1-дәріс. Кіріспе. Математиканың пайда болуы. Қарастырылатын сұрақтар
жүктеу/скачать 108,96 Kb.
|
4. Дәрістер
| Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. И.Ньютон және оның математикалық еңбектері. 2. Г.В.Лейбництің математикалық анализдің негізін салуға сіңірген еңбегі. 3. XVII ғасыр математикасының көрнекті өкілдері. 4.Алғашқы ғылым академиялары. Дәрістің қысқаша мазмұны 1. XVII ғасырдың екінші жартысында математика ғылымының дамуында үлкен бетбұрыс орын алды, дифференциалдық және интегралдық есептеулер ашылды. Оны ашқандар – атақты математиктер И.Ньютон мен Г.И.Лейбниц. Жалпы алғанда, И.Ньютон-физика, математика және астрономия ғылымдарында аса ірі жаңалықтар ашқан ғалым, олардың ішіндегі үш ұлы жаңалығы мыналар: Бүкіл әлемдік тартылыс заңы; Жарықтың корпускулалық теориясы; Математикалық анализ. И.Ньютон 1665-1667 жж. өзінің аса маңызды мынадай жаңалықтарын ашты: бином формуласының бөлшек және теріс көрсеткішті дәрежелерге жіктелуі және осымен байланысты шектеусіз қатарлардың кеңінен қолданылуы, жанамалар әдісі, флюксиялардың тура және кері әдістері. Бұл жердегі автордың флюксиялардың тура әдісі деп отырғаны дифференциалдау, ал кері әдісі дегені интегралдау еді. Ньютонның ашқан жаңалықтары негізінен алғанда, мынадай еңбектерінде келтірілген: «Табиғат философиясының математикалық негіздері», «Үшінші ретті қисық сызықтардың түрлері», «Қисықтардың квадратурасы туралы трактат», «Жалпы арифметика», «Шексіз мүшелері бар теңдеулер арқылы анализ жасау туралы», «Айырмалар әдісі» және «Флюксиялар мен шектеусіз қатарлар әдісі». Соңғы еңбегінде Ньютон математикалық анализдің негізін қалады. Мұнда ол айнымалы шаманы флюэнта («флюэнта» (латынша flue) - «ағамын» деген мағынада), ал қозғалыстың әсерінен әрбір флюэнта өсетін жылдамдықты «флюксия» деп атады. Флюэнталарды x,y,z ал оның флюэнталарын осы әріптердің үстіне нүкте қою арқылы белгіледі. Ньютон «Флюксиялар мен шектеусіз қатарлар әдісі» атты шығармасында мынадай екі есепті қарастырды: 1. Флюэнталар арасындағы берілген қатынастар бойынша флюксиялар арасындағы қатынастарды табу (қазіргі тілмен айтсақ, берілген жол бойынша берілген уақыттағы қозғалыс жылдамдығын анықтау); 2. Флюксияларды қамтитын берілген теңдеу бойынша флюэнталардың арасындағы қатысты табу (берілген қозғалыс жылдамдығы бойынша берілген уақыт ішінде жүріп өтілетін жолды анықтау). 1 – есеп флюксиялар теориясының тура есебі, қазіргі тілмен айтсақ функцияны дифференциалдау есебі, ал 2 – есеп флюксиялар теориясының кері есебі, қазіргі тілде интегралдау есебі болып табылады. Мұнда ол бұлардан да басқа төмендегідей мәселелерді шешкен: -қисық сызықтарға жанама жүргізу; -шамалардың экстремум мәндерін табу; -ұзындықтары өзара тәуелді болатын қисық сызықтарды табу; -қисық сызықтың ұзындығын есептеп шығару; -қисық сызықты трапецияның ауданы бойынша қисық сызықтың өзінің теңдеуін табу; -аудандары өзара тәуелді болатын қисық сызықтарды табу; -тұйық қисық сызықпен шектелген фигураның ауданын табу; -қисық сызықтарға жанама жүргізу; -қисық сызықтың иілу нүктесін табу; -қисық сызықтың иілуін зерттеу. Осы мәселелердің шешілуі барысында кейіннен математикалық анализдің «туынды», «дифференциал», «анықталған интеграл», «анықталмаған интеграл» сияқты негізгі ұғымдары қалыптасты. «Қисықтардың квадратуралары туралы трактат» - Ньютонның осы кітабының жалғасы ретінде жазылған мақала, онда мынадай үш мәселе қарастырылған: 1) флюэнталардың теңдеуі бойынша флюксияны табу; 2) квадратурасы шығарылатын қисықтарды табу; 3) қисықтардың квадратураларын өзара салыстыру. Ньютонның тағы да бір атақты мақаласы ««Шексіз мүшелері бар теңдеулер арқылы анализ жасау туралы» деп аталады, ол қисық сызықтармен шектелген фигуралардың аудандарын есептеп шығару мәселелеріне арналған. Мұнда иррационал, тригонометриялық, кері тригонометриялық және экспоненциальдық функциялардың шектеусіз қатарларға жіктелуі көрсетіліп, осы арқылы сәйкес ауданды табу жүзеге асырылған. Ньютонның «Жалпы арифметикасы» сол кезеңдегі алгебра ғылымын жүйеге және жаңа даму жолына түсірген оқулық сипатында жазылған. Онда төмендегідей материалдар қамтылған: айнымалысы бар өрнектер және оларды теңбе-тең түрлендіру, бір және бірнеше белгісізі бар теңдеулер және оларды шешу, теңдеулерді алдын ала түрлендіру, есептерді теңдеу құрып шығару, теңдеудің түбірлерінің қасиеттері, арифметикалық есептер (барлығы 16 есеп) және геометриялық есептер(барлығы 45 есеп), үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерді шешу. «Үшінші ретті қисық сызықтардың түрлері» атты мақалада ол үшінші ретті қисықтардың 72 түрін анықтап, оларды топқа бөліп қарастырған. Сонымен қатар мақалада кейіннен Ньютонның үш тісті қисығы, Ньютон серпантині сияқты қисық сызықтар алғаш рет зерттеуге алынған, сонымен қатар үшінші ретті қисықтардың бес түрлі конус пен жазықтықтың қиылысуынан пайда болатындығы анықталған. Ньютонның «Айырмалар әдісі» атты мақаласы жоғары ретті интерполяцияларға арналған, онда функциялардың жуық мәндерін есептеп шығаруға арналған алты түрлі интерполяциялық формулалар келтірілген. 2. Дифференциалдық және интегралдың есептеулерді Ньютонға тәуелсіз 1673-1676 жж. атақты неміс математигі Г.В.Лейбниц (1646-1716) те ашты. Ол математикаға «функция» ұғымын енгізді, арктангенстің қатарға жіктелуін және оның көмегімен қазіргі күні «Лейбниц қатары» деп аталатын = 1- + - +… қатарын алды. Лейбниц қабырғалары Δx, Δy, Δz болатын характеристикалық үшбұрышты жалпы түрдегі есептер үшін жанама жүргізудің құралы ретінде қарастыра отырып, 1673 ж. дифференциалдау мен интегралдаудың өзара кері амалдар екендігін тағайындады. 1677 ж. көбейтіндіні дифференциалдау ережесін көрсетіп берді, осында алғаш рет «дифференциалдық теңдеу» терминін қолданды. Лейбниц өзінің ғылыми жаңалығын 1684 ж. ғана «Акта Эрудиторум» журналында «Максимумдар мен минимумдар, сондай-ақ жанамалардың жаңа әдісі» атты 7 беттік мақаласында жариялады. Мұнда ол алғаш рет функция дифференциалының анықтамасын берді, dx, dy, dz символдарын енгізді, функцияларды дифференциалдау ережелерін, қисықтың максимумы мен минимумы арасындағы айырмашылықты тағайындады және иілу нүктесін анықтауға арналған ережені келтірді. 1686 ж. осы журналда Лейбництің «Терең геометрия мен бөлінбейтіндердің анализі туралы» атты мақаласы жарияланды, мұнда интегралдық есептеулердің негізі салынды. Жалпы алғанда, Лейбництің аталмыш журналдағы 1686-1697 жылдар аралығында жариялаған мақалалары математикалық анализдің әртүрлі мәселелеріне, әсіресе, интегралдық есептеулерге арналған. 1702-1703 жылдары рационал бөлшектерді интегралдау әдістерін көрсетіп берді. Лейбниц математикалық анализдің ұғымдық-терминологиялық аппаратын қалыптастыруға көп еңбек сіңірді. Қазіргі қолданылып жүрген «дифференциал», «дифференциалдық есептеу», «функция» сияқты көптеген терминдерді Лейбниц енгізген. 3. Геометрия ғылымын дамытуға француз математигі Жирар Дезарг (1593-1662) үлкен үлес қосты.1630 ж. ол өзінің перспективалар туралы ілімін жариялады, 1639 ж. «Конус пен жазықтықтың қиылысуында пайда болатын аймаққа енудің қарапайым нобайы» атты негізгі шығармасын жазды. Мұнда ол геометриядағы меншіксіз элементтер теориясын ұсынып, проективтік геометрияның іргетасын қалады, алғаш рет екінші ретті қисықтарды шеңбердің перспективалары ретінде қарастырды, екі үшбұрыштың орналасуы жайындағы аса маңызды Дезарг теоремасын ұсынды. Б.Паскаль (1623-1662)–физика мен математика ғылымдарында үлкен табыстарға қол жеткізіп, бірқатар жаңалықтар ашқан ұлы француз ғалымы (Паскаль заңы, Паскаль үшбұрышы, Паскаль теоремасы, Паскаль арифмометрі, т.б). 16 жасында «Конустық қималардың тәжірибесі» атты еңбегін жариялап, эллипс, парабола және гипербола шеңбердің проекциялары екендігін тағайындады, проективтік геометриядағы атақты Паскаль теоремасын дәлелдеді. Сонымен қатар алғашқы есептеу құралы – Паскаль арифмометрін ойлап шығарды. Б.Паскаль физика ғылымында да жаңалықтар ашты. 1659 ж. «Рулетта туралы» және «Дөңгелек ширегінің синусы туралы» атты кітаптарын бастырып шығарды. Бірінші кітапта циклоиданың және тағы да басқа қисықтардың бірқатар қасиеттері тағайындалған. Екінші кітапта ол Кавальери әдісін жетілдіре отырып, «интеграл» ұғымына байланысты мәселелерді, сондай-ақ характеристикалық үшбұрышты қарастыру арқылы «туынды» ұғымына байланысты мәселелерді қарастырған. Осылайша, ол математикалық анализдің іргетасының қалануына елеулі үлес қосты. Б.Паскаль бином коэффициенттерін тыңғылықты зерттеу барысында арифметикалық үшбұрышты ашты, сандардың бөлінгіштігінің жалпы белгісін тағайындады, ықтималдықтар теориясының негізін салды. Осы кезеңде Баше де-Мезириак, Мерсенн, Каркави, Жилл Пирсон, Клод Мидорж, Флоримон де-Бон, Филипп Де-ла-Гир, Мишель Ролль, П.Вариньон, маркиз де-Лопиталь сияқты француз математиктері айта қаларлықтай табыстарға қол жеткізді. XVII ғасырда математика ғылымы Голландияда жақсы қарқынмен дами бастады. Көрнекті математиктер мыналар болды: А.Жирар – алгебралық теңдеулерді зерттеуде айтарлықтай нәтижелерге қол жеткізген математик; А.Меций – 𝞹 санының жуық мәнін табушы; В.Снеллиус – жарықтың сыну заңын ашушы, тригонометриялық қосындыларды қарастырушы; А.Таке – шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табушы. Бұлардан басқа Ф.Скоутен, И.Гудде сияқты математиктерді атап айтуға болады. Алайда, осы кезеңдегі Голландия математикасының ең атақты өкілі Х.Гюйгенс болып табылады. Гюйгенс циклоиданың «таутохрондық» қасиетін ашқан, Диокль циссоидасы мен асимптотасы арасындағы ауданды есептеп шығарған, Декарт жапырағының теңдеуін тапқан, строфоиданың симметриялы қисық екендігін, оның жанамаларының қасиеттерін тағайындап,аудандарын тапқан,Никомед конхоидасының түрін, жанамаларының қасиеттерін,ерекше нүктелерін, т.с.с. зерттеген, максимум мен минимум есептерінің кейбір түрлерін шешіп көрсеткен, «қисықтың эволютасы» ұғымын енгізген, ықтималдықтар теориясының негізін салған. XVII ғасырдағы атақты И.Ньютонға дейінгі ағылшын математикасының көрнекті өкілдері: Дж.Валлис, У.Броункер және И.Барроу. Дж.Валлис – Оксфорд университетінің профессоры, Лондон Корольдық қоғамының негізін салушылардың бірі, шексіз аздар анализінің іргетасын қалаушылардың бірі, 𝞹 санының алғашқы аналитикалық өрнектерінің бірін тапқан, математикаға шексіздік таңбасын енгізген, санаудың әртүрлі жүйелерін зерттеп, сандарды бір жүйеден екінші жүйеге аудару жолдарын көрсетті, құрама санның бөлгіштерінің қосындысының формуласын тапты, математикаға «мантисса» терминін енгізген, екімүшелігінің екімүшелігіне бөлінгіштігін тағайындаған, Евклидтің бесінші постулатын дәлелдеуге әрекет жасаған. Еңбектері: «Шектеусіз шамалардың арифметикасы», «Жаңа тәсілмен баяндалған конустық қималар туралы», «Жалпы математика», «Хаттар», «Циклоида туралы», «Алгебраның тарихи және практикалық кітабы»,т.б. У.Броункер -Лондонның Корольдық қоғамының негізін салушылардың бірі, оның Президенті (1662-1677), Пелль теңдеуін шешудің жолын және 𝞹 санының үздіксіз бөлшек арқылы өрнектелуін тапқан, xy=1 теңдеуімен өрнектелетін тең бүйірлі гиперболамен, x=1 және y=2 вертикаль түзулерімен шектелген фигураның ауданын есептеп шығарған. И.Барроу – атақты И.Ньютонның ұстазы, Оксфорд университетінің профессоры, Грехем-колледждің профессоры, Кембридж университетіндегі Тринити-колледждің Люкас кафедрасының меңгеруші-профессоры, Тринити-колледждің директоры болып істеген, Лондонның Корольдық қоғамының мүшесі. «Математикадан оқылған лекциялар» атты еңбегінде алғаш рет «жанаманы табу» амалы мен «квадратураны табу» амалының өзара кері амалдар екендігін тағайындап, математикалық анализдің пайда болуына әсер етті. Осы кезеңдегі көрнекті ағылшын математиктері ішінен мыналарды атап көрсетуге болады: У.Нейль – Корольдық қоғамның мүшесі, теңдеуімен өрнектелетін параболаның ұзындығын есептеп шығарған. Дж.Грегори – Корольдық қоғамның мүшесі, шектеусіз қатарларды зерттеген. «Жалпы геометрия» атты еңбегінде қисық сызықтармен шектелген фигуралардың аудандарын және осы қисықтардың айналуынан пайда болған денелердің көлемдерін есептеудің бірқатар ережелерін келтірген, сандар теориясы мен математикалық анализде бірқатар жаңалықтар ашқан. 4. XVII ғасырда Еуропа елдерінде бірқатар алғашқы ғылым академиялары құрылды. Италияның Флоренция қаласындағы «Тәжірибелер академиясы (1657 ж.). Мұнда атақты Г.Галилейдің шәкірті В.Вивиани бастаған ғалымдар жұмыс істеп, физика мен математика салаларында ғылыми-зерттеу жұмыстарын жүргізді. 1662 жылы «Лондонның Корольдық қоғамы» деген атпен ағылшын ғылым академиясы құрылды. Бастапқыда құрамында 35 мүше (оның 19-ы ғалымдар, 16-сы мемлекет қайраткерлері) жұмыс істеген бұл ғылым академиясының мүшелері арасынан Дж.Валлис, И.Барроу, Р.Бойль, Р.Гук, У.Нейль, Э.Галлей, Дж.Грегори сияқты ғалымдарды ерекше атап көрсетуге болады. Қоғам 1663 жылдан бастап «Философикал транзакционс» (мағынасы-«Философиялық еңбектер») деген ғылыми журнал шығаруды қолға алды. 1666 жылы Париж ғылым академиясы құрылды. Академияда екі секция жұмыс істеді, олар физика және геометрия секциялары еді. Геометрия секциясында Гюйгенс, Каркави, Роберваль, Френикль, Пикар, Мариотт, ал физика секциясында Кассини, Ремер сияқты академиктер жұмыс істеді. 1682 жылы атақты математик Г.В.Лейбництің белсенділігі арқасында Германияның Лейпциг қаласында «Акта Эрудиторум» (мағынасы- «Ғалымдардың еңбектері») атты журнал шығарыла бастады. 1700 жылы Лейбниц Берлин академиясын ұйымдастырып, оның бірінші президенті болып бекітілді. Сонымен қорыта айтқанда, XVII ғасырда мына сияқты жаңалықтар ашылды: -математикалық анализдің іргетасы қаланды(Ньютон,Лейбниц,т.б.); -аналитикалық геометрия ашылды -проективтік геометрияның негізі салынды (Дезарг, Паскаль, т.б.); -сандар теориясындағы елеулі нәтижелер алынды (Ферма, Паскаль, Мерсенн, т.б.), -комбинаторика мен ықтималдықтар теориясының негізі қаланды (Ферма,Паскаль,Гюйгенс,т.б.), -дифференциалдық геометрияның алғашқы нышандары пайда болды (қисықтықтың радиусы ұғымының енгізілуі (Кеплер), эволюталар мен эвольвенталардың зерттелуі (Гюйгенс), т.б.); Ең бастысы, шексіз аздар анализінің іргетасы қаланды: француз математиктері (Декарт,Ферма,Паскаль,т.б) шексіз аздар анализінің кіріспе бөлімінде қамтылатын кейбір мәселелерге жақындап келді, бұл Галилей, Кеплер, Кавальери, Валлис, Роберваль, Барроу сияқты математиктердің еңбектерінен де байқалады. Ферма қисық сызыққа максимум немесе минимум нүктелерінде жүргізілген жанаманың OX осіне параллель болатындығын тағайындап, дифференциалдық есептеулерге алғашқы қадам жасады. Бұл қисыққа жанама жүргізу есебінің маңызын арттыра түсті. Кеплер, Кавальери, т.б. Архимедтің сарқу әдісін жетілдіре отырып, көптеген фигуралардың аудандары мен геометриялық денелердің көлемдерін есептеу жолын тапты. Бұлар интегралдық есептеулерге жақын, соған жасалған алғашқы қадам болды. Ақыр соңында И.Барроудың еңбектерінде қисық сызықтарға жанама жүргізу есебі мен квадратуралау есебінің өзара кері есептер екендігі тағайындалды. 10- дәріс. XVIII ғасыр математикасы жүктеу/скачать 108,96 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|