Әдістемелік жинақ

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің 2 тәсілі бар:

1. 
   тура шешу
   
2. 
   жуықтап шешу
   

Жуықтап шешу тәсілдері итерациялық әдістер деп аталады. Олар жүйе шешімін біртіндеп жуықтау шегі ретінде анықтайды. Оларға жататын әдістер: Зейдель, қарапайым итерация, релаксация, градиентті т.б. Практикада бұл әдістерді 10⁶ ретті сандармен есептеу жүргізуде қолданады.

САТЖ-ны шешу үшін оның жалпы шешімі қай уақытта бар болады, және неше шешімі болуы мүмкін деген сұрақтарға жауап беру керек ([8] қараңыз).

N белгісізді m теңдеуден тұратын САТЖ-ны қарастырайық:

Ax=b (2.2)

1. 
   Гаусс әдісі.
   

(2.1.1) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды.

Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы ([12],[13] қараңыз): берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл – тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл – кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады:

1. 
   тура жол – матрицаны үшбұрышты түрге келтіру.
   
2. 
   кері жол – белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу.
   

Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір біріне тең болады.

Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты.

1. Тура жол:

басшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп (2.1.1)- жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін басшы элементке бөлу арқылы келесі теңдеуді аламыз:

(2.1.2.)

мұндағы , (2.1.3)

(2.1.2) - теңдеуді қолданып (2.1.1) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х₁ белгісізін жоюға болады. Ол үшін (2.1.2)-ші теңдеуді а₂₁, а₃₁, ..., а_n1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші теңдеуден азайтып a_ij¹ деп белгілейміз:

(2.1.4)

Сонда келесідей жүйе аламыз:

Алынған (2.1.5) - жүйенің 1-ші теңдеуін а₂₂¹ элементіне бөліп, теңдеу аламыз:

мұндағы , (2.1.7)

х₁ белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х₂ белгісізін (2.1.5) - жүйеден жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:

(2.1.8)

мұндағы

(2.1.8) - жүйенің 1-ші теңдеуін элементіне бөліп

теңдеу аламыз. Мұндағы , (2.1.11)

(2.1.10) - теңдеу көмегімен (2.1.8) - жүйеден х₃ белгісізін жоямыз.

Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше жалғастырамыз да (2.1.2)-ші, (2.1.6)-шы, (2.1.10)-шы, т.с.с. алуға болатын теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз:

14

(2.1.12)
2. Кері жол:

(2.1.12) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен белгісізін тауып алып n-1 –ші теңдеуге қою арқылы x_n-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері қарай барлық белгісіздерді табуға болады.