Қазақстан республикасы білім жəне ғылым министрлігі

этапта өлшеу аспаптарын шығарғаннан кейін алынған өлшеудің кездейсоқ

нəтижесі, кірудегі өлшенген бірліктің кездейсоқ емес нəтижесіне өтеді.

                                                 х

1

у

1

                                                 х

2

у

2

                             (4.1)

                                                                             ………

                                                 х

n

у

n

         Бұл айтылғандарды жеңілдету үшін, алдымен бір аргументтің сызықтық

функциясының мысалын қарастырайық. Тəжірибеден алынған нүктелер:

                                             y=ax+b,  болса              (4.2)

Тəжірибедегі нүктелнрмен байланысатын түзудің теңдеуін табу қажет.

Егер  біз  осындай  түзу  тапсақ. Оны  тəжірибедегі  нүкте  мен  осы  түзу

арақашықтығымен

 белгілеп аламыз.

(4.2) теңдеуінен шығатын қорытынды

                                        δ

i

=y

i

-ax

i

-b

              (4.3)

      Абсолютті  бірлік  бойынша

  саны  аз  болған  сайын, оның  түзуі  дұрыс

таңдалғанын  көреміз (2).  Таңдалған  түзудің  дəл  сипаттамасы  ретінде

квадраттардың қосындысын алуға болады:

                      (4.4)

Квадраттардың қосындысы S минималды болатындай түзуді (4.2) қалай

таңдауға болатынын көрсетейік. (4.3) жəне (4.4) теңдеулерінен  аламыз

(4.5)

S минимум шарты

     (4.6)

        (4.7)

болады.

 (4.6) жəне (4.7) теңдеулерін быай жазуға болады :

                                                                                       (4.8)

(4.9)

   (4.8) жəне (4.9)  теңдеулерінен  x

i

 жəне  y

i

  мəндері  бойынша a жəне b оңай

табуға  болады. (4.8) жəне (4.9) теңдеулерімен  анықталатын  түзу, кіші

квадраттар  əдісімен  алынған  түзу  деп  аталынады. Бұл  атаумен  квадраттардың

қосындысы S минимум болатындығын байқаймыз.

Түзуден (2) анықталатын  (4.8) жəне (4.9) теңдеулері қалыпты теңдеулер деп

аталады.

     

Қалыпты  теңдеулерді  құрастыруда  жай  жəне  жалпы  əдісін  көрсетуге

болады.(1) тəжірибелі  нүктесін  жəне (4.2) теңдеуін  қолдана  отырып, a жəне b

үшін теңдеулер жүйесін жазуымызға болады:

                                       y

1

=ax

1

+b

                                       y

2

=ax

2

+b,

                                       ..............

                                       y

n

=ax

n

+b,                           (4.10)

Бұл  əрбір  теңдеулердің  сол  жақ  жəне  оң  жақ  бөліктерін  бірінші  белгісіз  а

коэффициентке (яғни  x

1

,  x

2

, ..., x

n

) көбейтіп, алынған  теңдеулерді  біріктірсек,

нəтижесінде бірінші қалыпты теңдеу (4.8) шығады.

 Егер бұл əрбір теңдеулердің сол жақ жəне оң жақ бөліктерін екінші белгісіз

b коэффициентке  яғни 1-ге  көбейтіп, алынған  теңдеулерді  біріктірсек,

нəтижесінде екінші қалыпты теңдеу (4.9) шығады.

Бұл  əдіс  қалыпты  теңдеулерді  алудағы  жалпыға  ортақ: ол  жарамды  жəне

төмендегі фнукция үшін болады :

y=a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+...+a

n

x

n

(4.11)

Мұнда a

0

,  a

1

,  a

2

, ..., a

n

  бірліктерін  анықтауда n+1 қалыпты  теңдеуіне  жүйе

пайда болатыны белгілі.

Кіші  квадраттар  əдісін  жеке  жағдайда  қарастырайық. Теориядан  қалыпты

бірлік  бар  екенін  жəне  оны  тəжірибе  берілімдерінен (1) анықтауымызға

болатыны белгілі.

                                     k=y/x                                     (4.12

)

 k  үшін теңдеулер жүйесін былай жазуға болады:

                            k=y

1

/x

1

,

                            k=y

2

/x

2

,

                             ..........

                            k=y

n

/x

n

,                                 (4.13)

 Қалыпты  теңдеу  алу  үшін  бұл  əрбəр  теңдеулерді  белгіссіздік

коэффициенткек,яғни 1-ге көбейтіп, алынған теңдеулерді біріктіруге болады.

(4.14)

бұдан

(4.15)

    болады

Сонымен, тəжірибедегі y

i

/  x

i

,  қатынасынан  алынған  орташа  арифметика

кіші  квадраттар  əдісі  бойынша  берілген  тапсырманың  нəтижесін  береді. Бұл

орташа  арифметиканың  маңызды  қасиеті  оның  тəжірибедегі  берілімдерді

өңдеуде қолданылатынын көрсетеді.

 1мысал Тəжірибеде кестеге енгізілген  x жəне y мəндері берілген.

x

1

2

3

4

5

6

y

5,2

6,3

7,1

8,5

9,2

10,0

Кіші квадраттар əдісімен түзуді (2) табу қажет.

 Шешімі.алдымен төмендегілерді тауып аламыз:

x

i

=21,

y

i

=46,3,

x

i

2

=91,

x

i

y

i

=179,1.

 (4.8) жəне (4.9) теңдеулерін жазамыз.

91a+21b=179,1,

21a+6b=46,3,    бұдан     a=0,98 b=4,3табамыз.

Кіші квадраттар əдісінің дəлдігін бағалау

 

(4.2) теңдеуі  болғандағы  сызықты  жағдай  үшін  əдістің  дəлдігін

бағалауды көрейік.

   Егер тəжірибе мəні дəл болып, ал y

i

  тəжірибе мəні барлық  i үшін бірдей

дисперсиялы

 кездейсоқ қателік болсын.

Мəндерді енгіземіз

                  (4.16)

онда (4.8) жəне (4.9) теңдеулерін төмендегідей көрсетуімізге болады

             (4.17)

(4.18)

                             (4.19)

(4.17) теңдеуінен

табамыз

           (4.20)

(18) теңдеуінен алатынымыз мынау

                                                                                   (4.21)

себебі

                (4.22)

(4.21) жəне (4.22) теңдеулерінен табатынымыз

(1+ )                         (4.23)

(20) жəне (23) теңдеулері (8) и (9)теңдеулерден  анықталған

коэффициенттердің дəл бағалауын береді.

  

Бұдан   a жəне b коэффициенттері  корреляцияланғанын  көреміз. Жай

түрлендіргіштер көмегімен олардың корреляциялы моментін табамыз.

                     (4.24)

(4.20), (4.23) жəне (4.24) теңдеулері произвольды  x нүктедегі (4.2) теңдеуі

беретін y  үшін  бағаны  табуға  көмектеседі, егер  a жəне b  коэффициенттер

жəне (8) жəне (9) теңеулерінен табылатын бола əрине (4.2), (4.20), (4.23) жəне

(4.24) теңдеулерінен төменегілерді абамыз

=

+

+

=

             (4.25)

 (4.20), (4.23) жəне (4.25) теңдеулері  негізінде  келеі  қорытындыларды

жасауға болады:

1.  a жəне b  коэффициенттердің  дəлдігі s

x

  үлкен  болған  сайын, яғни x осінде

нүктелердің шашырауы көп болса онда ол жоғарырақ болады.

2. b  коэффициентінің дəлдігі

аз болған сайын жоғары орналасады.

3.(4.2) теңдеуінің  қателігі  берілген  нүктеде

азырақ  болса  жəне  ол

нүктеде

шамасы үлкен мəнге ие болғанда үлкенірек болады.

   (4.20)-( 4.25) теңдеулерінің қолданылуын көрейік.

 2 мысал

     σ=0.1 болғандағы 1 мыcалдың шешімінің дəлдігін бағалау қажет.

Шешімі. Бұл мысалдың шартында n=6 тең.

=21/6=3,5,

s

x

2

=91/6-(3,5)

2

=2,9.

 (20), (23) жəне (25) теңеулерінен табатынымыз мыналар

         Бұдан табатынымыз

  x=1 жəне 6 болғанда

 = 0,072

           x=3,5 болғанда

      = 0,041

        Жуықталған есептеулер

        Таралу ықтималдылығы заңдарының сандық сипаттамаларын бағалау

деңгейінде есептерді орындауды болжайтын өлшеулер нəтижелері арқылы

математикалық əрекеттердің жеңілдетілген шешімін дамыту жуық есептеулер

идеясы болып табылады.. Ол өлшеу нəтижелерінің күрделі функцияларын

таратудың бірінші мүшесімен шектелетін Тейлор қатары арқылы көрсетеді. Бұл

сандық сипаттамаларды бағалау деңгейінде жай есептеу формулалары шығады.

Бірақ көп жағдайда есептеулердің дəлсіздігіне түзетулер енгізуді талап етеді.

    Өлшеу нəтижелерінен тұратын теңдеулер жүйесін шешу

     Теңдеулер жүйесі олардың ортақ шешімін болжауға немесе болжамауға

болады. Бірінші жағдайда бұл теңдеулер ортақ, ал екінші жағдайда жиынтықты

теңдеулер деп аталады.

