3-мысал.
а) кез келген натурал сан n (n элементтен тұратын ақырлы жиынның қуаты);
ә) және т.б.
Натурал сандар жиынына эквивалентті жиындар саналымды жиындар деп аталынады. Саналымды жиын туралы мынадай теорема бар:
1-Теорема. Қандай да бір жиын саналымды болу үшін, оның элементтерін шексіз тізбек түрінде кескіндеу қажетті және жеткілікті.
2-Теорема. Саналымды жиынның кез-келген ішкі жиыны саналымды жиын.
3-Теорема. Ақырлы немесе саналымды жиындардың бірігуі-саналымды жиын.
Салдар. Рационал сандар жиыны саналымды жиын. Шынында да барлық оң рационал сандарды шексіз кесте түрінде өрнектеуге болады:
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, …
3/1, 3/2, 3/3, 3/4., 3/5, …
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, …
…………………………,
Бұл кестені сол жақ жоғарғы бұрыштан бастап диагональ бойымен айналуға болады. Бірақ барлық шексіз жиындар саналымды емес.
Кантор теоремасы. [0;1] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны саналымды емес. Теореманы кері жорып дәлелдейміз . Айталық бұл жиын саналымды болсын. Демек, бұл жиынның барлық элементтерін шексіз тізбек түрінде өрнектеуге болады.
Α1 = 0,а11а12а13а14…
Α2 = 0,а21а22а23а24…
Α3 = 0,а31а32а33а34…
………………………
Төмендегі тәртіппен В = b1b2b3b4…шексіз ондық бөлшек тізбегін b1 ≠ a11, b2 ≠ a22, b3 ≠ a33 және т.б. құрайық. Бұл бөлшек айтылған тізбекке енбейді, себебі тізбектің бірінші мүшесінен оның бірінші цифры өзгеше, екіншісінен екінші цифры өзгеше т.б. Ендеше [ 0;1] кесіндісінің барлық нақты сандар жиыны саналымды емес. Бұл жиынның қуаты континуум (С қуатты), ал С қуатты жиын континуальды жиын деп аталады.
Теорема. [a,b] кесіндісінің бардлық нақты сандар жиыны континуум қуатты.
Шынында да y=a+(b - a)x функциясы [ 0; 1] және [ a; b] кесіндісінің нүктелерінің арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнатады, демек [ a; b] кесіндісіндегі нақты сандар жиынының қуаты [ 0; 1] кесіндісіндегі нақты сандар жиынының қуатындай.
Теорема. Континуум қуатты ақырлы немесе саналымды жиындардың жиыны – континуум қуатты жиын болып табылады.
1 Салдар. Барлық нақты сандар жиыны континуум қуатты.
2 Салдар. Барлық иррационал сандар жиынының қуаты С. I=R/Q
Диагональды аргумент (кантордың диагональды әдісі) — кантор теоремасының дәлелі, берілген жиынның барлық ішкі жиындарының жиыны жиынның өзіне қарағанда көбірек қуатқа ие. Атап айтқанда, табиғи қатардың барлық ішкі жиындарының жиыны алеф-0-ден үлкен қуатқа ие, сондықтан ол есептелмейді.
Егер А жиыны натурал сандар жиынымен тең қуатты болса, оны саналымды жиын деп атаймыз. Белгiлеуi: |A| = w.
Жоғарыдағы анықтама бойынша, егер А жиыны саналымды болса, оның элементтерiн натурал сандар арқылы нөмiрлеуге болады. Яғни символды түрде А={}.
Бүтiн сандар жиыны Z және жұп натурал сандар жиыны 2N={0,2,4,…} саналымды жиындар мысалдары болады. Төмендегi теорема саналымды жиындардың көп қолданылатын қарапайым қасиеттерiн жинақтайды.
Достарыңызбен бөлісу: |