Дәрістер Жарықтың корпускулдық теориясы
жүктеу/скачать 2,3 Mb.
|
Лекция 29-30 Оптика
| Рэлей-Джинс формуласы
Тепе-теңдік жылулық сәуле шығарудың термодинамикасы. функциясын теориялық есептеуді өрістің еркіндік дәрежелері бойынша энергияның теңдей үлестірілуі жайында термодинамикадан белгілі заң негізінде орындауға болады. Осы заңға сәйкес жылулық тепе-теңдік күйде жүйенің әрбір еркіндік дәрежесіне орташа алғанда -ге тең бірдей энергия келеді. Мұндағы - жүйенің термодинамикалық температурасы, - Больцман тұрақтысы. Осы заңды жылулық сәуле шығаруға қолдану үшін тұйық қуыстағы электромагниттік өрістің еркіндік дәрежесін есептеу қажет. Есептеудің негізгі идеясы бойынша қуыстағы тепе-теңдік жылулық сәуле шығаруды тұрғын толқындардың жиынтығы түрінде келтіріледі. Шын мәнінде мәселе тепе-теңдік сәуленің стационарлық кеңістіктің құрылымын элементар қарапайым құрылымдарға – синусоидалық тұрғын толқындарға спектрлік жіктеу жайында болып отыр. М ына екі жағдай маңызды. Бірінші-тепе-теңдік жылулық сәуленің кеңістіктік құрылымы стационар, екінші – қуыс қабырғаларына түсетін сәуле энергиясы қабырғаның шығаратын энергиясына тең. Осы екі шарт орындалатын қарапайым жүйеге қос параллель айна – оптикалық резонатор жатады (2-сурет). Осындай резонатордағы жарық өрісін тұрғын толқын-дардың дискреттік санамалы жиыны түрінде өрнектеуге болады. Әртүрлі тұрғын толқындардың саны өрістің еркіндік дәрежесінің ізделіп отырған санын анықтайды. Сонымен екі жазық айнаның ортасындағы жарық өрісін қарастырайық. Айналардың ара қашықтығын арқылы белгілейміз. осін айналардың бетіне нормаль бойынша бағыттаймыз. Жазық резонатордағы жарық өрісі бірөлшемді толқындық теңдеуді қанағаттандырады: . (8) Айналарды идеал өткізгіштер деп есептеп, шекаралық шарттарды мына түрде жазамыз: . (9) Осы шекаралық шарттармен (8) теңдеуінің шешімі мынадай болады: . (10) (9)-ды 8) –ға қойып амплитуда үшін теңдеуді аламыз . (11) Сонымен, амплитуда гармоникалық осцилятордың теңдеуіне бағынады. Осы теңдеудің шешімі: , . (12) Екінші жағынан, (10)-ді (9)-ға қойып, мына теңдеуді аламыз: , Осыдан , (13) Демек , (14) Сонымен, резонатордағы жарық өрісінің құрылымы толқындардың дискреттік жиыны түрінде болады. Жарық интенсивтігінің белгілі кеңістіктік үлестірілуімен сипатталатын әрбір тұрғын толқынды «өріс осцилляторы» деп атауға болады. Жарық өрісінің бірнеше қарапайым құрылымы 3-суретте көрсетілген. Мұндағы маңызды нәрсе, ол өріс осцилляторлары резонаторда санамалы жиын құрап тұрады, демек оларды нөмірлеуге болады. Әр түрлі осцилляторлар бір-бірінен тәуелсіз болатындықтан (бұлардың амплитудалары кезкелген мәнге ие) бұлардың толық саны өрістің еркіндік дәрежесінің санын анықтайды. ( 13) формулаға сәйкес, толқындық сан-дар кеңістігінде әрбір өріс осциллятордың үлесіне мөлшері болатын ұяшық (4-сурет), тиеді мұндағы -резонатордың ұзындығы. Енді қарастыруды үш кеңістіктік коорди-наттар жағдайына тара-тып, айна-дан істелген қабырғалары бар куб пішінді қуыс ішін-дегі жарық өрісін қарасты-рамыз (5-сурет). Куб қырының ұзындығы , кө-лемі , координат остері кубтың қырлары бойымен бағытталған болсын. Өрістің әрбір декарттық , , құраушылары үшін мына толқындық теңдеу орындалады: , (15) м ұндағы - Лаплас операторы. (15) теңдеудің шешімін мына түрде іздестіреміз: . (16) (16)-ні (15)-ға қойғанда мына теңдеу алынады: . (17) Бұл толқындық санның модулін және жарық толқыны жиілігін өзара байланыстыратын дисперсиялық теңдеу деп аталатын теңдеу. (13)-ке ұқсас, шекаралық шарттардан мына қатыстар алынады: , , , (18) мұндағы , , - кезкелген жай сандар, яғни , , =1,2,3,…. (19) шамаларын жарық толқынының толқындық векторының декарттық құраушылары ретінде қарастыруға болады. С онымен, үшөлшемді жағдайда өріс осцилляторы жай сандардың , , үштігімен сипатталады. Толқындық сандар кеңістігінде (« -кеңістік») өріс осцилляторын бейнелейтін сурет 6-суретте көрсетілген. Осы суреттен -кеңістік түгелдей әрқайсысының көлемі (20) болатын кубиктерге бөлінгендігі көрінеді, сонда әрбір жеке кубикке өзінің осцилляторы сәйкес келеді. Енді өрістің еркіндік дәрежесінің толық санын есептеп шығару қиын емес. 0-ден ге дейінгі жиіліктер ауқымын алып жататын жарық өрісін қарастырайық. (17) дисперсиялық теңдеуге сәйкес өрістің толқындық сандары 0-ден -ға дейінгі ауқымды алып тұрады. Толқындық сандар кеңістігіндегі осы аймақ радиусы шар түрінде болады, ал оның көлемі болады. (16) формулаға сәйкес сандар, мысалы (21) сай келеді. Берілген аймаққа (толқындық сандар кеңістігінің оң октанты) радиусы шардың бөлігі ғана кіреді, осы бөліктің көлемі . (22) Өрістің ізделіп отырған осцилляторлар саны, сірә, кеңістіктегі өрістің барлық осцилляторлары алып жататын көлемнің бір осцилляторға сәйкес келетін ұяшықтың көлеміне қатынасына тең. Осы санды арқылы белгілеп, былай жазуға болады. . (23) (20), (22), (17)-ді пайдаланып, осы шаманы былайша жазуға болады: . (24) Сонымен, (9.25) формула көлемі кеңістік аймағын және 0-ден -ге дейінгі жиіліктер аралығын алып жатқан өрістің осцилляторлары санын анықтайды. Осы формула жарық толқындарының мүмкін болатын таралу бағыттарымен байланысқан өрістің еркіндік дәрежесінің санын береді. Бірақта белгілі бағытта таралатын толқынның екі тәуелсіз поляризация күйі болады (мысалы, осі бойымен таралатын жазық толқын, жалпы алғанда, , және , толқындарының суперпозициясы болып табылады). Сондықтан жарық өрісінің еркіндік дәрежесінің толық саны санынан екі есе артық және ол мына шамаға тең болады: . (25) Енді -ден -ге дейінгі аралыққа келетін өрістің еркіндік дәрежесінің санын есептейік. (24) теңдігінің екі бөлігінен дифференциал алып, мынаны табамыз: . (26) Сонымен, тепе-теңдік жылулық шығарылған сәуленің еркіндік дәрежесінің санын есептеуге арналған есеп шешілді. Осы нәтижені пайдаланып, тепе-теңдік жылулық сәуленің спектрлік тығыздығын, яғни кеңістіктің бірлік көлеміне және -ден -ге дейінгі спектрлік аралыққа келетін сәуле энергиясын мына түрде өрнектеуге болады: , (27) мұндағы - өріс осцилляторына тиісті орташа энергия. жүктеу/скачать 2,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|