                              Бақылау сұрақтары

1. Əсер ететін факторлардың классификациясы.Метрологияның үшінші

аксиомасы.

2. Есептің бірдəлдікті немесе бірдей емес ділдікті мəндерді өлшеу.

3. Кіші квадраттар əдісі.

4. Математикалық іс-əрекет- ықтималдылықтың таралу заңы.

5. есептеудің нəтижесінің белгіссіздігі.

6. Жиынтықты жəне бірегейлі теңдеулер.

7. Сандық өлшегіш аспаптармен өлшеу жүргізу.

      Дəріс  5. Жүйелік  қателіктер. Жүйелік  қателіктерді  классификациялау.

Жүйелік  қателіктерді  анықтау  жəне  оларды  жою  тəсілдері, түзетулерді  енгізу

жолымен жүйелік қателіктерді алып тастау.

Жүйелік  қателіктер екі белгі бойынша классификацияланады. Уақытына

қарай өзгеру сипаттамасы бойынша олар тұрақты жəне ауыспалы деп бөлінеді.

Тұрақты  қателіктер  деп - өлшемдердің  барлық  сериялары  барысында

өзгеріссіз  қалатын  өлшем  қателіктерін  атайды. Мысалы, электрөлшегіш  құрал

тілінің (стрелка) нөлі  дұрыс  орнатылмау  нəтижесінде  болған  қателік, таразы

табақтарына  үнемі  қосымша  салмақ  салынуының  салдарынан  болған  қателік

жəне  т.б. Өлшем  процесінде  өзгеріп  тұратын  қателік ауыспалы  қателік  деп

аталады. Олар  бір  қалыпты өзгеретін, периодты жəне  күрделі  заң  бойынша

өзгеретін  деп  бөлінеді. Егер  өлшеу  процесінде  жүйелік  қателік  бір  қалыпты

түрде  өсіп  немесе  кейін  шегінсе, оны бір  қалыпты  өзгеретін  деп  атайды.

Мысалы, бұл, өлшем  затымен  қуат  көзін  алатын  батареяның  үнемі  зарядын

алып  тастауда  орын  алады. Периодты  қателік  деп - уақыттың  кезеңдік

функциясының  мағынасы  болып  табылатын  қателікті  атайды. Үлгі  ретінде

күштік  қуат  көзін  алатын  желі  кернеуінің, қоршаған  ортаның  температурасын

жəне  т.б. тəуліктік  ауытқулармен  шартталған  қателіктерді  айтуға  болады.

Жүйелік қателіктер белгілі бір сыртқы себептермен шартталған одан да күрделі

заң бойынша өзгеруі мүмкін.

Пайда  болу  себептеріне  қарай  қателіктер  əдістемелік, аспаптық

(инструментальный) жəне  жеке (субъективті) деп  бөлінеді. Жүйелік

қателіктердің  бар  болуы  кезіндегі  жасалған  бақылаулар  нəтижелері

түзетілмеген  деп  аталады. Өлшемді  жүргізу  кезінде  жүйелік  қателіктердің

əсерін максималды деңгейде алып тастауға немесе есепке алуға тырысады. Бұл

келесі жолдармен жүзеге асырылуы мүмкін:

- өлшеудің алдында қателіктер дереккөздерін жою. Өлшеулердің

көптеген  аясында  жүйелік  қателіктердің  басты  дереккөздері  белгілі  жəне

олардың  пайда  болуын  алдын  алатын  немесе  өлшемнің  нəтижесіне  тигізетін

олардың əсерін жоятын əдістер өңделіп, жасалған. Осыған байланысты өлшем

практикадағы  жүйелік  қателіктерді  эксперименталды  мəліметтер  өңдеу

жолымен емес, өлшемдердің сəйкес келетін əдістерін іске асыратын өлшемдер

жүйелерін қолдану арқылы жоюға тырысады;

- түзетулерді анықтау жəне оларды өлшем нəтижесіне енгізу;

- алып тасталмаған жүйелік қателіктердің шектерін (границы) бағалау.

Тұрақты  жүйелік  қателік  өлшемдерінің  нəтижелері  бірлесіп  өңдеу  əдістермен

табылмайды. Алайда, ол  не  кездейсоқ  қателіктерді  сипаттайтын  өлшемдердің

нақтылық 

көрсеткіштерін 

де, не 

жүйелік 

қателіктерді 

құрайтын

ауыспалылардың  бар  болуы  нəтижесін  де  бүліндірмейді. Шынымен  де, бір

өлшемнің нəтижесі

                                                Х

i

 = X

u

 + ∆

i

 + Ө

i

                               (5.1)

Мұнда X

u

 - өлшенетін шаманың нағыз мағынасы;  ∆

i

  – i-дық кездейсоқ қателік;

Ө

i

 - i-дық жүйелік қателік. Бірнеше рет жасалған өлшемдер

нəтижелерінің  орташалануынан  кейін, өлшенетін  шаманың  орташа

арифметикалық мағынасын аламыз:

                                              X = X

u

 + 1  ∑ ∆

i

+ 1  θ

i

                      (5.2)

                                                              n              n

Егер  жүйелік  қателік  барлық  өлшемдер  кезінде  тұрақты  болса, яғни

Ө

i

= Ө,

онда:

                                            X = X

u

 + 1  ∑ ∆

i

+  θ                            (5.3)

                                                           n

Тұрақты  жүйелік  қателіктерді  өлшемдер  нəтижелерін  жоғарғы  нақты  тəсілдер

мен  құралдардың  көмегімен  алынған  өлшемдер  нəтижелерімен  салыстыру

арқылы  анықтауға  болады. Кейде  бұл  қателіктерді  өлшемдер  процестерін

жүргізудің  арнайы  амалдарымен  жойыла  алады. Бұл  тəсілдер  төменде

қарастырылған.

Ауыспалы  жүйелік  қателіктердің  бар  болуы  кездейсоқ  қателіктердің

сипаттамасын  бағалауды  жəне  оны  орналастыру  аппроксимациясын

бүліндіреді.

Сондықтан да,  ол міндетті түрде анықталып, өлшемдер нəтижелерінен алынып

тасталуы керек. Тұрақты жүйелік қателіктерді алып тастау үшін келесі тəсілдер

қолданылады:

- орнына уақытша қою тəсілі, бұл салыстыру тəсілінің түршесі ретінде

қаралады,  бұл  кезде  салыстыру  өлшеніп  жатқан  шаманы  белгілі  шамамен

ауыстыру  арқылы  жүзеге  асырылады, бұл  жағдайда, өлшемдердің  барлық

қолданылатын  құралдарының  жағдайында  жəне  іс-əрекетінде  ешқандай

өзгерістер  болмайды. Бұл  тəсіл  тапсырманың  толық  орындалуына  мүмкіндік

береді. Оны  іске  асыру  үшін  өлшенетін  өлшемнің  шамасымен  біртектес,

реттелетін  өлшемі  болуы  керек. Мысалы, Борд  тəсілі  бойынша  өлшеу

(салмақтау),  тұрақты  тоқ  мостысы  жəне  өлшем  кедергісі  арқылы  кедергіні

өлшеу.

- салыстыру тəсілінің түршесі болып табылатын қарама-қарсы  қою

тəсілі, өлшеу  екі  рет  орындалады, өйткені  мұнда  екі  жағдайда  да  тұрақты

қателіктің  себебіне  əр  түрлі, бірақ  бақылаулардың  нəтижелері  заңдылығына

белгілі, əсер  ету  арқылы  жасалауы  керек. Мысалы, Гаусс  тəсілі  бойынша

өлшеу (салмақтау).

- рандомизация тəсілі – бейтаныс тұрақты жүйелік қателіктерді алып тастаудың

ең əмбебапты тəсілі. Мұл  тəсілдің мəні – бір  шама  бірнеше  түрлі тəсілдермен

(приборлармен) өлшенеді. Барлық  жиынтықтар  үшін  əрбіреуінің  жүйелік

қателіктері  əр  түрлі  кездейсоқ  шамалар  болып  табылады. Сондықтан,

қолданылатын  тəсілдер (приборлардың) санының  артуы  кезінде  жүйелік

қателіктер өзара орындарын толтырып отырады.

Ауыспалы  жəне  бір  сарынды  өзгеретін  жүйелік  қателіктерді  жою  үшін  келесі

амалдар мен тəсілдер қолданылады:

Түзетілмеген  кездейсоқ  қателіктердің  белгілерін  анализдеу. Егер  түзетілмеген

кездейсоқ қателіктердің белгілері  белгілі бір заңдылықпен алмасып тұрса, онда

ауыспалы  жүйелік  қателік  байқалады. Егер  кездейсоқ  қателіктердің  “+”

белгілерінің  ілеспелігі  “-” белгілер  ілеспелігімен  алмастырылса, онда  бір

сарынды  жүйелік  қателік  болады. Егер  кездейсоқ  қателіктерде “+”  жəне “-”

белгілер топтары алмасып тұрса, онда периодты   жүйелік қателік байқалады.

