18.1 Йордандық алгебралардың дифференциалдаулары және құрылымдық алгебра
йордандық алгебрасының дифференциалдауы деп кезкелген үшін теңдігі орындалатындай эндоморфизмін айтады. Барлық дифференциалдаулардың жиыны дифференциалдаулардың коммутаторына қатысты Ли алгебрасын құрайды.
1-Теорема. – йордандық алгебра, ал – оның кезкелген элементі болсын. Онда операторы -дің дифференциалдауы болып табылады.
Дәлелдеуі. Йордандық алгебра коммутативті болғандықтан, кезкелген үшін олай болса, (4) тепе-теңдікті оң жақ көбейту операторлары және коммутатор арқылы мына түрде
()
немесе мына түрде жазуға болады:
()
() тепе-теңдікте пен -тің орындарын ауыстырған соң, алынған тепе-теңдіктің ()-пен айырымынан мынау шығады:
(5)
(5) тепе-теңдік кезкелген үшін операторы йордандық алгебрасының дифференциалдауы болатынын екенін көрсетеді, себебі кезкелген 𝔏 алгебрасының дифференциалы
шартын қанағаттандырады.
Мысалы, эрмиттік йордан алгебрасында болатындай әрбір элементі дифференциалдауды анықтайды.
– -дің кезкелген берілген екі элемент болсын. 1-Теоремадан
бейнелеуінің -дің дифференциалдауы болатынын көреміз. Олай болса, тік қосындысында да Ли алгебрасы құрылымын анықтауға болады, оны арқылы белгілеп, -дің құрылымдық алгебрасы деп атайды.
Мысалы, эрмиттік йордан алгебрасында құрылымдық алгебра болып табылады.
Достарыңызбен бөлісу: |
