Дескрипторы
+/-
1
Строит чертеж по условию задачи.
2
Определяет местоположение точки D – конца медианы.
3
Находит координаты точки D.
4
Определяет точку M – точку пересечения медиан.
5
Находит координаты точки M.
Оценивание
Межпредметная связь математики и физики
Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам.
1) Найдите координату точки В, которая делит отрезок AC в отношении 4 : 1, считая от точки А, если A(-1; 3; 2) и C(4; 13; 12).
2) Отрезок АВ разделен точками С1, С2, С3, С4 на пять равных частей. Если известны координаты точки С1(-1; 3; 2) и С4(4; 13; 12), то найдите координаты точек А и В.
