1. 1Жиын ұғымы. Шекті және шексіз жиындар. Жиындарды анықтау тәсілдері.Ішкі жиындар. Берілген жиынның барлық жиынтығы. К- элемент жиындарының саны туралы n- элемент жиынтығы
жүктеу/скачать 336,61 Kb.
|
1. 1Жиын ??ымы. Шекті ж?не шексіз жиындар. Жиындарды аны?тау т?с
| Сызықтық функция
y = kx+l (мұндағы x - тәуелсіз айнымалы, k мен l – нақты сандар) түріндегі формуламен берілетін фуннкцияны сызықтық функция деп атайды. у = kx + l функциясының анықталу аймағы барлық нақты сандар жиыны. Егер у = kx + lсызықтық функциясындағы l=0болса, онда у=kxтүрінде жазылады. у =kxфункциясы тура пропорционалдық деп аталады. Егер у=kx+lформуласындағы k=0болса, у=0x+l, онда у =l; у =l функциясы тұрақты функциядеп аталады. у =l тұрақты функциясы сызықтық функцияның дербес жағдайы. Сызықтықфункцияның графигі У=1,5x-2 сызықтық функциясының графигін сызайық. Ол үшін x пен y-тің сәйкес мәндерінің кестесін құрастыру керек. х -3 -2 -1 0 1 2 3 у -6,5 -5 -3,5 -2 -0,5 1 2,5 Координаталық жазықтықта координаталары кестеде көрсетілген нүктелерді белгілейік. Белгіленген нүктелерді қоссақ, түзу сызылады. Осы түзу у=1,5x-2 сызықтық функциясының графигі болады. y=kx+lфункциясының графигі түзу сызық. Жазықтықтағы екі нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізілетіндіктен, түзуді жүргізу үшін, оның екі нүктесінің координаталарын білу жеткілікті. Y=kx+l сызықтық функциясының графигі болатын тузу ординаталар (Оу) осін (0;l) нүктесінде, ал абциссалар (Ох) осін ( ;0) нүктесінде қияды. у=kxфункциясының формуласындағы х=0 болғанда у=0. Сондықтан оның графигі координаталар басы арқылы өтеді. у=kx (мұндағы k 0) функциясының графигі координаталар басы арқылы өтетін түзу. у=kxтура пропорционалдығының графигін салу үшін ізделінді нүктелердің бірі ретінде О(0;0) нүктесін алу керек. Ізделінді екінші нүктенің координаталарын табу үшін x-тің нөлден өзгеше қандай да бір (мүмкін) мәнін қойып, оған сәйкес у-тін мәнін табу керек. Мысалы, у=2х функциясы үшін, х=2 болғанда у=4. А(2;4) нүктесін алу керек. Табылған О(0;0) және А(2;4) нүктелері арқылы жүргізілген түзу у=2хфункциясының графигі. у=kxфункциясы графигінің координаталық жазықтықтағы орналасуы к коэфицентіне тәуелді.у=kx Сызықтық функция – у=ах+b түріндегі функция (мұндағы а, b – тұрақты сандар). Егер а, b – нақты сандар болса, онда сызықтық функцияның графигі түзу сызық болады (қ. сурет). а – түзу сызық пен абсцисса осі арасындағы бұрыш α-ның тангенсіне тең болатын түзудің бұрыштық коэффициент: а=tgα. а>0 болса, сызықтық функцияның графигі өседі, а<0 болса, кемиді, а=0 болса, у=b, яғни тұрақты санға тепе-теңдігі шығады да оның графигі абсцисса осіне параллель түзу болады. Сызықтық функция графигі ордината осін (0, b) нүктелерінде, ал абсцисса осін (-b/a, 0) нүктелерінде қиып өтеді. b=0 болғанда у=ах функциясы біртекті сызықтық функция деп аталады. Біртекті сызықтық функцияның графигі координаттар басы арқылы өтеді. Сызықтық функция физика мен техникада әр түрлі шамалар арасындағы тәуелділікті көрсетуде кеңінен қолданылады. 