Ќазаќ мемлекеттік ќыздар педагогика институты
Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
жүктеу/скачать 1,16 Mb.
|
Ан.геом. ж не сыз. алгебра Лекция
| 4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар жүйесінде екінші дәрежелі айқындалмаған теңдеумен анықталған қисық берілсін: Ах2 + 2Вху + Су2-2Dх + 2Еу + F = 0 (1) мұндағы A,B,C,D,E,F берілген нақты сандар және А2+В2+С2≠0. Бұл қисықты екінші ретті қисық деп атайды. (1) - теңдеуді қанағаттандыратын нақты координаталары бар нүктелер болмауы да мүмкін. Мысалы: x2+y2=1. Мұндай жағдайда теңдеу екінші ретті жорамал қисықты анықтайды дейді. (1)-теңдеудің алты дербес жағдайын қарастырамыз: 1) Жарты остерінің ұзындықтары және болатын эллипс теңдеуі: , . Егер, дербес жағдайда, болса, онда центрі координаталық бас нүктеде болатын, радиусі -ға тең шеңбер теңдеуі: Х2+у2=2. 2) Жарты остері мен болатын гипербола теңдеуі: 3) Парабола теңдеуі: y2=2pz, p>0. 4) Қиылысатын түзулер жұбының теңдеуі: 5) Параллель немесе беттесетін түзулер жұбының теңдеуі: . 6) Нүктені анықтайтын теңдеу: . Енді осы қисықтарға қысқаша тоқталамыз. Эллипс: (2) болсын, арқылы белгілейік. х - осінде эллипстің фокустары деп аталатын F1(-c,0) және F2(c,0) нүктелерін белгілейік. Анықтама. F1,F2 - фокустарына дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты, шамасына тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады. нүктесі шартты қанағаттандыратын кез келген нүкте болса (16-сурет). MF1 = MF2 = болғандықтан Керісінше, (х,у) нүктесінің координаталары (2) -тендеуді қанағаттандырса, онда осы амалдарды кері бағытта жасай отырып (х,у) нүктесінен F1 және F2 нүктелеріне дейінгі қашықтықтардың қосындысы тең болатынын көреміз. (2) - эллипстің канондық (дағдылы) теңдеуі дейді, ал мен эллипстің сәйкес үлкен және кіші () жарты остеpi деп аталады. Егер болса, онда , яғни эллипс графигі х осін , нүктелерінде қияды. болса, онда , яғни эллипс графигі у оciн , нүктелерінде қияды. Бұл нүктелерді эллипстің төбелері деп атайды. х - ті (-х) - ке, у - ті (-у) - ке ауыстырсақ (2) - теңдеу өзгермейді, демек, эллипс у осіне және х осіне салыстырғанда сәйкес симметриялы. Сондықтан және остері эллипстің симметрия остері деп аталады (эллипстің фокустері арқылы өтетін осі фокальдік (тоғысты) осі деп аталады). санын эксцентриситет деп атайды. Эллипс эксцентриситеті үшін теңсіздіктері орындалады. теңдеулерінен анықталатын (фокальдік оське перпендикуляр) түзулер эллипстің директрисалары деп аталады. Эллипс теңдеуін параметрлік түрде (3) деп жазады. Шынында да яғни (3) - теңдіктерімен анықталған нүктесі кез-келген үшін (2) - гі эллипске жатады. Эллипстер (шеңберлер) табиғатта және күнделікті өмірде көп кездеседі. Мысалы, планеталар күнді эллипс бойымен айнала қозғалады, ал ол эллипстердің фокустерінің бірінде күн тұрады. жүктеу/скачать 1,16 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|