Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар
жүктеу/скачать 2,71 Mb.
|
| 5.Лузин теоремасы
Теорема: Егер Е жиыны өлшемді және өлшемі 0-ден үлкен болса, онда саны бойынша әр уақытта Е жиынында жататын р жетілген жиын табылып, теңсіздік орындалады. Дәлелдеу. Айталық, берілген Е жиыны [а;в] жатсын. Теореманың шарты бойынша, Е жиыны өлшемді. Ендеше оның толықтауыш жиыны Е-де өлшемді болады. Олай болса, алдын ала берілген бойынша СЕ жиынын өзінде ұстайтын саны шекті, не есепті интервалдар системасы табылып (1)
[а;в] барлық интервалдарынан алып тастағаннан тұйық жиынның құрылысы бойынша тұйық жиын болады, оны F деп белгілейміз. Ал , себебі F–ке іргелес, интервалының жиыны CE толықтауыш жиынды өзінің бойында ұстайды. Тұйық жиын өлшенеді және тең. Егер осы теңдіктегі қосындысы үшін 1-ші теңдікті ескерсек, . Ал теңсіздіктің оң жағындағы бөлік жиындағы өлшемін береді. Тұйық F жиынын жетілген жиын мен тұйық жиынның конденсация нүктелерінде V ретінде қарастыруға болады. Ал тұйық жиынның конденсация нүктелерінің жиыны есептіден асып кетпейді. Жетілген жиын мен конденсация жиынының нүктелерін Д деп белгілейік, онда олардың ортақ нүктесі жоқ. Конденсация нүктелерінің жиыны өлшемді және өлшемі 0-ге тең. Ендеше, Осы 2-ші теңдіктегі -ты Р-алмастырсақ, онда дәлелдеу керек осы еді.
Кантор жиыны өлшемді жиын және оның өлшемі 0-ге тең. Алдымен, Кантор жиынын құрайық. [0;1] кесіндісін тең етіп 3-ке бөлеміз, оның ортаңғы бөлігін алып тастаймыз, тағы да 3-ке бөлеміз. Осы қадамды саны есепті рет орындағаннан қалған нүктелерінің жиыны Кантор жиынын құрайды. (бөлік кесінді) Ал кесінді өлшемді, яғни әрбір Fk өлшемді. Олай болса, өлшемді жиынның қасиеті бойынша саны есепті өлшенетін жиынның қиылысуы да өлшемді. Кантор жиынын құрғанда [0;1] әр қадам сайын саны есепті интервалдар алынып тасталынады. 1-жолдың интервалының ұзындығы -ге тең. 2-кі – (алынып тасталды). 3) - 4-кесінді алынып тасталды. Ал бұл алынып тасталған интервалдар Кантор жиынында толықтауыш жиын ретінде қарастырылады. Онда бұл толықтауыш жиынның өлшемін табуға болады: Бір элементті жиынның өлшемі 0-ге тең бола ала ма? Ең болмағанда бір ішкі нүктесі болатын жиынды қарастырайық. Ішкі нүктенің анықтамасы бойынша ішкі нүктенің аймағы табылады. Айталық а-ішкі нүктесі болсын. Бұдан ең болмағанда бір ішкі нүктенің жиыны 0-ге тең болмайды. [а;в] өлшемі (в-а)-ға тең берілген кесіндіден өзгеше кесінді құруға бола ма? Барлық нүктелері ішкі нүктелері бізге белгілі ашық жиын болады. Ал кез-келген ашық жиынға қарама-қарсы – тұйық жиын. Айталық Е жиыны [а;в] тұйық жиын болсын. жиынының өлшемдері тең болсын. , онда жоғарыдағы айтқанымыз бойынша [а;в] – Е ашық жиын болады. Ендеше . Олай болу мүмкін емес. Өлшемі 0-ге тең кез-келген жиынның бөлік жиынының өлшемі 0-ге тең болатынын көрсетіңдер. Айталық, Е жиыны берілсін. Онда
жүктеу/скачать 2,71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|