Абай атындағы

 
 
107
пайдалану  қажет – жуық  шешімдерді  таңдаудың  тəсілін  құрастыру  керек.  Егер  осы 
тəсілдер  құрастырылса,  орнықты  емес  есепті  шешудің  орнықты  əдісін  тұрғызуға 
болады деп айтамыз, сондай-ақ бұл реттеуіш алгоритмі (РА) деп аталады.  
  
R
u
  
R
z
    
n
n
∈
∈
= u
Az
   
 
 
 
(1) 
есеп үшін реттеуіш алгоритмін құрайық. Бізге 
h
A - жуық матрица 
δ
u  – векторы белгілі 
болсын. 
h
≤
h
A
-
A
 
 
0
    
,
0
    
>
>
<
−
δ
δ
δ
h
u
u
 болатын 
( )
δ
η
η
,
h
=
 деп белгілейік. Біз 
жуық 
η
δ
,
,
A
h
u
  мəндері  бойынша 
−
η
z
жуық  шешімді  алып, 
н
z
z
r
→
→
η
η
,
0
  болатында 
(
−
н
zr
 тура нормаль псевдошешім) (1) сызықты алгебралық теңдеуді шешудің орнықты 
тəсілін тұрғызайық. 
η
δ
,
,
A
h
u
  жуық  мəндер    -  реттеуіш  алгоритм  тұрғызу  үшін  минимал  қажетті  мəлімет 
болып табылады (есептің ақырлы өлшемділігін ескере отырып, 
δ  қателік мəнінен бас 
тартуға болады, ал 
h
 қателік мəнінен бас тартуға болмайды). Егерде біз шешім туралы 
көбірек  мəлімет  білсек,  онда  бұл  мəнді  есептің  қойылуына  қосу  қажет.  Бұл  жағдайда 
басқа  реттеуіш  алгоритм  тұрғызар  едік.  Мысалы,  егер  бізге  А  немесе 
A
A
*
 
матрицаларының  рангтері  белгілі  болса  (яғни  нөлден  өзгеше 
A
A
*
  матрицаның 
меншікті санның саны немесе А матрицаның сингуляр санның саны), онда оңайлықпен 
келесі реттеуіш алгоритм ұсынар едік: 
h
h
A
A
*
 матрицасының меншікті сандары берілген 
матрицаның  қателігінен  үзіліссіз  тəуелді  болғандықтан  жəне 
A
A
*
  матрицаларының 
меншікті  сандарына  ұмтылғандықтан,  онда 
A
A
*
  матрицаларының  меншікті  санның 
модулі  бойынша  минимал  мəндерін  керекті  санын  нөлмен  айырбастап,  біз  нормаль 
псевдошешімге жуықтауды аламыз. Практикада, əдетте, А-ның рангісі белгісіз болады.  
Сондықтан біз келесі түрде əрекет етеміз. (1) жуық шешімдерінің жиынына анықтама 
береміз жəне осы жиыннан нақты жуық шешімді таңдап алудың шартын құрастырамыз. 
Алдымен 
0
min
   
,
0
 
=
−
=
=
u
Az
h
μ
 жағдайын қарастырайық. Олай болса, (1) сызықты 
алгебралық  теңдеулердің    жуық  шешімдерінің  жиынын 
δ
δ
≤
− u
Az
  теңсіздігін 
қанағаттандыратын z – векторлар  жиыны  ретінде  анықтауға  болады.  Бұл  жиынды 
η
z  
деп  белгілейік. 
η
z
z
н
∈
r
болатыны  айқын.  Егер  осы  шешімдер  жиынынан  нөлден  өте  аз 
алшақтатылған 
δ
z   векторын  таңдап  алсақ,  онда 
н
z
z
r
→
→
δ
δ
,
0
  дəлелдеуге  болады. 
Жалпы  жағдайда 
0
   
,
0
 
>
≠
μ
h
  үшін  жуық  шешімдер  жиынын  анықтау  анағұрлым 
күрделі: 
η
z
z
∈ болады, егер z  мына теңдеуді қанағаттандырса  
η
δ
μ
δ
ˆ
+
+
≤
−
z
h
u
z
A
h
 
 
 
 
 
(2) 
Мұндағы 
μ
μ
η
−
ˆ
  үйлесімсіздік  өлшемінің  жоғарғы  бағалауы,  яғни 
μ
μ
η
≥
ˆ
, 
.
0
,
ˆ
→
→
η
μ
μ
η
 Мысалы 
η
μ
ˆ  келесі түрде есептеуге болады: 
(
)
δ
η
δ
μ
u
z
A
z
h
h
+
+
+
= min
€
    (3) 
Енді есеп қояйық: 
z
z
Z
z
∈
= min
η
   
 
 
 
 
(4) 
болатындай 
Z
z
∈
η
  табу  қажет.  Яғни (2) теңсіздігін  қанағаттандыратын  нөлден  аз 
алшақтатылған  векторды  таңдап  алу  қажет.  Осындай  түрде  таңдап  алу  ұштаспау 
əдісінің жалпыламасы деп аталады. 0
,
→
→
η
η
н
z
z
r
 дəлелдеуге болады.  
(1)  Нормаль  псевдошешімнің  орнықты  тұрғызылуының  басқа  тəсілін 
қарастырайық. 
 

 
 
108
[ ]
2
2
z
u
z
A
z
M
h
α
δ
α
+
−
=
   
 
 
 
(5) 
функциясын Тихонов функционалы деп атайды. 
0
>
α
 – реттеуіш параметрі.  
[ ]
z
M
α
-ң 
бірінші  мүшесі – ұштаспау,  ол 
δ
u
z
A
h
=
  теңдеуін  қаншалықты  жақсы 
қанағаттандыратындығын көрсетеді. 2-мүше – «айыппұл» нөлден вектордың ауытқуы.  
[ ]
z
M
z
α
min
   
 
 
 
 
(6) 
табатын  экстремаль  есебін  қоямыз.  Бұл  есептің  шешімі  бар  жəне  жалғыз,  сондықтан 
оны 
α
η
z
  деп  белгілейміз. 
α
η
z
  экстремалын  іздеу  үшін  бізге  белгілі  ақырлы  өлшемді 
кеңістіктегі  квадраттық  функцияларды  минималдандыру  əдісін  қолданамыз.  Мысалы 
түйіндес градиенттер əдісі. 
[ ]
z
M
α
 градиентін есептейік: 
[ ]
(
) (
)
δ
α
α
u
A
z
z
A
A
z
M
h
h
h
*
*
2
−
+
=
′
 
нөлге теңестіріп, мына теңдеуді аламыз: 
(
)
δ
α
u
A
z
E
A
A
h
h
h
*
*
=
+
   
 
 
 
 (7) 
Бұл теңдеуді шешіп  
(
)
δ
α
η
α
u
A
E
A
A
z
h
h
h
*
1
*
⋅
+
=
−
 
   (8) 
табамыз.  Сондай-ақ 
(
)
E
A
A
h
h
α
+
*
  матрицасының  (оң  анықталған)  қасиеттерін  ескере 
отыра, оның кері матрицасын табу үшін тиімді сандық тəсілді қолдануға болады. 
α -ны 
нөлге  ұмтылдыруға  болмайды,  əйтпесе  есеп  орнықсыз  болып  қалады.  Реттеуіш 
α параметрімен 
( )
δ
η
η
,
h
=
  қателіктерінің  арасында  сəйкестік  қажет: 
( )
н
z
z
r
0
→
→
η
η
α
η
 
болатындай
( )
η
α
α
=
 болу керек. Мұны əртүрлі жолдармен жасауға болады, біз біреуін 
ғана  қарастырамыз: (5) экстремаль  функциональда  мына  функцияны  анықтайық  
( )
(
)
α
η
η
δ
α
η
η
δ
μ
α
ρ
z
h
u
z
A
h
+
−
+
+
=
ˆ
.  Бұл  функция  ұштаспау  жалпыламасы  деп 
аталады. 
δ
μ
η
δ
+
> ˆ
u
  
 
 
 
 
