Абай атындағы



Pdf көрінісі
бет13/30
Дата31.03.2017
өлшемі5,32 Mb.
#10853
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   30

 
 
 
УДК 517.977.1 
У.М. Ибрагимов  
 
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА В УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМАХ  
С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ 
 
(г.Шымкент, Южно-Казахстанский государственный университет им.М.Ауезова) 
 
Мақалада  басқарылатын  жүйелердегі  инвариантты  жиындар  интегралдық 
шектеулермен  қарастырылған.  Жүйеде  басқару  теңдеудің  оң  жағында  аддитивті 
түрде  берілген  жылу  өткізгіштік  теңдеуімен  сипатталады.  Берілген  есеп  басқару 
теориясы  тұрғысынан  қаралған,  яғни  берілген  функция  басқару  функциясы  деп 
алынған.  Есептің  тиімді  басқаруының  бар  екендігі  белгілі  болған  соң,  қаралып 
жатқан  басқарылатын  жүйеге  сəйкес  бос  емес  күшсіз  инвариантты  жиын 
анықталады.  Дəлелденген  теоремадан  сызықты  ішкі  кеңестік  үшін  күшсіз 
инварианттылықтың қажетті жəне жеткілікті шарттары келіп шығады. 
In article a question about invariance of the set with integral restrictions is considered. 
The system is described by heat conductivity equation in right side of which there is the 
control in additional form. A task is considered from point of view of control, i.e. We adopt 
the given function as a controlling function. After establishment of optimum control 
existence unempty set is determined. This set is weakly invariant in relation to considered 
controlled system. From the proved theorem necessary and sufficient conditions of weak 
invariance of linear subspace follow. 
 
Введение.  В  данной  работе  рассматривается  вопрос  об  инвариантности  данного 
множества  относительно  системы  с  распределенными  параметрами.  Система 
описывается  уравнением  теплопроводности,  правой  части  которого  в  аддитивной 
форме находится управления. Относительно исходных данных получены достаточные 
условия  для  сильной  и  слабой  инвариантности  множества,  которое  представляет 
график данного многозначного отображения. Отметим что, подобные задачи изучались 
для систем с сосредоточенными параметрами [1-6]. 
Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу  
)
(
)
(
)
(
t
u
t
Az
t
z
=
+
&

0
>
t
,   
 
 
 
(1) 
0
)
0
(
z
z
=
,   
 
 
 
 
 
(2) 
где 
)
(
),
(

⋅ z
u
 -абстрактные функции, т.е. при каждом 
0

t
 являются единственными 
элементами пространства 
)
(
2
0
Ω
L
H
, и 
1
H
 соответственно, отсюда следует:  
1
0
H
z


Теорема  1.  Пусть 
)
],
,
0
([
)
(
0
2
H
T
L
u



1
0
H
z

.  Тогда  задача (1), (2) имеет 
единственное  решение  (принадлежащее  пространству 
)
],
,
0
([
1
H
T
C
),  удовлетворяющее 
интегральному равенству 

 
 
85

∫∫ ∑

Ω
=
Ω
=




+

T
t
n
j
i
j
i
j
i
dxdt
x
t
x
t
z
x
a
dxdt
t
t
z
0
0
1
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ϑ
ϑ
&
∫∫

Ω
Ω
+
T
dxdt
t
t
u
dx
z
0
)
(
)
(
)
0
(
)
0
(
ϑ
ϑ
, (3) 
при любом 
)
],
,
0
([
)
(
1
1
H
T
C


ϑ
 с условием 
0
)
,
(
=
T
x
ϑ

Доказательство.  Так  как 
),
(
),
(
2
0
Ω
∈ L
z
t
u
  то  их  можно  представить  в  виде  ряда 
Фурье 


=
=
1
)
(
)
(
k
k
k
t
u
t
u
ϕ
,   


=
=
1
0
0
k
k
k
z
z
ϕ
,    (4) 
с условием 

<



=1
2
)
(
k
k
u
,     

<


=
2
0
1
k
k
k
z
λ
    (5) 
Искомую функцию (решению) задачи (1), (2) представим виде 


=
=
1
)
(
)
(
k
k
k
t
z
t
z
ϕ
  
 
 
 
 
 
(6) 
Поставляя  эти  разложения  в (1), (2) и  приравнивая  коэффициенты  при 
k
ϕ
  с 
одинаковыми номерами, получаем бесконечную систему линейных дифференциальных 
уравнений 
)
(
)
(
t
u
z
t
z
k
k
k
k
=
+
λ
&
,    
T
t

<
0
,   
 
 
 
(7) 
0
)
0
(
k
k
z
z
=
,  
 
 
 
 
 
 
(8) 
где 
...
,
2
,
1
=
k
 .  
Из (7), (8) имеем 




+
=
t
k
x
t
k
t
k
d
u
e
z
e
t
z
k
k
0
)
(
0
)
(
)
(
τ
τ
λ
λ
,   
...
,
2
,
1
=
k
 

  (9) 
Теперь,  проверим,  что  построенная  функция (6), по  коэффициентам (9) 
действительно является решением задачи (1), (2). 
Из (9) имеем 
=

+






t
k
t
t
k
t
k
d
u
d
e
z
e
t
z
k
k
0
2
0
)
(
2
0
)
(
)
(
τ
τ
τ
τ
λ
λ


+

t
k
k
k
t
d
u
z
e
k
0
2
0
2
)
(
1
τ
τ
λ
λ
,   
T
t


0

откуда  
)
)
(
1
2
)
(
0
2
0
2

+

t
k
k
k
k
d
u
z
t
z
τ
τ
λ
,    
T
t


0
,  
...
,
2
,
1
=
k
 

  (10) 
Домножая соотношение (10) на 
k
λ  и суммируя по 
k
, получаем 








+


∑∫


=

=

=
1
1
0
2
2
0
1
2
)
(
2
)
(
k
k
t
k
k
k
k
k
k
d
u
z
t
z
τ
τ
λ
λ
,  
T
t


0
 
отсюда имеем 
(
)
2
)
],
1
,
0
([
2
0
2
0
2
1
1
)
(
2
)
(
H
L
H
H
u
z
t
z

+

 
Последнее неравенство означает, что 
1
)
(
H
t
z

 для каждого 
]
,
0
T
t


Теперь  проверим  ее  непрерывность  по 
t
  в  норме  пространства 
1
H
.  Для  этого 
рассмотрим выражение
 

 
 
86
=

+
=

+


=
2
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
1
t
z
h
t
z
t
z
h
t
z
k
k
k
H
k
λ
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
t
z
h
t
z
t
z
h
t
z
k
k
N
k
k
k
k
N
k
k

+
+

+
=



+
=
=
λ
λ

где числа 
0
>
h
 и 
N
 выбираются далее по заданному 
0
>
ε

В силу (9) имеем 
+

+

=

+






τ
τ
λ
τ
λ
λ
λ
d
e
e
u
e
e
z
t
z
h
t
z
h
t
t
k
h
h
k
k
k
k
k
k
k
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
0
0
τ
τ
τ
λ
d
e
u
h
t
h
t
t
k
k
)
(
)
(

+

+

 
так как 
1

− t
k
e
λ
, то 
 
2
1
)
(
)
(
H
t
z
h
t
z

+
+










+







=
2
0
)
(
2
0
2
1
)
(
1
3
t
t
k
k
h
N
k
k
d
e
u
z
e
k
k
τ
τ
λ
τ
λ
λ
 
+










+
+





+
=
2
0
)
(
2
0
1
)
(
3
t
t
k
k
k
N
k
d
e
u
z
k
τ
τ
λ
τ
λ
2
)
(
1
)
(
3
τ
τ
λ
τ
λ
d
e
u
h
t
t
h
t
k
k
k
k


+

+


=
  
(11) 
Пусть 
ε -произвольное положительное число. Так как 

<


=
2
0
1
k
k
k
z
λ
  
и  






=
t
t
k
k
k
d
e
u
k
0
)
(
1
)
(
τ
τ
λ
τ
λ
=







=
τ
τ
τ
λ
τ
λ
d
e
d
u
t
t
t
k
k
k
k
0
)
(
2
2
0
1
)
(
 
2
)
],
,
0
([
2
0
1
2
0
2
)
(
)
(
)
1
(
2
1
H
t
L
t
k
k
t
u
d
u
e
k



=



=

τ
τ
λ

поэтому  выбором  число 
N
  можно  сделать  среднего  слагаемого (11) меньше  чем 
3
2
ε

Значит  первого  слагаемога  также  можно  сделать  меньше  чем 
3
2
ε
  выбором 
положительного числа 
h
.  
Для третьего слагаемого получим следующую оценку 



+

+


=
2
)
(
1
)
(
h
t
t
h
t
k
k
k
d
e
u
k
τ
τ
λ
τ
λ
=




+

+

+

=
τ
τ
τ
λ
τ
λ
d
e
d
u
h
t
t
h
t
h
t
t
k
k
k
k
)
(
2
2
1
)
(
 
=


=
∑∫



=
+
+


=
τ
τ
τ
τ
λ
λ
λ
d
u
d
u
e
k
h
t
t
k
h
t
t
k
k
h
k
k
k
)
(
2
1
)
(
2
1
1
2
2
2
1
2
)
],
,
([
0
2
)
(
2
1
H
h
t
t
L
u
+


