Численные решения нелинейных уравнений и систем уравнений методом Ньютона
Нелинейные уравнения методом Ньютона
жүктеу/скачать 79,5 Kb.
|
1 2
- Бұл бет үшін навигация:
- Системы нелинейных уравнений методом Ньютона
- СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
| Нелинейные уравнения методом Ньютона
Для решения нелинейного уравнения f(x)=0 по методу Ньютона используется итерационный процесс:
где x(0) - некоторое начальное приближение к корню. При этом предполагается, что f '(x)≠ 0 на отрезке [a,b]. Геометрический вывод формулы. Геометрически итерационный процесс метода Ньютона означает замену на k-той итерации графика функции y=f(x) на касательную к этой функции в точке (x(k) , f(x(k))) (в связи с этим метод также иногда называется методом касательных). Уравнение касательной имеет вид y=f '(x(k))(x-x(k))+f(x(k)) Найдем точку пересечения с осью OX этой касательной (вместо функции y=f(x)), что соответствует нахождению решения линейного уравнения: f '(x(k))(x-x(k))+ f(x(k))=0 вместо нелинейного f(x)=0. Выражая x, получаем: x = x(k) - f(x(k))/f '(x(k))≡ x(k+1) Аналитический вывод формулы. Рассмотрим уравнение f(x)=0, X - его корень, x(k) - k-ое приближение к корню. Тогда по теореме Лагранжа о средних значениях имеем: 0 = f(X) = f(x(k)) + (X - x(k) )f '(ck ), где ck ∈ (X, x(k) ). Заменяя f '(ck) на значение f '(x(k) ) (то есть используя предыдущее приближение к корню) приходим к приближенному равенству 0 ≈ f(x(k)) + (X - x(k))f '(x(k)). Откуда получаем X ≈ x(k) - f(x(k))/f '(x(k)) ≡ x(k+1) Сходимость метода Ньютона. Для исследования сходимости метода Ньютона перепишем его в виде частного случая метода простой итерации, достаточные условия сходимости которого уже известны. Имеем: x(k+1) = x(k) - f(x(k))/f '(x(k)) Следовательно, x(k+1) = φ(x(k)), где φ(x) = x - f(x) / f '(x) Проверим следующее условие теоремы о сходимости метода простой итерации:
В случае метода Ньютона имеем:
Пусть корень X уравнения f(x)=0 имеет кратность p ≥ 1. Тогда в достаточно малой окрестности корня X имеет место представление: f(x) ≈ a(x-X) p Следовательно φ '(x)=f ·f ''/(f ') 2 ≈ a(x-X) pa·p(p-1)(x-X) p-2/[a·p(p-1)(x-X) p-1] 2== (p-1)/p < 1 Таким образом, в некоторой окрестности корня X условие (2) выполнено с константой q < 1. ЗАМЕЧАНИЕ: метод Ньютона является наиболее часто используемым для нахождения корней произвольной дифференцируемой функции, особенно если известны достаточно точные начальные приближения для корней; при вычислении корня уравнения с точностью ε по методу Ньютона условием окончания итераций может служить: | x(k+1) - x(k) | ≤ ε. Системы нелинейных уравнений методом Ньютона Рассмотрим систему двух уравнений: Алгоритм решения системы по методу Ньютона задается формулами:
где и (x1(0), x2(0)) - некоторое начальное приближение к корню. ЗАМЕЧАНИЕ: критерием окончания итерационного процесса Ньютона для вычисления корня системы уравнений с точностью e может служить: || x (k+1) - x (k) || ≤ ε. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ Бахвалов, Н.С., Жидков. Н.П., Кобельков. Г.М. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Бином. Лаборатория знаний. 2003. – 640 с. Самарский, А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. / А.А. Самарский - СПб.: Издательство «Лань», 2005. - 288 с. Киреев, В.И., Пантелеев, А.В. Численные методы в примерах и задачах / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев - М.: Высшая школа, 2008. - 480 с. Ларин, Р.М., Плясунов, А.В., Пяткин, А.В. Методы оптимизации. Примеры и задачи / Р.М. Ларин, А.В. Плясунов, А.В. Пяткин - Новосибирск: 2003. Чертов, А.Г., Воробьёв, А.А. Федоров, М.Ф. Задачник по физике (с примерами решения задач и справочными материалами) / А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв, М.Ф. Федоров. - М.: Высшая школа, 1973. жүктеу/скачать 79,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2