- графикалық тəсілі. Ол бақылаулар нəтижелері қатарында ауыспалы

жүйелік  қателіктерді  анықтаудың  ең  қарапайым  тəсілдердің  бірі  болып

саналады  жəне  оның  мəні - бақылаулар  нəтижелерінің  түзетілмеген

мағыналарының  ілеспелік  графигін  құруында. Графикте  құрылған  нүктелер

арқылы  тенденция  болған  жағдайда, өлшем  нəтижесінің  тенденциясын

көрсететін  бірқалыпты  қисық  сызық  көрсетіледі. Егер  тенденция  байқалмаса,

онда ауыспалы жүйелік қателік  жоқ деп есептеуге болады.

- симметриялық бақылаулар тəсілі. Бұл тəсілдің мəнін өлшегіш

өңдегіштің (преобразователь) үлгісінде қарастырамыз, оның беріліс функциясы

у=K

x

  +  y

0

 , x, у - өңдегіш  шамасының  кірісі  жəне  шығысы; К – коэффициент,

оның  қателігі линиялық заң бойынша уақытта өзгереді; y

0

  –тұрақты.

Жүйелік  қателікті  алып  тастау  үшін  у  шығатын (выходная) шамасы ...

уақыттың біртекті аралығы арқылы үш рет өлшенеді. Бірінші жəне үшінші рет

өлшеу  кезінде  өңдегіш  кірісіне  үлгілік  өлшемнен  х

0

  сигналы  беріледі.

Өлшеулер нəтижесінде теңестіру жүйесі алынады:

                                   y

1

 = K

x0

 + y

0

                                   y

2

 =    K ±  dK  ∆t x+y

0

                                                        dt

                                    y

3

 =  K ±  2dK  ∆t  x

0

+y

0

                                                         dt

Оны шешу х мағынасын алуға мүмкіндік береді, бұл х  - К коэффициентінің

өзгерісімен шартталған ауыспалы жүйелік қателіктен дербес:

                                                x = 2x

0

 (y

2

 – y

0

)

                                                   y

1

 + y

3

 – 2y

0

- арнайы  статистикалық  тəсілдер. Оған  ілеспелі  айырмашылықтар  тəсілі,

дисперсиондық  анализ  жəне  т.б. жатады. Олардың  кейбіреуін  нақтырақ

қарастырайық.

Ілеспелі  айрымашылықтардың  тəсілі (Аббе  критерийі). Уақыт  бойынша

өзгеретін  жүйелік  қателікті  анықтау  үшін  қолданылады, бақылаулар

нəтижелерінің  дисперсиясын екі тəсіл бойынша бағалауға болады: əдеттегі

σ² [x] =  _1_   ∑(xi - x)² жəне ілеспелі (өлшеулер жүргізу тəртібінде)

              n  -  1

1

айырмашылықтардың  квадраттарының  суммасын  шығару

арқылы бағаланады

(x

i+1

 – x

i

)²; Q² [х] = ___1_____ ∑ (x

i+1

 – x

i

)²

                                    (2 n – 1)

1

Негізгі əдебиеттер: 1 [78-84, 439-467],  2[19-30, 49-53],

Бақылау сұрақтары:

1. Жүйелік қателік дегеніміз не? Мысалдар келтіріңіздер.

2. Жүйелік  қателіктер қалай классификацияланады?

3. Тұрақты жүйелік қателіктерді анықтаудың тəсілдерін атаңыз.

4. Ауыспалы жүйелік қателіктерді анықтаудың тəсілдерін атаңыз.

Дəріс 6. Кездейсоқ  қателіктер. Кездейсоқ  қателіктердің  ықтималдық

сипатталуы.  Бөлу  заңдарының  сандық  параметрлері. Бөлудің  негізгі

заңдары. Сенімді ықтималдық жəне сенімді интервал.

Кездейсоқ  шамаларды  сипаттаудың  əмбебапты  тəсілі - бөлудің

интегралды  жəне  дифференциалды  функцияларын  іздеп, табу  болып

саналатындығы  шамалардың ықтималдық теориясынан белгілі.

F(x) бөлудің  интегралды  функциясы  деп  - əрбір  функцияның  мағынасы

əрбір  х  үшін  оқиғаның  ықтималдығы  болып  табылатын, жəне  х

і

  кездейсоқ

шамасы і-дық тəжірибеде х-тан кіші мағынаны алатын функцияны атайды:

                           F(x) = Р  {x

i

 < x} = {- ∞< x

i

 < x }

(6.1)

Кездейсоқ  қателіктерді  анықтау  үшін  күрделі  зерттеулер  мен  есептеулер

қажет. Көп  жағдайда, кездейсоқ  шамалар  арнайы  параметрлердің  шектеулі

санының  көмегімен  сипатталады  жəне  олардың  негізгісі  мыналар  болып

саналады:

- бөлу (бөліну) орталығы;

- бастапқы жəне орталық моменттер жəне олардан туындаған

коэффициенттер – математикалық  күтілім (МК), орташа квадратикалық ауытқу

(ОКА), эксцесс, контроэксцесс жəне ассиметрия коэффициенті;

- энтропийндық коэффициент.

Іргелі (фундаменталды) болып  симметрия  орталығы  есептеледі,    яғни, х

м

нүктесін  х осінде  табу, оның оң жəне сол жағынан кездейсоқ шаманың түрлі

мағыналарының пайда болу ықтималдығы  0,5-пен бірдей жəне тең:

                               F(x

m

) = ⌠p(x)dx = ⌠p(x)dx = 0,5                     (6.2)

х

м

нүктесін медиана немесе 50% -ды квантиль деп атайды. Оны табу үшін

кездейсоқ шаманың бөлінуінде тек ғана нөлдік бастапқы момент болуы қажет.

Бөлу орталығын бөлу салмағының орталығы ретінде анықтауға болады, яғни, Х

нүктесі, оған  қатысты  геометриялық  фигураның (оны  айналып  өтетін  р(х)

қисық сызығы саналады) аударылатын  моменті нөлге тең:

                          X  = m

x

 =ά

1

  [x] = M [x] =⌠xp(x)dx                    (6.3)

Бұл  нүкте  математикалық  күтілім (МК) деп  аталады, кейбір  бөлулерде

математикалық  күтілім (Кош) болмайды, яғни, оны  белгілейтін  интеграл

айрылып  кетеді. Симметриялық  р(х) қисық  сызығы  кезінде  орталық  ретінде

мода абциссі қолданылуы мүмкін, яғни х

м

бөлудің максимумы. Мода –көбірек

ықтималдығы  бар  кездейсоқ  шаманың  мағынасы, мода – бөлудің  максималды

тығыздығына  сəйкес  келетін  мағынаға  тең. Модасы  жоқ  бөлулер  де  болады,

мысалы, біркелкі. Бір  максимумы  бар  бөлуді бірмодальдық  деп  жəне  т.б.

атайды. Орташа  бөлігінде  максимум  орналаспаған  бөлулерді антимодальды

деп атайды. Қосмодальды бөлулер үшін бүгілулер орталығы түрінде орталықты

бағалау қолданылады:

                                      xc =(xc1 + xc2)/2                                      (6.4)

Бүл  жерде,  х

с1

  жəне  х

с2

 – бүгілулер, яғни  нүктелер  абцисстері, мұнда  бөлулер

өздерінің максимумына жетеді.

Шектелген  бөлулер (біркелкі, трапецеидалдық, арксинусоидалдық  жəне  т.б.)

үшін қарқын орталығы түріндегі бағалау қолданылады:

                                      xр =(x1 + x2)/2                                          (6.5)

мұнда  х

1

жəне   х

2

- бөлуге  сəйкес  келетін  нұсқалық  қатардың бірінші  жəне

соңғы мүшелері.

Эксперименталды 

мəліметтерді 

өңдеу 

барысында 

минималдық

дисперсиясы  бар  бағалауды  қолдану  керек, өйткені  х

ц-ні

анықтаудағы   қателік

салдарынан  ОКА-дың, сенімді  интервалдың  шегін  жəне  т.б. қате  бағалануына

əкеліп  соқтырады. Түрлі  бағалаудың  тиімді  анализі  санап  шығарудың  саны

бойынша  жəне  х

ц-

ны   бағалаудың  бірдей  дисперсиясына  жету  үшін  түрлі

бағалауды салыстыру қажеттілігін айғақтайды.

Сүйіртөбелі  бөлулер  үшін  орталық  координатасын  х

м

  медианасымен

бағалау  тиімді  болып  есептеледі, ал  тегістөбелі  бөлулер  үшін  орталықты  х

м

медианасы ретінде бағалау нөлге дейін түсіп кетеді. Қосмодальды бөлулер үшін

орталықты  х

с

бүгілулер  координатасы  ретінде  бағалау, ал  шектелген  бөлулер

үшін – х

р

 эксперименталды мəліметтер қарқынының орталығы ретінде бағалау

тиімді.

Тиімділіктен  басқа  жаңсақтықтың  бар  болуын  сезінуді  де  есепке  алу

керек. Жаңсақтықтың  бар  болуын  сезетін  бағалаудың  бірі – х

р

  қарқыны

орталығының  математикалық  күтілімі  ретінде  болатын  бағалау, өйткені  ол

бақылау  орталығынан  алысырақ  орналасқан. Квантильдік  бағалаулар, яғни  х

м

медианасы  жəне  х

с

  бүгілулер  орталығы  жаңсақтықтың  əсерінен  қорғалған,

өйткені олар жаңсақтықтар координаталарынан дербес.

Барлық моменттер орташа мағына ретінде болады, бұл кезде, егер есептеп

шығарылатын  шамалар  координата  басынан  орташаланса, онда  моменттер

бастапқы, ал бөлу орталығынан басталса, онда орталық болып саналады.

 r-дік  реттегі  бастапқы  жəне  орталық  моменттер  келесі  формулалар  бойынша

анықталады:

α

r

 [x] = ⌠x p(x)dx                               (6.6)

                                                µ

r

 [x] = ⌠ x(x - m

x

) p(x)dx                  (6.7)

Нөлдік  бастапқы  момент  бірлікке  тең. Ол  бөлу  тығыздығын  нормалау

шарттарын  орындау  үшін  қолданылады. Бірінші  орталық  момент  үнемі  нөлге

тең.

                                         ⌠x

0

p(x) dx =  1; µ

1

 [x] = 0                         (6.8)

Нөлдік  реттегі  бастапқы  моменттің  көмегімен  бөлу  медианасының  түсінігі

енгізіледі. Бірінші  бастапқы  момент – кездейсоқ  шаманың  математикалық

күтілімі (МК):

                              mx = α

1

 [x] = M [x] = ⌠xp (x) dx                         (6.9)

Өлшемдер  нəтижелері  үшін  ол  өлшенетін  шаманың  нағыз  мағынасын  бағалау

ретінде  келеді. ∆  кездейсоқ  қателігінің  бастапқы  жəне  орталық  моменттері

өлшемдер нəтижелерінің орталық моменттерімен дəл келеді:

                                            α

r

[∆]

 =

µ

r

 [x]                                          (6.10)

Өйткені  кездейсоқ  қателіктің  математикалық  күтілімі  нөлге  тең. Бірінші

орталық момент теп-теңді түрде нөлге тең. Дисперсия деп аталатын жəне

математикалық  күтілімге  қатысты  кездейсоқ  шамадан  арылу  сипаттамасы

болып табылатын екінші орталық моменттің мəні зор.

                                   µ

2

 [x] = D[x] = ⌠ (x – m

x

)² p(x)dx                   (6.11)

Арылу өлшемі ретінде жиі орташа квадратикалық ауытқу (ОКА) қолданылады

– бұл дисперсиядан шыққан квадраттық түбірі.

                                                     σ = √D[x]                                        (6.12)

Орташа квадратикалық ауытқу математикалық күтілім сияқты өлшемділігі бар.

Математикалық  күтілім  мен  дисперсия  ең  жиі  қолданылатын  моменттер

болып  саналады,  өйткені олар бөлудің  маңызды  сипаттарын  анықтайды: оған

қатысты  орталықтың  орналасу  жағдайы  мен  нəтижелердің  бытыраңдылық

дəрежесі. Бөлуді  нақтырақ  сипаттау  үшін  жоғарырақ  реттердегі  моменттер

қолданылады.

Үшінші орталық момент

                                        µ

3

 [x] =⌠ (x – m

x

)³ p(x)dx                            (6.13)

Бөлудің  асимметрия  немесе  қисықтауын  сипаттайды. Оны  қолданумен  ν = µ

3

[x]/σ³  ассиметрия коэффициенті қолданылады. Қалыпты бөлу үшін ассиметрия

коэффициенті нөлге тең.

Төртінші орталық момент

                                        µ

4

 [x] =⌠ (x – m

x

) p(x)dx                             (6.14)

Бөлудің  тегіс- немесе  сүйіртөбеліктерін  сипаттау  үшін  қолданылады.  Бұл

қасиеттер эксцесс көмегімен сипатталады:

                                             ε` = µ

4

 [x]/σ – 3                                       (6.15)

 ε` коэффициентінің  мағынасы 2-ден  ∞  дейінгі  диапазонда  жатыр. Қалыпты

бөлу үшін ол нөлге тең. Жиі эксцесс мынадай формуламен беріледі:

                                                  ε` = µ

4

 [x]/σ                                        (6.16)

Оның  мағынасы  1-ден  ∞   дейінгі  диапазонда  жатыр. Ыңғайлық  үшін  жиі

контрэксцессті қолданады, оның мағынасы 0- ден  1-ге дейінгі диапазон.

                                                 К= 1√Е

Кездейсоқ 

шамаларды 

бөлудің 

көптеген 

заңдарын 

келесідей

классификациялауға болады:

- трапецеидалдық (тегістөбелі) бөлулер;

- тегістеңкіреу  (тегістөбелілер шамасында) бөлулер;

- экспоненциалдық  бөлу;

- Стьюдент бөлулері;

- қосмодальды бөлу.

        

Дискреттік  кездейсоқ  шамалар  болып  табылатын  өлшем  нəтижелерінің

нағыз мағынасын  бағалау үшін параметрлерді нүктелік бағалауда, іріктеулер -

яғни,  n дербес тəжірибелерде  х кездейсоқ шамамен қабылданатын  х

і

бірқатар

мағыналары    негізінде олардың функциясын бөлу қажеттілігі туады.

Бір  санмен  белгіленетін  параметрлік  бағалау нүктелік  деп  аталады.

Тəжірибелі мəліметтердің негізінде есептеп шығарылатын нүктелік бағалау

олардың  функциялары  болып  табылады, яғни, параметрден  жəне  тəжірибелер

санына тəуелді бөлінуі бар кездейсоқ шама.

Нүктелік бағалаулар қисынды, араласпаған жəне тиімді болады. Қисынды

бағалау  деп – іріктеу  көлемінің  ұлғаюы  кезінде  ықтималды  түрде  сандық

сипаттаманың (параметрдің) нағыз  мағынасын  беруге  тырысатын  бағалауды

атайды. Араласпаған  бағалау  деп - математикалық  күтілімі бағаланатын

сандық  сипаттамаға (параметрге) тең  бағалауды  атайды.  Тиімді (эффективті)

бағалау деп – осы параметрдің кез келген басқа бағалауының дисперсиясынан

аздау бағалауды атайды.

Практикада  барлық  талаптар  үнемі  алына  бермейді, алайда, бағалауды

таңдаудың алдында оның критикалық анализі  өтуі керек. Өлшенетін шаманың

нағыз мағынасын бағалауы болып  немесе өлшемдердің нəтижелерінің МК-нің

нүктелі  бағалауы  ретінде  өлшенетін  шаманың  орташа  арифметикалық

мағынасы  саналады. Кез  келген  бөлу  заңында  ол  қисынды  жəне  араласпаған

бағалау  болып, сондай-ақ, ең  аз  квадраттар  критерийі  бойынша  тиімдірек

болып табылады.

Дисперсияның  нүктелік  бағалауы  араласпаған  жəне  қисынды  болып

келеді, х  кездейсоқ  шаманың  ОКА-уы  дисперсиядан  шыққан  квадрат  түбірі

ретінде  белгіленеді, сондықтан, оны  бағалау  дисперсия  бағалауынан  түбірді

шығару жолымен табылуы мүмкін. Бірақ бұл сызықсыз процедура бағалаудың

араласуына əкеледі, сондықтан, n тəжірибелерінің санына тəуелді  к (n) түзету

көбейткіші енгізіледі. Ол κ(3) = 1,13-тен  κ (∞) ≈ 1,03 дейін өзгереді. Бұдан ОКА

бағалауы

σ =  Sx = k (n) √D [x] = kn √__1__ ∑ (x

i

 – x)²

                                                n-1

i=1

МК жəне ОКА-дың алынған бағалаулары кездейсоқ шамалар болып табылады,

өйткені  серияларды  қайталау  кезінде  п  тəжірибелерден  х  жəне  σ  сынды  түрлі

бағалаулар алынады.

Бұл  бағалардың  таратылуы (рассеяние) ОКА S

x

  -    жəне  S

σ

  көмегімен

бағаланады (орташа арифметикалық мағына).

Негізгі əдебиеттер: 1 [78-84, 439-467], 2 [19-30,49-53],

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай жағдайда  өлшем қателігі кездейсоқ шама деп қарастырылады?

2. Бөлу заңдарының сандық параметрлерін атаңыз.

3. Метрологияда қолданылатын бөлулердің негізгі класстарын атаңыз.

4. Бөлу  заңдарының  қандай  нүктелік  бағалауларын  білесіз? Оларға  қандай

талаптар қойылады?

                           Краткий русско-казахский  словарь

Вероятностное описание – ықтималдық сипаттау

Величина – шама

Выборка – іріктеу, іріктелу

Математическое ожидание

Несмещенный – араласпаған

Островершинный – сүйіртөбелі

Оценка – бағалау

Плосковершинный – тегістөбелі

Промах – жаңсақтық

Рассеивание – таралу

Распределение – бөлу

Состоятельный – қисынды

Среднее квадратическое отклонение – орташа квадратикалық ауытқу

Точечная оценка – нүктелік бағалау

Фундаментальный – іргелі

Характеристика – сипаттама

Эффективный – тиімді

жүктеу/скачать 0,67 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: