Стационар магнит өрісі үшін теңдеулер

Келесі қиындық дәрежесі Максвелл теңдеулерінде (2.8.1) уақыт бойынша жартылай туындыларды нөлге тең қоюға болады, алайда электр тогы нөлге айналады. Бұл жағдайда біз тағы да электрлік және магниттік өрістер үшін екі тәуелсіз теңдеулер жүйесін аламыз:

Қарастырудың микроскопиялық деңгейінде зарядтардың таралуы әрқашан дискретті болады және олардың қозғалысы сөздің шын мағынасында стационарлы бола алмайды. Сондықтан, осы тәсілмен стационарлық ұғымның түсіндірмесі алдыңғыдан өзгеше болады.

олар тек координаттардың функциялары. Сонымен қатар

соңғы кезеңде қозғалыстың болжамды финитивтілігіне байланысты -тің барлық функциялары шектеулі екендігі ескерілген.

Енді Максвелл теңдеулерінде (2.8.1) көрсетілген орташа операцияны жүргізіп, (7.27.3) ескере отырып, біз (7.27.1) теңдеулерге келеміз. Осылайша, оларды финитті қозғалысты жүзеге асыратын нүктелік зарядталған бөлшектер шығаратын орташа электромагниттік өрісті сипаттайтын теңдеулер ретінде түсіндіруге болады. Бұл өріс уақытқа тәуелді емес, оны стационарлық өріс деп те атауға әбден болады.

Төменде теңдеулердің екі түсіндірмесі (7.27.1) және олар сипаттайтын стационарлы электромагниттік өріс қолданылады. Сонымен қатар, талқыланатын мәселелердің сипатына байланысты көлемді токтарды, содан кейін сызықтық токтарды немесе нүктелік бөлшектердің қозғалысы нәтижесінде пайда болатын токтарды қарастыру ыңғайлы. Зарядтардың таралуының бір көрінісінен екіншісіне ауысу (1.2.10) типті алмастырулармен жүзеге асырылады.

оның үстіне бірінші жағдайда көлем бойынша интегралдау, екіншісінде - тұйық контур бойынша интегралдау, үшіншіде - зарядталған бөлшектер бойынша жинақтауды білдіреді.

Жоғарыда айтылғандай, зарядтардың дискретті таралуын қарастырғанда, барлық физикалық шамалар уақыт бойынша орташа болуы керек. Бұдан әрі бұл жағдайда қажетті орташалау операциясы орындалды деп болжанады, бірақ қысқарту үшін барлық жерде орташа белгі алынып тасталады. Сондықтан, егер кейбір есептеулер процесінде уақыт туындылары пайда болса, онда (7.27.3) қатынасын ескере отырып, біз оларды жай ғана алып тастаймыз.

Стационарлық электромагниттік өріс үшін (7.27.1) теңдеулеріне оралайық. Көріп отырғанымыздай, стационарлық электр өрісі электростатикадағы теңдеулерге (5.19.2) бағынады. Олар алдыңғы тарауда егжей-тегжейлі талданды.

Оның біріншісі универсал. Бұл кез-келген магнит өрісінің соленоидтығын көрсетеді, бұл табиғатта магниттік зарядтардың жоқтығына тең (толығырақ §8 қараңыз). Екінші теңдеу (27.5) стационарлық магнит өрісі тек электр тогымен, яғни зарядталған бөлшектердің қозғалысымен пайда болатындығын көрсетеді.

Осы теңдеудің екі бөлігінен дивергенция құра отырып, біз электрлік зарядтың стационарлық үздіксіздік теңдеуі түрінде сақталу заңына келеміз (1.2.21)

. (7.27.6)

Оның кейбір салдары 1.2-та талқыланды. Олардың арасында ток күші J тұрақтылығын [теңдік (1.2.25)] ток түтік бойымен атап өтеміз. Бұл нәтиже өте маңызды, өйткені сызықтық токтар болған кезде J мәнін тиісті контурлық интегралдың белгісі ретінде алуға мүмкіндік береді.

Енді бөлшектердің финитті қозғалысы жағдайында (7.27.6) үздіксіздік теңдеуінен теңдік шығатынын дәлелдейік

, (7.27.7)

ол бізге келесіде қажет болады. және екенін ескере отырып, біз осыны аламыз

(7.27.7) теңдікті дәлелдеу үшін осы қатынасты, жалпыланған Гаусс теоремасын және қозғалыстың финиттігіне байланысты кеңістіктің шектелген аймағынан тыс болатынын пайдалансақ жеткілікті:

Жоғарыда стационарлық магнит өрісінің айнымалы күйі ретінде индукция векторы болады. Бірақ §10-тан білетініміздей, өріс күйлерін сипаттаудың басқа әдісі де мүмкін. Бұл жағдайда бірінші теңдеу (27.5) оған өтуге мүмкіндік береді. Бұл кез-келген магнит өрісі соленоидты екенін, сондықтан векторлық өрісі бар екенін айтады

(3.10.3)-мен салыстр. функциясы магнит өрісінің күйінің басқа айнымалысы ретінде әрекет ететін векторлық потенциал деп аталады.

бұл стационарлық процестер үшін Лоренц шартының (10.7) ерекше жағдайы. Лоренц шартын бұзбай, ауыстыруды да жасауға болады

және әдетте (бірақ әрқашан емес – 19, 20 параграфтармен салыст.) векторлық потенциал табиғи шекаралық шартты қанағаттандыратындай екінші тұрақтысын таңдауға болады

Векторлық потенциалдың теңдеуі (7.27.8) өрнегін (7.27.5) екінші теңдеуіне ауыстыру арқылы алынады:

(7.27.8) шартты ескере отырып, векторлық потенциал Пуассон теңдеуіне бағынатынын табамыз

және электр тогы жоқ кеңістікте - Лаплас теңдеуі

Математикалық тұрғыдан алғанда (7.27.11) теңдеу электростатикалық потенциал үшін (5.19.11) теңдеуімен бірдей. Сондықтан оның табиғи шартты қанағаттандыратын шешімі (7.27.10) бірден (6.22.24) ұқсас жазылады:

Сызықтық токтар мен қозғалатын нүктелік бөлшектер шығаратын магнит өрісінің векторлық потенциалын алу үшін (7.27.13)-ге (7.27.4) ауыстыру жеткілікті. Нәтижесінде осыны аламыз

және

Магнит өрісін есептеу кезінде формуланы қолданамыз

оның көмегімен (7.27.13) аламыз

Осылайша,

немесе, (27.4) ауысуларынан кейін

және

Нәтижесінде біз био–Савар–Лаплас Заңына сәйкесінше (2.7.16), (2.7.15) және (2.7.17) түрінде келеміз.

Егер жылдамдығымен қозғалатын q заряд нүктесіне қойылса, онда оған зарядтың жағынан магниттік күш әсер етеді

және (2.6.13) формулаға ораламыз. Нәтижелердің (7.27.18) - (7.27.20) жуықтық сипатын атап өтеміз. Олар тек қана әділ, өйткені Максвелл теңдеулерінде (2.8.1) кідіріс әсерін елемеуге болады. Біркелкі қозғалатын бір зарядталған бөлшектің электр және магнит өрістерінің нақты өрнектері келесі бөлімнің қосымшасында алынады.