3.3.Логикалық заңдар — дұрыс пайымдаудың нормаларын, ережелерін, заңдылықтарын бейнелейтін ұғым. Кең мағынасында Логикалық заңдар объективті шындықты абстрактілі ой дәрежесінде бейнелеу әдістері мен формаларын, ұғымдар мен пікір байланысын және ойдың дамуы мен қалыптасуын анықтайды. Логикалық заңдарды зерттеудегі мақсат — танымның ақиқаттылығының объективті жағдайларын айқындау. Адам Логикалық заңдарды зерттеп ашуы мүмкін, бірақ адам ол заңдарды ойдан шығарып не өзгерте алмайды. Логикалық заңдар адамның санасы мен еркінен тыс, объективті, жалпы адамзатқа бірдей болғандықтан ғана, адамдар белгілі бір жүйеде бірыңғай ойлап, дүниені бірдей танып және бірінің ойын бірі ұғынып түсіне алады. Логикалық заңдарды ойлау процесінде мүлтіксіз дұрыс қолдану — ойлау процесінің негізгі шарттарының бірі. Тар мағынасында Логикалық заңдар деп дәстүрлі логиканың белгілі 4 заңын айтады, олар: Тепе-теңдік заңы Қайшылық заңы Үшіншінің аластатылуы заңы Негіздің жеткіліктілігі заңы. Бұл заңдар формальдық тұрғыдан дұрыс, яғни дәл, анық, нақтылы ойлаудың негізгі шарттары болып табылады. Тепе-теңдік заңы бойынша ой қорыту процесіне қатысатын әрбір ойдың өзіне сай белгілі бір орнықты мазмұны болуы, яғни ол өзіне-өзі тең болуы тиіс. Дәстүрлі логикада бұл заң А дегеніміз А (мұнда А — белгілі бір ой) немесе А тең А (А=А) деп айтылады. Қайшылық заңы бойынша бір уақытта және бір қатынаста алынған нәрсе туралы екі қарама-қарсы ой сол мезетте бірдей ақиқат бола алмайды. Бұл заңның формуласы: АА (А және А — қарама-қарсы ойлар, — “және” дегенді білдіретін логикалық белгі, ал үстіндегі сызықша — бүкіл күрделі лебізді терістеу белгісі). Үшіншінің аластатылуы заңы бойынша бір уақытта және бір қатынаста айтылған екі қарама-қайшы ойдың біреуі қалай болғанда да ақиқат болады. Бұл заңның формуласы: АА (А мен А — бір-біріне қарама-қайшы ойлар, — “немесе” дегенді білдіретін логикогикалық белгі). Негіздің жеткіліктілігі заңы әрбір ақиқат ойдың ақиқаттылығы дәлелденген ойға негізделуі тиіс екенін талап етеді. Бұл заңның Формуласы: А В (А мен В — өзара байланысты ойлар, — байланыс бағытын білдіретін логик. белгі) — 1В болса, оның негізі А болуға тиіс. Диалектикалық логиканың өз заңдары бар Сан мен сапаның байланысы заңы Қарама-қарсылықтардың бірлігі мен күресі заңы Терістеуді терістеу заңы Диалектикалық категориялар арасындағы мәнді байланыстар мен қатынастар арқылы бейнеленетін заңдар. Кез келген ҚҚФ ДҚФ-қа түрлендірудің алгоритмі. Егер формуланың ҚҚФ белгілі болса ,оны төмендегі ережемен ДҚФ түрлендіруге болады. Айталық, ДҚФ F= m к к к ... 2 1 1 m түрінде болсын. Мұндағы m к к к , , , 2 1 -элементар дизъюнкциялар. F-ке қос терістеу F= m к к к ... 2 1 заңын қолданып, m к к к ... 2 1 -ді КҚФ –ке ' ' ' 1 2 m к к к түрлендіру керек. Мұндағы ' ' ' 1 , , , 2 m к к к - элементар дизъюнкциялар.