Эллинизм дәуіріндегі математикалық аксиомалардың құрылуы

Аксиома (көне грекше: ἀξίωμα — лайықты қабылданған қағида) — нанымдылығы ақиқат (шындық) болғандықтан логикалық дәлелдеусіз алынатын қағида; теорияның ақиқат (шындық) ең бастапқы қағидасы. “Аксиома” термині Ертедегі Грекияда пайда болған. Ол алғаш рет Аристотельдің (біздің заманымыздан бұрын 384 — 322 жылдары) еңбектерінде кездеседі. Ал Евклид (біздің заманымыздан бұрын III ғасырда) аксиомалық жүйені пайдалана отырып өзінің басты еңбегі — “Негіздерді” жазды.

Математикалық теорияның негізі болып табылатын аксиомалар жүйесі де аксиомалар сияқты үнемі өзгертіліп әрі жетілдіріліп отырады. Аксиомалар жүйесіне оның қайшылықсыздығы, тәуелсіздігі және толықтығы сияқты негізгі талаптар қойылады. Аксиомалық тәсілдер геометрияда, арифметикада, ықтималдықтар теориясында тағы басқа салаларда кеңінен қолданылады. Қазақша аксиомалық әдіс.[4]

Бұл лекцияда бұл аксиомалар жүйесін зерттеуге келеді. Тұтастай аксиомалық тұжырымдамасын зерттеулер математикалық тұжырымдамасы математикалық логика ілімдер мен әдістерін зерттеу қатысты мета-теориясы деп аталады, хрестоматиялық доктринасы көзделген сапасын белгілейді бірі болып табылады жол осы ғылым жетекші болып саналады. оған белгілеген прецедент салыстырмалы ғана теориясы, оларды ажырата үшін Metatheorem деп аталатын аксиоматической доктринасы ілімді қарастырады оқыды. аксиома оның жүйесінің қасиеттерін тәуелсіздік оның консистенциясы, кепілдігімен, толықтығы, бар аксиоматической доктринасы көзделген модельдерге байланысты мәселелер, — ол жауап мета-теориясы зерттеу аксиоматической доктринасы қамтамасыз ету қажет, ол үшін маңызды сұрақтар болып табылады. Бұл көзқарастар көп ұзамай Қалыптастырылған есептеу өрнектерді салу, және Қалыптастырылған предикатов есептеу тіпті құрылысына дейін ұсынылды. Енді біз олардың кездейсоқ аксиоматикалық доктринаға сілтеме жасай отырып, оларды тереңірек қарастырамыз.

Аксиоматикалық доктриналардың сәйкестігі Бұл аксиоматикалық доктриналардың маңызды сипаты және оларға маңызды талабы, өйткені төменде көретініміздей, қайшылықты доктриналардың іс жүзінде маңызы жоқ. Анықтау 27.1. Аксиоматикалық ілім дәйекті деп аталады A , осы доктринаның анықтамаларында тұжырымдалған, А-ның сөзі A және оның терістеуі ¬А осы доктринаның аксиомалары болудың барлық мүмкіндіктері болмайды. Егер қандай да бір өтініш үшін А A доктринаның екі мәлімдемесі де бар A және ¬A ¬А оның аксиомалары саналады, онда аксиоматикалық доктрина қайшылықты деп аталады. аксиоматической доктринасы қайшы болса логикалық жүйеде пайдаланылған, ол содан кейін осы доктринаға әрбір ұсыныс, оның аксиома болып саналады, есептеу өрнектер O ережесін [I] Модус ponens (MP) байланыстырады бұл іс жүзінде көрсетеді. [/ I] Растау. Шын мәнінде, қайшы доктринаның ескере отырып, ұсыныс А бар A Доктрина, бұл шын мәнінде, бұл А A және ¬A ¬А Оның аксиомалары. Доктринада берілген өрнектердің дұрыс реттілігіне қарап көрейік:

Аксиоматикалық доктрина төмендегілерге негізделеді: бірнеше негізгі нысандар енгізіледі (планиметрияда баста, жазық, жазықтық, «тиесілі», «арасындағы» және қозғалыс). Бұл нысандар анықтамалар алмайды, бірақ жоғарыда аталғандардың бәріне қарамастан осы объектілердің қасиеттерін түсіндіретін бірқатар аксиомалар постулирленеді. Аксиоматикалық доктрина нақты сөйлеспейді, нүкте, түзу сызық және ұшақ бар. Осының салдарынан екі нұсқасы болуы ықтимал: екі кері мәлімдеме аксиома жүйесінен алынады. Бұл жүйе қайшылықты деп аталады — бұл шын мәнінде ешқандай нүктелер, сызықтар мен ұшақтар жоқ екенін білдіреді және бұл да планиметрия жоқ екенін білдіреді. Кейбір математикалық жүйе (мысалы, арифметика негізінде) құрылады, оның шеңберінде «нүкте», «тікелей сызықтар» және «ұшақтар» тағайындалады. Бұл жоспарлы модельге айналады. Модельдің құрылысы, шын мәнінде, аксиома жүйесі нашар емес екенін растайды.