(9) 
болсын  (қарсы  жағдайда (1)-ң  жуық  нормаль  псевдошешімі z-ті  нөлге  теңестіріп 
аламыз).  Ендеше, 
( )
0
>
−
α
α
ρ
η
болғанда  дифференциалданатын  қатаң  монотонды 
өспелі, оның мəндері 
(
)
δ
μ
δ
η
δ
−
−
−
ˆ
; u
 аралығын сызып тастайды, сондықтан жалғыз 
түбірі бар. 
( )
0
=
α
ρ
η
. Осы түбірлерді 
( )
η
α
 деп белгілейміз. Оны іздеу үшін монотонды 
дифференциалданатын  функциямен  трансцендентті  теңдеуді  шешудің  белгілі 
тəсілдерін қолдануға болады, мысалы кесіндіні қақ бөлу əдісі жəне «Алтын қима» əдісі.  
( )
н
z
z
r
0
→
→
η
η
α
η
 дəлелдеуге болады, яғни тұрғызылған алгоритм Тихонов бойынша реттеуіш 
болып табылады.  
Қисынды  емес  есептер  шешімінің  орнықты  əдісін  тұрғызу  негізінде  А.Н. Тихонов 
енгізген (1963) реттеуіш  алгоритм  ұғымы  жəне  онымен  байланысты  реттелген 
шешімдер  жиын  ұғымы  жатыр.  Нашар  келісілген  теңдеулер  жүйесін  қисынды  емес 
қойылған есеп ретінде қарастырып жəне оны жуық шешкенде реттеуіш əдісін қолдану 
керек.  М.М.  Лаврентьев  сызбасын  қарастырайық.  А – симметриялы,  оң  жартылай 
анықталған  матрица. (1) жүйе  берілген 
u
  векторы  үшін  шешіледі. (1)-ден  реттелген 
жүйеге көшейік.[1] 
(
)
0
z
u
z
E
A
α
α
+
=
+
   
 
 
 
(10) 
көшейік.  Мұндағы 
−
α оң  параметр  Е – бірлік  матрица, 
−
0
z
сынақ  шешім,  яғни 
ізделінді  шешімге  жуық  шешім  (егер  шешім  туралы  мəлімет  болмаса,  онда 
0
0
=
z
 

 
 
109
аламыз). Алдын ала айтылған шартта (10) сызықты алгебралық теңдеу  
    
0
→
α
кезінде 
нормал шешімге жинақталатын жалғыз 
α
z шешімі бар. 
Тұжырым 1 
{
}
δ
δ
δ
≤
−
≤
−
u
h
A
u
A
h
u
   
,
A
   
,
,
h
есептің  жуық  берілгендері  жəне 
−
h
A
 
симметриялы оң жартылай анықталған матрица болсын. Онда  
(
)
0
z
u
z
E
A
α
α
δ
α
+
=
+
 
 
 
 
(11) 
Сызықты    алгебралық  теңдеу    бірмəнді  шешіледі  жəне 
α   параметрі 
h
,
δ
 
дəлсіздіктерімен 
0
,
→
h
δ
 кезде 
( )
( )
0
,
h
    
0
,
→
+
→
h
h
δ
α
δ
δ
α
 байланыста болса, онда 
( )
h
z
,
δ
α
 
(1)  теңдеуінің  нормаль 
н
zr   шешімге,  яғни 
0
z   векторынан  ең  аз  ауытқыған  шешімге 
жинақталады. [2] 
Сонымен  жоғарыда  берілген, (10) сызықты  алгебралық  теңдеу  шешімінің 
анықтамасына сəйкес, 
( )
{
}
h
z
,
δ
α
 (1) жүйе үшін жуық шешімдердің реттелген жиынтығын 
құрайды; сондай-ақ 
(
)
1
p
   
>
+
=
p
h
δ
α
 параметрін формуласы бойынша таңдау қажетті 
талаптарды қанағаттандырады, себебі 
0
,
→
h
δ
 кезде,  
(
)
  
0
h
h
   
0
 
1
1
→
+
=
+
+
→
+
=
−
p
p
p
h
h
δ
δ
δ
δ
α
 
болады. 
Реттеуіш параметрі 
α -ң рөлі жақсы көрінеді, егер (10) жүйе шешімін (
0
0
=
z
 болғанда)  
i
n
i
i
i
l
u
z
∑
=
+
=
1
α
λ
α
 
түрінде  жазсақ,  мұндағы 
−
i
λ
  меншікті  мəндер 
(
)
0
≥
i
λ
,  ал   
−
i
l
  А  матрицаның 
ортонормаланған  меншікті  векторы.  Бұл  өрнек  оң  параметрге  аз 
i
λ
  қосылған  кезде 
бөлімді  біраз  көбейтеді  де,  сонымен  бірге 
(
)
i
i
i
i
u
u
u
u
Δ
+
=
~
  сəйкес  компоненттердегі 
мүмкін  қателіктердің  əсерін  төмендетеді. 0
>>
i
λ
  үшін 
α   əсері  ескерілмейтіндей  аз 
болады. 
Енді  А  матрицасының  симметриялы  жəне  оң  болу  талаптарынан  бас  тартайық.  В 
матрицасы  қандай  да  бір 
0
α
  үшін 
(
)
B
A
0
α
+
  айрықша  емес  матрица  болып  табылады. 
Сонымен қатар кері матрицасы да табылады. Онда реттеуіш келесі түрде  
(
)
u
z
B
A
=
+
α
α
 
 
 
 
 
(12) 
болуы мүмкін. Мұндағы 
α  параметрі əртүрлі таңбалы жəне 
0
α
α
≤
. 
Тұжырым2 
u
u
B
h
A
δ
μ
δ
μ
≤
−
≤
−
≤
−
u
    
,
B
  
,
A
  
h
 
(
 
0
→
α
кезде) 
(
)
∞
<
≤
+
−
C
A
B
A
1
α
 болсын. Олай болса 
δ
μ
,
,
h
 жеткілікті аз болғанда  
(
)
δ
α
μ
α
u
z
B
A
h
=
+
 
сызықты алгебралық теңдеудің жалғыз 
α
z  шешімі бар, сондай-ақ  
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
≤
−
α
δ
μ
α
α
h
C
z
z
B
ˆ
 
 
 
 
(13) 

 
 
110
дəлсіздік  бағалауы  ақиқат. [3] Мұндағы 
−
B
zˆ
{
}
Z
z
B
z
B
z
∈
=
:
min
ˆ
  шартын 
қанағаттандыратын (1) жүйенің  шешімі  (
−
Z  (1) жүйесінің  шешімдер  жиыны). (13) 
бағалауынан, егер 
0
,
,
→
δ
μ
h
 кезде 
(
)
0
,
,
→
δ
μ
α
h
 
(
)
0
,
,
h
→
+
μ
δ
α
δ
h
 болса, онда  
0
€
lim
0
,
,
=
−
→
B
h
z
z
α
δ
μ
 
жинақтылығы орынды болады. 
Реттеуіш 
əдісін 
сипаттаудағы 
ең 
маңыздысы 
(
)
B
A
0
α
+
 
ерекше 
емес 
жəне
(
)
∞
≤
+
−
A
B
A
1
α
 болатын В матрицасын таңдау болып табылады. 
Енді (1) жүйе  шешілмейтін  жағдайын  зерттейік.  Бұл  жағдайда  ізделінді  псевдошешім 
болып табылады. 
(
)
0
*
*
z
u
A
z
E
A
A
h
h
α
α
δ
α
+
=
+
   
 
 
(14) 
сызықты алгебралық теңдеуді қанағаттандыратын 
α
z  векторын реттелген жуық шешім 
ретінде қабылдаймыз. 
Тұжырым3 
0
    
u
   
,
A
 
h
>
≤
−
≤
−
α
δ
δ
u
h
A
болсын.  Онда (14) сызықты  алгебралық 
теңдеу бірмəнді шешіледі жəне  
(
)
(
)
δ
α
α
α
α
α
+
+
+
−
+
≤
−
h
c
c
u
z
A
h
c
z
z
3
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
ˆ
ˆ
 
бағалауы  ақиқат. [4] Мұндағы 
3
2
1
,
,
c
c
c
  псевдошешім 
zˆ
  нормасына  тəуелді 
тұрақтылар. 
Бірақта 
α
  параметрін  күрделі  тəсілмен  таңдауымыз 
h
+
δ
  ретті  дəлдікпен 
псевдошешімді жуықтауға мүмкіндік береді (14) есебі мына  
{
}
n
h
R
u
u
u
u
z
A
∈
−
+
−
:
min
2
0
α
δ
   
 
 
(15) 
минимум  есебіне  эквивалентті.  Міне  осындай  түрде
α
z     тұрғызу  А.Н.Тихоновтың 
варияциялық реттеуіш əдісі ретінде белгілі.  
0
=
α
 болғанда, (15) ең кіші квадраттар əдісіне көшеді. Ол матрица ауытқуына қатысты 
орнықты  емес.  Ең  кіші  квадраттар  əдісінен  оның (15) реттелген  түріне  көшу  жуық 
шешімнің орнықтылығын қалпына келтіреді.  
 
 
1. С.И.  Кабанихин,  М.А.  Бектемесов,  М.А.  Шишленин  Методы  решения 
некорректных задач линейной алгебры, 2009 
2. В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана Теория линейных некорректных задач и ее 
приложения. Москва: Наука, 1978  
3. А.Б.  Назимов  Исследование  методе  регуляризации  сдвигом  и  его  приложения: 
Диссертация канд. физ.-мат. наук. М.:1986 
4 В.В. Воеводин Линейная алгебра. Москва: Наука, 1974. 
 
 

 
 
111
УДК 621.01; 539.3; 539.62 
Г.Т. Касымова 
 
ДИНАМИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ 
СОСТОЯНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ С 
ПОСТУПАТЕЛЬНЫМИ И ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ ПАРАМИ 
 
(г.Алматы, КазГАСА)  
 
Ілгерілемелі  жəне  айналмалы  жұптары  бар  кеңістіктік  механизмнің  кернеулі-
деформациялы  күйі  олардың  математикалық  моделін  құру  процесін  біршама 
жеңілдететін  шекті  элементтер  əдісімен  зерттелген.  Кеңістіктік  механизмнің 
кинематикасы  зерттеліп,  Денавит-Хартенберг  əдісімен  кинематикалық  талдау 
жасалған.  Кеңістіктік  механизмнің  динамикасын  зерттеуге  құрылған  алгоритм 
бойынша  бағдарламалар  пакеті  жасалынған.  Осы  бағдарламалар  көмегімен  əртүрлі 
сыртқы  əсерлерден  болатын  кеңістіктік  механизмнің  кернеулі-деформациялы  күйі 
зерттелінген.  Сыртқы  жүктемелер  механизмге  уақытқа  байланысты  тұрақты  немесе 
уақытша əсер етуі мүмкін.     
The stress-strain mechanism state with sliding and rotating pair, which considerably 
simplifies process of construction of their mathematical model, has been researched by the 
finite element method. The kinematics has been researched and the kinematical analyze of 
spatial mechanisms has been done by the method of Denavit – Hartenberg.   The package of 
application program has been composed by developed algorithm, by dynamics of the spatial 
mechanism research. With help of these programs, the stress-strain state, at action of various 
external influences, has been researched. . External capacities depending on time can operate 
constantly or to have variable character. 
 
Механизмы  в  процессе  работы  подвергаются  статическим,  инерционным, 
динамическим силовым воздействиям, поэтому их конструктивные элементы находятся 
в  сложном  напряженно-деформированном  состоянии  (НДС),  что  существенно  влияет 
на их точность, жесткость, прочность, динамику [1]. 
Исследование 
динамического 
напряженно-деформированного 
состояния 
аналитическими методами является трудоемким, поэтому применяется универсальный 
метод - метод  конечных  элементов  (МКЭ) [2]. Достоинством  этого  метода  является 
независимость  от  геометрических  характеристик  исследуемой  структуры,  т.к. 
практически любой объект может быть смоделирован с помощью стержневых и других 
типовых конечных элементов. Метод относительно легко программируется и обладает 
свойствами, позволяющими значительно сэкономить объем используемой оперативной 
компьютерной  памяти  и  уменьшать  количество  арифметических  операций.  МКЭ  в 
значительной мере объясняется наличием машинных программ, обладающих высокой 
степенью  автоматизации  трудоемких  операции  составления  и  решения  систем 
алгебраических  уравнений  как  статически  определимых,  так  и  статически 
неопределимых  плоских  и  пространственных  стержневых  и  других  систем. 
Популярность  метода  объясняется  простотой  его  физической  интерпретации, 
математической  записи  соотношений,  удобством  и  простотой  их  реализации  на 
вычислительных  машинах,  автоматизации  сеточного  представления  области, 
минимумом  требований  к  исходной  информации  и  оптимальной  формой  выдачи 
результатов. 
Для  описания  конечно-элементной  модели  пространственных  механизмов  с 
поступательными и вращательными парами разбиваем его на элементы, соединенные в 

 
 
112
узлах  через  кинематические  пары.  Для  пространственных  механизмов  с 
поступательными  и  вращательными  парами,  состоящих  в  основном  из  отдельных 
стержневых 
звеньев, 
такое 
расчленение 
является 
естественным. 
Узлы 
пространственных  механизмов  с  поступательными  и  вращательными  парами  имеют 
нумерацию в ГСК, элементы имеют свои номера – начальный и конечный. 
Для описания напряженно-деформированное состояние рассматриваемого нами 
пространственного механизма с поступательными и вращательными парами с упруго-
деформируемыми  звеньями  (рисунок 1) исследована  его  кинематика.  Проведен 
кинематический  анализ  механизма  методом  Денавит-Хартенберга  с  шестью 
параметрами [3] по заданным геометрическим и кинематическим параметрам звеньев. 
Составлены  матричные  уравнения  замкнутости  контуров  пространственных 
механизмов  с  поступательными  и  вращательными  парами,  и  разработаны  алгоритм  и 
программа анализа перемещений. 

жүктеу/скачать 5,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: