Различные уравнения прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве определяется полностью, если даны:
а) две ее точки;
б) точка и направляющий вектор;
в) две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.
Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат .
1. Каноническое уравнение прямой.
Пусть прямая задана в пространстве точкой и направляющим вектором .
Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в пространстве в координатах. При этом возможны различные случаи:
а) и . Тогда получаем следующее уравнение прямой:
. (28)
б) .
(29)
в) (запишите уравнение прямой самостоятельно).
г) (запишите уравнение прямой самостоятельно).
д) . Получаем следующее уравнение прямой :
(30)
е) (запишите уравнение прямой самостоятельно).
ж) (запишите уравнение прямой самостоятельно).
Уравнения (28)-(30) (а также уравнения, записанные вами в пунктах в), г), е) и ж)) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
2. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
Пусть . Тогда прямую можно задать точкой и направляющим вектором . Поэтому применяем каноническое уравнение прямой:
. (31)
Уравнение (31) называется уравнением прямой в пространстве, заданной двумя точками.
Если одна или две координаты вектора окажутся нулевыми, то применяем частные случаи канонического уравнения прямой, т.е. уравнения вида (29) или (30).
3. Параметрическое уравнение прямой.
В случае, когда прямая задана так же, как в пункте 1 (точкой и направляющим вектором ), можно получить параметрическое уравнение прямой. (по теореме о коллинеарных векторах). Переходя к координатам, получаем:
откуда
(32)
Система уравнений (32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.
Действительное число в системе (32) называется параметром и имеет такой же смысл, как и параметр в параметрическом уравнении прямой на плоскости.
4. Уравнение прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.
Пусть в Точка тогда и только тогда, когда ее координаты являются решением системы уравнений плоскостей и .
Система уравнений
(33)
называется уравнением прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.
Лемма 1. Вектор
(34)
является направляющим вектором прямой .
□ Воспользуемся дважды леммой о параллельности вектора и плоскости.
1) Докажем, что .
. Тогда по лемме о параллельности вектора и плоскости .
2) Докажите самостоятельно, что .
Из пунктов 1) и 2) следует, что , т.е. . ■
Итак, из леммы 1 следует, что если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей , , то координаты ее направляющего вектора находятся по формуле (34).
Замечание. Как и в случае прямой на плоскости, переменные в уравнениях (28)-(33) называются текущими координатами точек прямой в пространстве.
2
|
№ 12
лекция
|
|
