Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| Х <Р„(х)
и К теңдігімен анықталады. Сонымен, K ( x , s ) ядросына оның меншікті функциялар жүйесі {(рп(х )} бойынша K { x , s ) ~ j ^ \ < p n{x)(pn{s) »=І Ап түріндегі бисызықты деп аталатын Фурье қатары сэйкес келеді екен. Бессель тең- сіздігі бойынша (78) " 1 А п о Бұл теңсіздіктегі қатар мүшелері оң жэне оларды мүшелеп х бойынша а - ‘ 1 і і дан b -ға дейін интегралдап < В 2 теңсіздігін аламыз, яғни ]Г — қатары п \ Лп п=\ Лг жинақты. Енді қайталанған ядроларды жіктейік.Егер {Лк} сандары мен функ- циялары K ( x , s ) симметриялық ядросының меншікті мондері мен меншікті функциялары болса, онда K m(x,s) қайталанатын ядросының меншікті мәндері {Л<т)}, ал меншікті функциялары {^ (х)} екені белгілі, яғни <Рк ( х) = Л\т) \ К т{х, s) (s)ds (79) a тендігі орындалады. K m(x,s) ядросынх аргументін тұрақтылап, ортонормаланған [<рк (я)} жүйесі бойынша Фурье қатарына жіктесек, 88 K m(x , s ) ~ ± C k(x)cpk( s \ к I / мұндағы, Фурье коэффициенттері Ck{x) = \ K m(x,s)(pk{s)ds, өрнегімен анықталады. Бұдан жоне (79) теңдігінен СМ = Сонымен, к IЯ! (80) Егер K ( x , s ) е L Z[D\ болса, онда K m(x,s) e L 2[D] екенін көрсету қиын емес. Сондықтан (80) қатары Рисс-Фишер, теоремасы бойынша орташа мағынада һ жинақты. Егер \ K 2(x,s)ds < А болса, онда (80) катар тек орташа мағынада гана а жинақты емес, оның т > 2 болғанда абсолютті жоне бірқалыпты жинақты болатынын дәлелдеуге болады. т > 3 болсын. п —>оо=>Я„ -»оо болғандықтан, п санының жеткілікті мөлшерде үлкен мэндерінде Лп > 1. Осыларды ескертіп, (80) өрнегіне Коши-Буняковский теңсіздігін пайдалансақ, п+р ] *=" л, 1 n + p 1 I I I I К К ( < Я! (m-2) n+p (p]{x) к n Л ~ ■к 7 * " л ! у Жоғарыдағы (78) Бессель теңсіздігі мен соңғы теңсіздіктен k^nAk < s ( n > N,\/p) екені шығады. Олай болса, қатардың жинақтылығын көрсетуші Коши белгісі бойынша, (80) қатары бірқалыпты жинақты жоне оның қосындысы K n(x,s) бо лады. Сонымен мына теорема орынды. һ Т еорем а. Егер K { x , s ) ядросы \ K 2(x,s)ds< A шартын қанағаттандырса, онда а т > 3 мэндерінде (80) катары D = { a < x ,s < b } облысында абсолютті жэне бірқалыпты жинақты болады да: 89 k \ A k Мысал. Фредгольмнің 2-текті интегралдық л (р(х) = Ц cos(x - t)(p{t)dt + sin х о теңдеуінің шешімін табайық. Шешуі. c o s (x - /) = cosxcos/ + sinxsin/‘ формуласын пайдалансақ, тендеуді л л (р(х) = Я cos jc J cos t(p(t)dt + Я sin xj sin Up(t)dt + sin x о 0 түріне келтіреміз. Бұл өрнекте л л С, = J c o s ^ ( / ) ^ , С2 = jsint о о деп белгілесек, онда (р{х) = ЯС, c o s x + ЯС2 sinx + sinx тендеуі шығады. Бұл теңдеу- де С, мен С2 белгісіз тұрақты коэффициенттер. Оларды табу үшін тендіктің екі жағын cosx пен sinx функцияларына көбейтіп, одан кейін х бойыншаО-ден л - ге дейін интегралдап, л л л л С, = J cosx(p(x)dx - ЯС, J cos2 x d x + ЯС2 J sin xcosxcbc + J sin xcosxd!*, 0 0 0 0 л Л Л Л C2= I sin x(p(x)dx = ЯС, J cosxsin x d x + ЯС, J sin 2 x d x + Jsin2 xdx 0 0 0 0 немесе С ,( 1 - ^ Я ) = 0, C2 = (1 - | / t ) = ^ C, = 0 , C, = мек, берілген тендеудің шешімі л 2 - Я л екенін табамыз. Де- (pi^x) — sin х ■ Ял" sinx 2-Ял" г 2 \ Я ^ — л болады. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|