Отсюда  следует,  что  выбором  числа 
h
,  третьего  слагаемого  суммы (11), также 
можно  сделать  меньше  чем 
3
2
ε
.  Из  этих  оценок  получим 
ε
<

+
1
)
(
)
(
H
t
z
h
t
z
,  которое 
означает непрерывность функции 
)
(t
z

T
t


0

Непосредственной  подстановкой  можно  убедиться  в  том,  что  функция, 
определяемая  рядом (6) удовлетворяет  интегральному  равенству (3) для  любых 
функций 
)
(

v
 из пространства 
(
)
1
1
],
,
0
[
H
T
C
 с условием 
0
)
,
(
=
T
x
v


 
 
87
Задачу (1), (2) рассмотрим с точки зрения управления, т.е. функции 
)
(

u
 примем в 
качестве  управляющих  функции.  Они  удовлетворяют  условиям: 
(
)
1
2
],
,
0
[
)
(
H
T
L
u


,  
ρ

⋅)
(
u
, где 
ρ
- некоторое положительное число. исходя из этого введем следующее 
обозначение 
(
)
{
}
ρ




=
)
(
;
],
,
0
[
)
(
1
2
u
H
T
L
u
V
,  
элементы которого называются допустимыми управлениями. 
Определение  1.  Множество 
1
R
W

    называется  сильно  инвариантным  на  отрезке 
]
,
0
T
  времени  относительно  системы (1), если  для  любых 
W
z

||
||
0
  и 
V
u

⋅)
(
 
выполняется включение 
W
z

⋅ ||
)
(
||

Определение 2. Множество 
1
R
W

 называется слабо инвариантным на отрезке 
]
,
0
T
 
времени  относительно  системы (1), если  для  любого 
W
z

||
||
0
  существует 
V
u

⋅)
(

такое что выполняется включение 
W
z

⋅ ||
)
(
||
.  
Здесь  и  далее  нормы  элементов  соответствует  нормам  соответствующих 
пространств.  Рассматривается  сильно  и  слабо  инвариантность  множества  вида 
]
,
0
b
W
=
,  где 
b
-  некоторое  положительно  число.  Наша  дальнейшая  цель  является 
нахождение соотношения между параметрами 
ρ
,
,b
T
 таким образом, чтобы обеспечить 
данного  множества 
W
  сильно  или  слабо  инвариантность  на  отрезке 
]
,
0
T
  времени 
относительно системы (1).  
Пусть 
1
0
H
z

 любой элемент, удовлетворяющий условию 
W
z

0
, т.е.. 
)
(

u
 любое 
допустимое  управление  из  множества 
V
.  Тогда  соответствующее  решение  уравнения 
(1) имеет вид 
T
t
d
u
e
e
z
t
z
k
k
t
k
t
t
k
k
k










+
=



=



0
,
)
(
)
(
1
0
)
(
0
ϕ
τ
τ
τ
λ
λ
 
отсюда имеем 
τ
τ
τ
λ
τ
λ
λ
d
d
u
e
e
z
z
T
t
k
t
t
k
k
k
k
k
2
0
0
)
(
0
1
2
)
(
)
(











+
=





=

где 
||
||

 - норма пространства 
1
H
.  
Сначала рассмотрим подинтегральную выражению с суммой, т.е. 
2
0
)
(
0
1
)
(








+






=
t
k
t
t
k
k
k
d
u
e
e
z
k
k
τ
τ
λ
τ
λ
λ

Имеем 



=




+
1
2
0
)
(
0
)
)
(
(
k
t
k
t
t
k
k
d
u
e
e
z
k
k
τ
τ
λ
τ
λ
λ
 
(
+
+








=
τ
τ
λ
λ
τ
λ
λ
λ
d
u
e
e
z
e
z
k
t
t
t
k
k
t
k
k
k
k
k
k
)
(
2
0
)
(
0
2
2
0
1






τ
τ
τ
λ
τ
λ
d
u
d
e
t
k
t
t
k
k
)
(
0
2
0
)
(
2
 


=


1
2
2
0
1
(
k
t
k
k
e
z
λ
λ


+

+







)
)
(
2
1
)
(
2
0
2
2
0
2
0
)
(
2
0
t
k
t
t
k
t
t
t
k
k
d
u
e
d
u
d
e
e
z
k
k
k
τ
τ
τ
τ
τ
λ
λ
τ
λ
λ
 

 
 
88



+

+


=



t
k
k
k
k
t
t
T
t
d
u
z
e
e
z
e
k
0
2
0
1
2
2
0
0
2
)
(
2
1
2
(
1
1
τ
τ
λ
λ
λ
λ





=

τ
τ
τ
λ
d
d
u
e
k
t
k
t
k
)
)
(
)
1
(
1
0
2
 












+

+


∑∫


=



dt
p
e
d
u
e
e
z
e
T
t
k
t
k
t
t
t
0
2
1
0
2
2
2
0
2
)
1
(
)
(
2
1
2
1
1
1
1
λ
λ
λ
λ
τ
τ
 
(
)
=

+

+






dt
e
e
b
e
b
e
T
t
t
t
t
k
k
0
2
2
2
)
1
(
1
2
1
1
ρ
ρ
λ
λ
λ
λ
(
)
dt
e
b
e
T
t
t
2
0
2
1
1
1


+

ρ
λ
λ
. (12) 
Для исследования подинтегральной выражения введем следующее обозначение 
0
,
1
)
(
1
1
2


+
=


t
e
b
e
t
t
t
ρ
ϕ
λ
λ

Заметим, что 
b
=
)
0
(
ϕ
. С помощью дифференциального исчисления легко показать, 
что  
⎪⎩



<
+

=

b
если
b
b
b
если
t
t
2
,
4
,
2
,
)
(
sup
2
0
ρ
ρ
ρ
ρ
ϕ
   (13) 
Отсюда и из (12) имеем следующую теорему. 
Теорема  2.  Если 
1
2
1
λ

,  то  множество 
W
  слабо  инвариантно  на  любом  отрезке 
]
,
0
T
 относительно системы (1). 
Доказательство.  Пусть 

0
z
произвольный  элемент  пространства 
1
H
  с  условием 
b
z

0
,  положим 
0
,
0
)
(

=
t
t
u
.  Тогда  соответствующее  решение  уравнения (1) с 
учетом (6) имеет вид 
k
k
k
t
z
e
t
z
k
ϕ
λ
0
1
)
(


=

=

Значит 
⎟⎟


⎜⎜

⎛ −
=
≤=



=


=



k
T
k
k
k
k
T
t
k
k
k
k
e
z
dt
z
e
z
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
)
(
)
(
2
2
1
0
2
0
0
1
2
.  
(14) 
Допустим, что выполнено условие теоремы. Тогда из (14) имеем 
2
1
2
1
2
0
1
2
2
2
1
)
(
b
b
z
z
k
k
k







=
λ
λ
λ

Отсюда 
W
z

⋅)
(
т.е. 
W
слабо инвариантно. Теорема доказана. 
Выводы.  В  статье  рассматривается  инвариантные  множества  в  управляемых 
системах  с  интегральными.  После  установление  существования  оптимального 
управления,  определяется  непустое  множества,  слабо  инвариантное  относительно 
рассматриваемой  управляемой  системы.  Из  доказанной  теоремы,  вытекает 
необходимое 
и 
достаточное 
условия 
слабой 
инвариантности 
линейного 
подпространства. 
 
 
1.  Гусейнов  Х.Г.,  Ушаков  В.Н.  Сильно  и  слабо  инвариантные  множества 
относительно  дифференциального  включения. //Докл.АНСССС.1988.  Т.303.№4. 
С.794-796. 
2.  Aubin J.-P. A survey of viability theory. //STAMJ. Confr and Optim. 1990. vol. 28.№4. 
P.749-788. 

 
 
89
3.  Feuer A., Heymann J. – invariance in control systems with bounded controls// J.Math. 
Anl. and Appl. 1976. vol. 53. №2. P. 266-276. 
4.  Ибрагимов  У.М.  К  инвариантным  множествам  линейных  управляемых  систем // 
Поиск. Науч. журн. МОН РК, 2008. №1. Серия естест. и техн. наук. с. 211-213. 
5.  Ибрагимов  У.М.  Выяснение  слабой  инвариантности  области  выживания 
управляемой  системы // Труды VII Всероссийской  науч.конф.  с  межд.  участием  
«Матем. моделир. и краевые задачи». Ч.2. –Самара, СГТУ, 2010. с.105-109. 
6.  Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential 
inclusions with memory. // Israel J. Math 1981. vol. 39. №1-2, P.38-100. 
 
 
 
УДК 378.016.026:517.972.4 

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   30




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет