Дәріс 5.1. Коварианттық түрдегі Максвелл теңдеулері

Кәдімгі формализмде және өрістері потенциалдарының қатынасы (3.10.3) арқылы өрнектеледі, Максвелл теңдеулерінің екінші жұбы бірдей қанағаттандырылады. Сол сияқты, (4.16.2) анықтамадан алынған релятивистік формализмде электромагниттік өрістің тензоры үшін қандай да бір сәйкестік туындайды деп күтуге болады.Және мұндай сәйкестік шынымен де бар, және біз жақын арада көретініміздей, ол Максвелл теңдеулерінің екінші жұбына толығымен эквивалентті болып келеді. Бұл сәйкестік:

,
мұнда соңғы кезеңде сәйкес аралас туындылардың теңдігін ескердік.

Максвелл теңдеулерінің бірінші жұбына (2.8.1) электромагниттік өрістің көздері — J 4-векторды құрайтын заряд тығыздығы және ток тығыздығы кіреді. Сонымен қатар, бұл теңдеулерге уақыт пен координаттар бойынша және алғашқы туындылары кіреді, және мен комбинацияланып F тензорын құрайды. J және алғашқы F туындылары арасындағы жалғыз коварианттық қатынас

,
сонымен қатар, (8.1) теңдеулерінің құрылымынан деп күту заңды.

Нәтижесінде Максвелл теңдеулерін (2.8.1) келесі ковариантты түрде көрсетуге болатын гипотеза туындайды:

(I) (II) . (5.17.1)
(I) жүйесі 4 теңдеуді қамтиды. Бір қарағанда, (II) жүйеде әлдеқайда көп теңдеулер бар сияқты көрінуі мүмкін. Алайда бұл олай емес: мұнда да үшін алынған 4 теңдеу тривиальды емес. Барлық басқа қатынастар F тензорының антисимметриясына байланысты бірдей қанағаттандырылады . Мысалы, болған кезде (µ бойынша жиынтық жоқ):

.
Бірақ бұл өрнек 4-потенциалы 4-роторы болып табылатын F тензоры үшін ғана емес, ерікті антисимметриялық тензор үшін нөлге тең.

Енді (5.17.1) теңдеулер әдеттегі Максвелл теңдеулерімен (2.8.1) сәйкес келетінін тексереміз. үшін (I)-ден мынаны аламыз:

,
яғни бірінші Максвелл теңдеуі (2.8.1, а):

.
Бұл жағдайда 4-ток J үшін (4.14.1) және F электромагниттік өрісінің тензор матрицасы үшін (4.16.5) өрнектер қолданылды . μ = 1 үшін (17.1.I) –ден:

.
Дәл осындай нәтижелер µ = 2 және µ = 3-пен алынады, нәтижесінде біз Максвеллдің векторлық теңдеуіне келеміз (2.8.1,б):

.
Енді (II) теңдеулер жүйесіне (5.17.1) жүгінейік, ол үшін, айтылғанға сәйкес жоғарыда жағдайларын қарастыру жеткілікті.

үшін:

.

үшін, осыны аламыз

және үшін өте ұқсас нәтижелер туындайды және Максвелл векторының (8.1, г) теңдеуіне келеміз.

.
Осылайша (5.17.1) теңдеулердің дұрыстығын тексеру аяқталды. Кәдімгі формализмдегідей, бұл теңдеулер автоматты түрде электр зарядының сақталу заңын қамтитынын көрсетеміз. Ол үшін біз жүйенің екі бөлігіне (I) дифференциалды оператормен әрекет етеміз:

.
(4.13.19) сәйкес, сол жақ бөлігі симметриялы тензор антисимметриялық тензор мен толық жиынтығы ретінде нөлге тең, сондықтан

.
Бірақ бұл (4.14.2) коварианттық түрде жазылған және электр зарядының сақталу заңын өрнектейтін (1.2.19) үздіксіздік теңдеуінен басқа ештеңе емес.