15-дәріс. Аналитикалық функцияның жоғарғы ретті туындылары
жүктеу/скачать 130,57 Kb.
|
Тейлор қатарларыБізге дәрежелік қатардың қосындысы жинақталу дөңгелегінде аналитикалық болуы екені белгілі. Бұл параграфта кері есебін шығарамыз. Енді дөңгелекте кез келген аналитикалық функцияны дәрежелік қатар түрінде жазуға болатын көрсетейік. Теорема 3.30. Егер функциясы дөңгелекте аналитикалық болса, онда бұл дөңгелекте функциясы , , . (3.43) дәрежелік қатардың қосындысы түрінде жазуға болады. (3.43) қатары функциясы үшін Тейлор қатары деп аталады. Дәлелдеуі. C арқылы шеңберін белгілейік. z нүктесі дөңгелектің кез келген нүктесі болсын. Бұл дөңгелектің ішінде z0 нүктесінде центрі болатын шеңберін салайық, мұнда z нүктесі ішінде жатыр. Сонда Кошидің интегралдық формуласы бойынша . (3.44) Былай да жазуға болады: . болғандықтан еселігі болатын геометриялық прогрессияның мүшелердің қосындысы шығады: . Бұл қатар , прогрессиямен мажорантталады, сондықтан -те бірқалыпты жинақталады. Сонымен , (3.45) (3.45)-ті (3.44)-ге кіргізгенде болып шығады. белгілейік. Сонда , мұндағы ; , . Теорема дәлелденді. Теорема 3.31 (Тейлор қатарының жалғыздығы туралы теорема). функциясына жинақталатын дөнгелекте кез келген дәрежелік қатары (3.46) өзінің қосындысына қарағанда Тейлор қатары болады. Дәлелдеуі. (3.46) орындалсын. Сонда . 3.28 теорема бойынша (3.46) қатарды мүшелеп дифференциалдауға болады. Бұл дифференциалдауды жасап және санап , шығады, яғни (3.46) қатары функция үшін Тейлор қатары болады. Мысал 3.24. функциясы маңайында Тейлор қатарына жіктеу болатынынан дөңгелектің радиусын табу керек. Шешуі. функциясы , яғни шарттарына қанағатандыратын z нүктелерінде аналитикалық қасиетінен айрылады. нүктесіне ең жақын нүкте болады, бұл нүкте нүктесінен қашықтығына орналасқан. Сондықтан функциясы дөңгелекте z дәреже бойынша Тейлор қатарына жіктеу мүмкін. Сол себептен нақты айнымалы функциясы интервалында x дәреже бойынша жіктелуі мүмкін. Мысал 3.25. функциясын нүкте маңайында Тейлор қатарына жіктеу керек. Шешуі. . Бөлшектердің әрқайсысын Тейлор қатарына жіктейік. . Бұл қатар дөңгелекте жинақталады. . Бұл қатар дөңгелекте жинақталады. Сонымен, дөңгелекте болады. Келесі жіктеулер пайда болады: , ; ; ; ; ; Бұл жіктеулер барлық жазықтықта орындалады. ; ; (3.47) ; (3.48) ( — кез келген нақты немесе комплекс саны). Ең соңғы төрт жіктеулерде . (3.48) қатары биномиалдық деп аталады. 3.20 теорема және (3.47) бойынша қосындының таңбасынан шекке көшуге болады: . жіктеу үшін ұмтылғанда интегралдық қосындысын аламыз. , және , болғандықтан болады жүктеу/скачать 130,57 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|