Дипломная работа
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
жүктеу/скачать 152,04 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 6. Ряд Фурье для функции с периодом 2 l
- Пискунов, стр. 342, рис. 383
| 5. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то . Действительно, так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x). Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; следовательно, (21) т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то: (22) т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы». Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной. 6. Ряд Фурье для функции с периодом 2l. Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция с периодом 2 l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле х = lt / π. Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке –π ≤ x ≤ π: где (Пискунов, стр. 341 – дописывать не надо) Возвратимся к старой переменной x: Тогда будем иметь: (24) Формула (23) получит вид , (25) где коэффициенты a0, ak, bk вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l. Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l. Пример. Разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2 l, которая на отрезке [-l , l] задается равенством ƒ(x) = | x |. (Пискунов, стр.342, рис. 383) Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то Следовательно, разложение имеет вид жүктеу/скачать 152,04 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|