Сонда, F= m к к к ... 2 1 = m к к к ... 2 1 = ' ' 2 ' 1 ... m к к к Морган заңымен екінші терістеуден құтылып элементар дизъюнкциялардың терістеулерін элементар конъюнкцияларға р D D D , , , 2 1 түрлендіру керек. Сонда, F= ' ' 2 ' 1 ... р к к к = ' ' 2 ' 1 ... р к к к = . , , 2 1 р D D D Буль функцияларының шексіз көп ҚҚФ, ДҚФ болуы мұмкін. Олардың ішінен ЖДҚФ,ЖКҚФ- ерекше ролі бар. Жетілдірілген дизюнктивті, конъюнктивті қалыпты форма (ЖДҚФ, ЖКҚФ ). Анықтама. Кез келген формуланы оған эквивалентті ДҚФ-ті ҚҚФ-ке түрлендірудің алгоритмі. m D D D 2 1 1 m формулаға түрлендіруге болады, мұндағы i D -не айнымалы, не оның терістеуі немесе айнымалы мен оның терістеуінің дизъюнкциясы (конъюнкциясы). Осындай формула берілген формуланың дизъюнктивті ( конъюнктивті). қалыпты түрі деп аталады. Жетілдірілген дизюнктивті қалыпты форма (ЖДҚФ) Анықтама. Айталық, А формуласы < k i i i x x x ,..., , 2 1 > айнымалыларынан тәуелді болсын. Егер төмендегі шарттар орындалса А формуласы берілген айнымалылар тізімінде жетілдірілген дизъюнктивті қалыпты формада делінеді. А- дизъюнктивті қалыпты формада (элементар конъюнктер дизъюнкциясы) А- ның әрбір дизъюнктивті мүшесі к-мүшелі конъюнкция және бұл конъюнкцияның әрбір l - орында ( k l 1 ) не k l x айнымалысы не оның терістеуі орналасады. А- ның барлық дизъюнктивті мушелері өзара әртүрлі. Мысалы, 3 2 1 , , x x x -айнымалылар тізімінде ( ) ( ) ( ) ( , 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x -дизъюнктивті қалыпты формалар. Жетілдірілген конъюнктивті қалыпты форма (ЖКҚФ). Анықтама. Айталық, А формуласы < k i i i x x x ,..., , 2 1 > айнымалыдан тәуелді болсын. Егер төмендегі шарттар орналаса А- берілген айнымалылар тізімінде жетілдірілген конъюнктивті қалыпты формада делінеді. А-конъюнктивті қалыпты формада А-ң әрбір мұшесі к мүшелі дизъюнкция және бұл дизъюнкцияның l - ші орнында ( k l 1 ) не k l x айнымалысының не өзі, не оның терістеуі тұрса. А- ның барлық конъюнктивті мүшелері өзара әр түрлі. Мысалдар. ) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x - ЖДҚФ ) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x - ЖДҚФ емес. Берілген формулаға эквивалентті ЖДҚФ, ЖКҚФ табу есептерін шешу үшін, алдымен ) ,..., , ( 2 1 n х x x f буль функциясы үшін Шеннон жіктеуін қарастырамыз. Шеннон жіктелулері. Кез келген Буль функциясы Шеннон жіктелуі түрінде өрнектеледі. ) ( ) ( 1 1 ,... 1 ) ... ( 2 1 1 ) ,... , ( 1 1 нµмірлері лар ќ±рама болатын f i n i ќ±рамалары лыќ бар болатын f n i n n x x x x f Мысалы, ) , , ( 3 2 1 x x x f 000, 010, 011 құрамаларында 1-ге тең болсын. Олай болса, ) , , ( 3 2 1 x x x f жіктелуі: ) , , ( 3 2 1 x x x f = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x ; Осыған ұқсас 0-ге тең емес ) ,..., , ( 2 1 n x x x f функциялары төмендегідей болып жіктеледі: ) ( ) ( 0 0 1 1 ,... 0 ) ... ( 2 1 1 1 ) ,... , ( н м м лар р р болатын f i n n i n i р р р лы бар болатын f n x x x x f Бұл формулалардан төмендегі теореманы келтіруге болады. Теорема. Кез келген Буль функциясын өрнектейтін формула табылады Егер 0 f болса оны ЖДҚФ түрінде өрнектейтін жалғыз ғана формула бар. ) ,... , ( 2 1 1 1 ) ... ( 1 n f K n Егер 1 f болса оны ЖКҚФ түрінде өрнектейтін жалғыз ғана формула бар. ) ,... , ( 2 1 0 1 ) ... ( 1 n f K n Мысалы, ақиқаттық кестемен берілген ) , , ( z y x f функциясының ЖДҚФ, ЖКҚФ табу керек. Функцияның толықтығы туралы теорема бойынша xyz z y x z y x z y x 1 -ЖДҚФ; z y x yz x z y x z y x 2 -ЖКҚФ Сонымен ЖДҚФ, ЖКҚФ - белгілері. Дизъюнкцияның (конъюнкцияның ) мүшелері әр түрлі конъюнктердің (дизъюнктердің) мүшелері әр түрлі бір де бірі конъюнкте (дизъюнкте)айнымалының әрі өзі ,әрі оның терістеуі бірге болмайды. Әрбір конъюнктің (дизъюнктің ) құрамында формулаға енетін барлық айнымалылар болуы керек, яғни х 1 х 2 ... х 3 мұндағы х і не i x өзі , не i х . Мысалы, y x z y x -өрнегі ) ( x z y x формуласының – дизъюнктивті қалыпты формаларының бірі. Бұл ЖДҚФ-ң алдыңғы үш талабын қанағаттандырады, ал төртіншісін қанағаттандырмайды. Сондықтан оған түрлендірулер жүргіземіз ( z z көбейтміз). z y x z y x z y x z y x z y x z z y x z y x y x z y x )) ( ( Кез келген F (х 1 ,х 2 ...х n ) формуласын ЖДҚФ (ЖКҚФ ) түріне келтіру үшін мына ережені қолдануға болады. F (х 1 ,х 2 ...х n ) формуласын қандайда бір дизъюнктивті (конъюнктивті) қалыпты формаға түрлендіру. Егер конъюнктке қандай да бір айнымалы өзінің терістеуімен бірге кірсе оны ДҚФ- тан жою керек. (х х 0) Егер конъюнктке бір литер х бірнеше рет кірсе, олардың біреуін ғана қалдырып калғандарын қысқарту керек. (х х х) Егер конъюнктердің біріне ( k k x x x ... 2 1 2 1 ) y айнымалыc кірмей тұрса, онда бүл конъюнктті оған эквивалентті k k x x x ... 2 1 2 1 ) ( y y формуламен алмастырамыз да, дистрибутивті заңды (x (y z)) = xy xz қолданып ДҚФ түріне келтіреміз. Егер толық емес конъюнкт бірнешеу болса олардың әрқайысысы үшін сәйкес ) ( y y формуласын қосамыз. Алынған ДҚФ-да бірдей бірнеше конъюнктер болса олардың ( х х) біреуін ғана қалдырамыз. Нәтижесінде ЖДҚФ шығады. Мысалы, YZY X X X ДҚФ –ны ЖДҚФ-қа түрлендіру керек. YZY X X X )) ( ) ( ( X X YZ Y Y X [дистрибутивтік заңымен ашамыз] YZ X XYZ Y X XY ) ( ) ( Z Z Y X Z Z XY YZ X XYZ YZ X XYZ Z Y X Z Y X Z XY XYZ Z Y X Z Y X YZ X Z XY XYZ КҚФ-ны ЖКҚФ түрлендірудің алгоритмі де осындай. Мысал арқылы көрейік. Z Y X XY XYZ формуланы ЖКҚФ ға келтіру керек болсын. 1.Формуланы қандайда бір конъюнктивті қалыпты формаға (КҚФ) келтіреміз. Z Y X XY XYZ Z Y X XY Z Y X Z Y X Y X Z Y X X Y X Z Y X ; Z Y X Y Y X 2). Бірдейлерін жоямыз. Айнымалының терістеуімен бірге қатысып тұрған конъюнкция мүшесі,3 қайталанып тұрған конъюнкция мүшесі 1 мен 4. Y X Z Y X ТОЛЫҚТЫРАМЫЗ Z Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X жойылады муше тивтi конъюнк бiрдей Z Y X Z Y X -Бұл ЖДҚФ жүктеу/скачать 336,61 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|