Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар


Лебег интегралын Риман интегралымен салыстыру



бет57/82
Дата09.03.2022
өлшемі2,71 Mb.
#27298
түріЛекция
1   ...   53   54   55   56   57   58   59   60   ...   82
Байланысты:
умк анализ фунд.сұрақтары

5. Лебег интегралын Риман интегралымен салыстыру

Теорема: Егер функциясы Риман бойынша интегралданса, онда ол Лебег бойынша интегралданады, сонымен бірге, функциясының интегралы тең болады.

Теореманы дәлелдеу үшін мынадай тұжырымды қарастырайық:

Егер ффункциясының үзіліс нүктелерінің жиыны 0-тең болса, онда функциясы өлшемді болады. Осыған көз жеткізейік.

Айталық, -тің кесіндісіндегі үзіліс нүктелерінің жиыны 0 – болғандықтан және өлшемі

А – кез келген сан. шартын қанағаттандыратын нүктелерінің жиынын Е деп белгілейміз. Айталық, - Е жиынының шектік нүктесі болсын және Е жиынында жатпасын . Онда -дің үзіліс нүктелерінің жиыны -де жататынын көрсетейік. Ол үшін функциясы нұктесінде үздіксіз болсын дейік. Ал . Олай болса, бұл теңсіздік нүктесінің шексіз аз аймағында орынды болады, ал бұл шарт орындалмайды, себебі алуымыз бойынша нүктесі – Е жиынының шектік нүктесі, олай болса Е жиынының ең болмағанда бір нүктесі жатуы керек. Міне осы қайшылық нүктесінде функциясын үздіксіз дегеннің қайшы екендігін көрсетеді. Демек, функциясы үзілісті.

Егер Е жиынында жатпайтын барлық шектік нүктелерінің жиынын D деп белгілесек, онда шығады, ал тұжырым бойынша , олай болса, . Егер Е жиыны мен D жиынының бірігуін қарастырсақ, онда ол Е жиынының тұйықтауыш жиынын береді, оны F деп белгілейік. А тұйықтауыш жиын өлшемді D,E - өлшемді.

функциясы өлшемді.

Риман және Лебег интегралына байланысты теореманы дәлелдейік. Айталық, Лебег бойынша интегралдансын. Онда мына шарт орынды:

1) шектелген.

2) функцияның үзіліс нүктелерінің өлшемі 0-тең. Бұдан жоғарыдағы тұдырым бойынша функцияның өлшемді екендігі шығады.

шектерін аламыз. шектелген. Сондықтан ол интегралданады.

Берілуі бойынша функциясы Риман бойынша интегралданады. Ол дегеніміз:





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   53   54   55   56   57   58   59   60   ...   82




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет